一道競賽題的探究

●徐文春 (常州高級中學(xué) 江蘇常州 213003)

一道競賽題的探究

●徐文春 (常州高級中學(xué) 江蘇常州 213003)

圖1

(1)證明：直線AB的斜率為定值;

(2)過點(diǎn)P作AB的平行線，與橢圓交于點(diǎn)E，F(xiàn)，證明：點(diǎn)P平分EF.

(2013年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖北省預(yù)賽高二試題)

1 本質(zhì)解讀

此題考查橢圓中相交弦的性質(zhì)，滲透著圓錐曲線與直線的基本知識和方法，試題簡潔，結(jié)論優(yōu)美且具一般性.試題第(2)小題與圓錐曲線中的坎迪定理相關(guān)，筆者猜想試題的命制是以坎迪定理為背景.

在文獻(xiàn)［1］中，坎迪定理在橢圓中有如下推廣：

圖2

圖3

定理如圖2，蝶形ABCD內(nèi)接于橢圓Γ，BD，AC的相交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作直線EF分別交AB，CD于點(diǎn) G，H，交橢圓Γ 于點(diǎn) E，F(xiàn)，則

由定理的證明可知，當(dāng)AB∥CD時，直線EF位置如圖3所示時，結(jié)論仍成立.若直線EF繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至與AB，CD平行，此時可看作它們交于無窮遠(yuǎn)處，也即PG，PH為無窮大，得PE=PF.該題本質(zhì)上是圓錐曲線中坎迪定理的一種極限情形，在第(2)小題基礎(chǔ)上由圓錐曲線的中點(diǎn)弦性質(zhì)也可得出第(1)小題的結(jié)論，或許為了降低難度，命題時添加了第(1)小題.

實(shí)際上，與EF平行的弦都被直線PO平分，再由平行線性質(zhì)知，圖4中夾在直線與橢圓間的線段EM=FN，結(jié)合平面上的祖暅原理立得如下有趣性質(zhì)：

性質(zhì)2 如圖4，條件同性質(zhì)1，則曲邊三角形PAD與PBC面積相等.

圖4

圖5

性質(zhì)3如圖5，設(shè)P為橢圓Γ內(nèi)一定點(diǎn)(非橢圓中心)，過點(diǎn)P的2條直線分別與橢圓交于點(diǎn)A，C 和 B，D，若 AB∥CD，則直線 BC，AD 的交點(diǎn)為定點(diǎn).

證明為了簡化證明過程，以P為原點(diǎn)、以EF所在直線為y軸建立如圖5所示的直角坐標(biāo)系.設(shè)橢圓的方程為

設(shè) E(0，t)，F(xiàn)(0，－t)知 t，－t是 Cy2+Ey+F=0的2個根，從而E=0.

一方面，由題知直線AC，BD的斜率存在，可設(shè)A(x1，k1x1)，B(x1，k2x1)，C(x2，k1x2) 和 D(x2，

k2x2)，則直線DA的方程為

直線CB的方程為

聯(lián)立方程消去y，化簡整理得

又由題設(shè)條件和橢圓對稱性知

另聯(lián)立橢圓方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+F=0和直線AC方程y=k1x，得

另一方面，因為A(x1，k1x1)在橢圓上，所以

同理 B(x1，k2x1)也在橢圓上，得

故k1，k2可看作關(guān)于k的方程

的2個根，即得

又由平行線性質(zhì)知點(diǎn)G，P與線段AB，CD的中點(diǎn)共線，也即點(diǎn)G在直線上，從而

在性質(zhì)3中，當(dāng)點(diǎn)A，D無限接近時，橢圓的割線就變?yōu)樵邳c(diǎn)E處的切線，因此上述中的定點(diǎn)G即是橢圓在點(diǎn)E，F(xiàn)處切線的交點(diǎn).

［1］段惠民，饒慶生.坎迪定理在圓錐曲線上的推廣［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2007(3)：17.