又見“飲馬問題”
——2013年重慶市數(shù)學高考理科試題第7題引發(fā)的探究

●李培穎 (侯集高級中學 江蘇徐州 221121)

又見“飲馬問題”
——2013年重慶市數(shù)學高考理科試題第7題引發(fā)的探究

●李培穎 (侯集高級中學 江蘇徐州 221121)

1 問題提出

例1已知圓 C1：(x－2)2+(y－3)2=1，圓C2：(x－2)2+(y－4)2=9，M，N 分別是圓 C1，C2上的動點，P為x軸上的動點，則|PM|+|PN|的最小值為 ( )

(2013年重慶市數(shù)學高考理科試題第7題)

圖1

分析本題以圓為背景，考查解析幾何中的最值問題.如圖1，先求|PC1|+|PC2|的最小值.作點C1(2，3)關于x軸的對稱點C3(2，－3)，則

因為兩點之間線段最短，所以|PC3|+|PC2|的最小值為|C2C3|的長度，此時點P 在P0處.又因為點P到圓C1上的點M的距離最小值為|PC1|－1，到圓C2上的點N的距離最小值為|PC2|－3，所以

故選A.

另外，本題還可以選擇作點C2關于x軸的對稱點解決，同樣可以得到結果.

求解本題的關鍵在于“作點C1(2，3)關于x軸的對稱點C3(2，－3)”，那么，這一解題切入點是怎樣得到的呢?以往解決過類似的問題嗎?我們先從一個典故說起.

2 追本溯源

相傳，古希臘一位將軍遇到一個問題：如圖2，從A地出發(fā)，到筆直的河岸邊(直線l)C'處去飲馬，然后再去B地，走什么樣的線路最短呢?將軍百思不得其解，于是向久負盛名的學者海倫求教.海倫給出的辦法是“利用軸對稱化折為直”的思想，如圖3，把A，B在直線同側的問題轉化為在直線的2側，作出點B關于直線l的對稱點B'，則

從而利用“兩點之間線段最短”加以解決：當C'在C 處，即點 A，C，B'共線時，線路最短，其值為 AB'的長度.由于這段典故，上述問題成了一個經(jīng)典名題，后人稱為“將軍飲馬問題”.

不難發(fā)現(xiàn)，例1的求解方法與“飲馬問題”的“利用軸對稱化折為直”的思想如出一轍.盡管“將軍飲馬”問題已經(jīng)流傳了近2 000年，但是學生甚至不少教師前所未聞.實際上，我們仔細研究教材，會發(fā)現(xiàn)原來教材中也有關于“將軍飲馬”的問題.

圖2

圖3

3 教材鏈接

例2已知 M( －1，3)，N(6，2)，點 P 在 x軸上，求使PM+PN最小時點P的坐標.

(蘇教版《數(shù)學(必修2)》第106頁第21題)

解如圖4，作出點N(6，2)關于x軸的對稱點 N'(6，－2)，則

由于兩點之間線段最短，可知使PM+PN最小時的點P為直線MN'與x軸的交點P0，容易求得直線MN'的方程為

圖4

圖5

例3已知點 M(1，3)，N(5，－2)，若 x軸上存在一點P，使|PM－PN|最大，求點P的坐標.

(蘇教版《數(shù)學(必修2)》第129頁第23題)

解如圖5，作出點N(5，2)關于x軸的對稱點 N'(5，－2)，則

因為MN'≥|PM－PN'|，所以使|PM－PN|最大時的點P為直線MN'與x軸的交點P0，容易求得直線MN'的方程為

令y=0，得x=13，故所求點P的坐標為(13，0).

