點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長問題

●金 嶺 (湖州市第四中學(xué)教育集團(tuán) 浙江湖州 313000)

點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長問題

●金 嶺 (湖州市第四中學(xué)教育集團(tuán) 浙江湖州 313000)

近年來，各地中考試題中不斷出現(xiàn)有關(guān)求點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長問題，隱含了解析幾何“求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡方程”的雛形.這類題目中，條件點(diǎn)隨整個(gè)幾何圖形的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，其背景模糊，軌跡不明，計(jì)算繁雜，造成學(xué)生的解題思路受阻.而命題者常將其設(shè)計(jì)成填空、選擇、解答題中的壓軸題，顯得極為重要.從動(dòng)點(diǎn)所經(jīng)過的路徑來分類，常見的有線段和圓弧，本文擬通過典型中考試題加以解析，從中探究這類試題的解題思路.

1 線段型

例1如圖1，已知點(diǎn)A是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為的一個(gè)定點(diǎn)，AC⊥x軸于點(diǎn)M，交直線y=－x于點(diǎn) N.若點(diǎn) P是線段 ON上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠APB=30°，BA⊥PA，當(dāng)點(diǎn) P在線段 ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)A不變，點(diǎn)B隨之運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N時(shí)，點(diǎn)B 運(yùn)動(dòng)的路徑長是＿＿ .

(2013年浙江省湖州市數(shù)學(xué)中考試題)

圖1

圖2

例2在矩形ABCD中，點(diǎn)P在AD上，AB=2，AP=1.將直角尺的頂點(diǎn)放在P處，直角尺的2邊分別交AB，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，聯(lián)結(jié)EF(如圖3).

(1)當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)F恰好與點(diǎn)C重合(如圖4)，求PC的長.

(2)探究：將直尺從圖4中的位置開始，繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)A重合時(shí)停止.在這個(gè)過程中，請(qǐng)你觀察、猜想，并解答：①tan∠PEF的值是否發(fā)生變化?請(qǐng)說明理由;②直接寫出從開始到停止，線段EF的中點(diǎn)經(jīng)過的路線長.

(2011年福建省三明市數(shù)學(xué)中考試題)

圖3

圖4

(2)①tan∠PEF的值不變.

圖5

圖6

例3如圖7，正方形ABCD的邊長是2，M是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止.聯(lián)結(jié)EM并延長交射線CD于點(diǎn)F，過點(diǎn)M作EF的垂線交射線BC于點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)EG，F(xiàn)G.

圖7

圖8

(1)設(shè)AE=x時(shí)，△EGF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并填寫自變量x的取值范圍.

(2)P是MG的中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路線的長.

(2010年江蘇省南京市數(shù)學(xué)中考試題)

分析(1)y=2x2+2，其中0≤x≤2.

(2)如圖8，分析知：當(dāng)起始位置點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，BG1=AM=1;當(dāng)終點(diǎn)位置點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，由△AMB∽△MBG2，知 BG2=5，G1G2=4，于是點(diǎn)P到BC的距離始終保持不變(為1)，故P1P2(P1是P的起始位置，P2是P的終止位置)是點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路線，得P1P2=2.

點(diǎn)評(píng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑為線段類題型，可先尋找特殊位置(起點(diǎn)、終點(diǎn))相對(duì)應(yīng)的條件點(diǎn)所在的位置.再抓住圖形的幾何特征，運(yùn)用圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等變化，發(fā)現(xiàn)三角形的相似或全等等關(guān)系，找出運(yùn)動(dòng)之中的不變關(guān)系，從而知道運(yùn)動(dòng)軌跡的形狀是一條線段，再計(jì)算獲得解答.

2 圓弧型

例4如圖9，以G(0，1)為圓心，半徑為2的圓與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn) C，D，點(diǎn) E為⊙G上一動(dòng)點(diǎn)，CF⊥AE于點(diǎn)F.當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)F 所經(jīng)過的路程長為＿＿.

分析(1)點(diǎn)E在起點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)O重合;點(diǎn)E在終點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)C重合.

(2)在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中∠CFA=90°始終不變，觀察∠CFA所對(duì)的邊為AC，得到點(diǎn)F在以AC為直徑的圓P上(如圖10)，點(diǎn)F形成的軌跡為

圖9

圖10

例5如圖11，已知正方形OABC的邊長為2，頂點(diǎn)A，C分別在x，y軸的正半軸上，M是BC的中點(diǎn).P(0，m)是線段OC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)C除外)，直線PM交AB的延長線于點(diǎn)D.

(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)(用含m的代數(shù)式表示);

(2)當(dāng)△ADP是等腰三角形時(shí)，求m的值;

(3)設(shè)過點(diǎn)P，M，B的拋物線與x軸的正半軸交于點(diǎn)E，過點(diǎn)O作直線ME的垂線，垂足為H(如圖12)，當(dāng)點(diǎn)P從原點(diǎn)O向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)H也隨之運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長(不寫解答過程).

(2011年浙江省湖州市數(shù)學(xué)中考試題)

圖11

圖12

分析(1)易得點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，4－m).

(3)可先探求點(diǎn)H經(jīng)過的路徑是什么圖形，通過觀察發(fā)現(xiàn)“過點(diǎn)O作直線ME的垂線，垂足為H”，直角始終存在，直角∠OHM對(duì)應(yīng)的斜邊OM始終不變，這是運(yùn)動(dòng)之中的不變，因此點(diǎn)H在以O(shè)M為直徑的圓 G上(如圖13)，G是 OM的中點(diǎn)，再確定點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)和終點(diǎn)，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O時(shí)，H在運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)，此時(shí)易得∠COH=45°，則∠CGH=90°;當(dāng) H 接近點(diǎn)C時(shí)，H也無限接近點(diǎn)C，但不能達(dá)到點(diǎn)C.于是點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)在以O(shè)M為直徑、圓心角為90°的弧上，路徑長為

點(diǎn)評(píng)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑為圓弧類題型時(shí)，也要先尋找特殊位置(起點(diǎn)、終點(diǎn))相對(duì)應(yīng)的條件點(diǎn)所在的位置;再抓住圖形的幾何特征，條件點(diǎn)往往是直角的頂點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)過程中對(duì)應(yīng)一條斜邊不變，這是運(yùn)動(dòng)中的不變關(guān)系，從而知道運(yùn)動(dòng)軌跡的形狀是一條弧，再計(jì)算半徑和圓心角獲得解答.

圖13

結(jié)束語點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長問題是動(dòng)態(tài)問題中的一種，也是近幾年數(shù)學(xué)中考的熱點(diǎn)，這類試題能很好地展示考生的分析、探究能力，考查數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)，因而備受青睞.解決這類問題的關(guān)鍵：(1)分析起點(diǎn)和終點(diǎn)，找到特殊位置;(2)分清運(yùn)動(dòng)形成的軌跡是線段還是圓弧.