教材上這2道題是有關求直線上一動點到2個定點的距離之和(或差的絕對值)的最值問題.例2是“飲馬問題”的模型，是“利用軸對稱化折為直”的思想解決的，例3可以看作例2的變形，二者可視為一對姊妹題，解決過程中實際上分別使用了我們熟悉的“三角形兩邊之和大于第三邊”和“三角形兩邊之差小于第三邊”.通過對這2道題的求解，可以歸納得到此類問題的一般模型及解法：(1)當2個定點位于直線的異側時，可求得動點到2個定點的距離之和的最小值;(2)當2個定點位于直線的同側時，可求得動點到2個定點的距離之差的絕對值的最大值.若不滿足上述2個條件，則可利用對稱性將2個定點變換到直線的異(同)側，再進行求解.

4 拓展應用

在高三復習過程中經(jīng)常碰到有關求某曲線上的1個動點到2個定點(或1個定點和1個定直線，或2個定直線)的距離之和(差)的最值.許多學生在面對此類問題時感到束手無策，無從下手.此類問題在高考和競賽中多次出現(xiàn)，在教材中也出現(xiàn)過，它們和“飲馬問題”的區(qū)別在于動點在曲線上，能否類比“飲馬問題”進行求解呢?下面僅舉幾例進行說明.

例4已知F是雙曲線的左焦點，A(1，4)，P是雙曲線右支上的動點，則|PF|+|PA|的最小值為＿＿ .

(2009年遼寧省數(shù)學高考理科試題第16題)

解如圖6，設雙曲線的右焦點為 F1，由于APF為“折”，受到“飲馬原理”的啟發(fā)，需要化“折”為“直”.利用雙曲線的第一定義，知

|PF1|+|PA|的最小值為線段AF1的長度5，從而|PF|+|PA|的最小值為9.

例5已知直線l1：4x－3y+6=0和直線l2：x=－1，拋物線y2=4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是 ( )

(2009年四川省數(shù)學高考理科試題第9題)

圖6

圖7

解如圖7，拋物線y2=4x的焦點(1，0)記為F，過點P分別向l1，l2作垂線，垂足分別為A，B，則點P到直線l1和直線l2的距離之和為PA+PB.由于PAB為“折”，同例4利用“飲馬原理”，化“折”為“直”：直線l2：x=－1為拋物線y2=4x的準線，由拋物線的定義可知

因為PA+PF的最小值為點F到直線l1：4x－3y+6=0的距離FC，易求FC=2，所以PA+PB的最小值為2，即點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是2.故選A.

圖8

設 P(x，y)，A(2，0)，B(1，－2)，則上式表示點 P(x，y)到 A(2，0)，B(1，－2)的距離之和，即求PA+PB的最大值.由題意，x，y滿足條件3x2+4y2=48，即點 P(x，y)在橢圓上，且A(2，0)為橢圓的右焦點.如圖8，設橢圓的左焦點為F，類比“飲馬問題”的求解思想，由于題目是求最大值，故將“和”轉化為“差”，由橢圓的第一定義可知

實際上，類似的問題還有很多.實踐證明，利用解決“飲馬問題”的思想可使題目輕松獲解.

5 反思感悟

體現(xiàn)“將軍飲馬”的題目在各類考試中多次出現(xiàn)，但這類問題仍成為很多考生的攔路虎.究其原因：

(1)在教學中存在就題論題，不能由此及彼、融會貫通的現(xiàn)象.上文分析的題目，盡管背景不同，但都可以用“飲馬問題”的求解思想來解決.因此，教師在教學中不僅要重視“一題多解”培養(yǎng)發(fā)散思維，也要重視“多題歸一”，讓學生在“一題多解、多變，多題歸一”中體會數(shù)學思維的奧妙，領悟數(shù)學解題方法的神奇.

(2)忽視教材習題功能.教材中既出現(xiàn)了以直線為背景的“飲馬問題”，也出現(xiàn)了以曲線為背景的“類飲馬問題”.教師應善于捕捉課本中的典型例習題加以研究，通過一些拓展性結論提高解題技能，豐富解題經(jīng)驗，最終使學生學會通過處理一個問題解決一串問題的本領.