壓電拼接電磁復(fù)合材料中裂紋對SH波的散射

楊 娟，李 星

（（1.寧夏大學(xué) 數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，銀川 750021；2.寧夏大學(xué) 民族預(yù)科教育學(xué)院，銀川 750002）

電磁材料作為一類多功能材料，因其特有的電磁耦合效應(yīng)在電子技術(shù)、超聲技術(shù)、智能工程及其它先進(jìn)智能結(jié)構(gòu)中得到廣泛應(yīng)用。在電磁結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中對其缺陷研究意義十分重要。

裂紋為常見缺陷，預(yù)存于器件中或器件使用時因外荷載產(chǎn)生。隨探礦技術(shù)、無損檢測技術(shù)、雷達(dá)及聲納技術(shù)發(fā)展及對工程結(jié)構(gòu)在動態(tài)載荷作用下問題研究，彈性波散射理論研究引起普遍關(guān)注。文獻(xiàn)［2－3］研究彈性復(fù)合材料中裂紋對SH波的散射。文獻(xiàn)［4］研究壓電纖維、彈性材料界面曲線型裂紋對反平面剪切波散射作用。文獻(xiàn)［5］研究正交各型異性功能梯度材料中裂紋對SH波散射。諸文獻(xiàn)均假設(shè)彈性波垂直入射，與實(shí)際情況不符。文獻(xiàn)［6］利用對偶積分方程方法研究了功能梯度壓電壓磁材料中裂紋對以任意角度入射的SH波的散射。文獻(xiàn)［7－8］考慮限制導(dǎo)通邊界條件下，假設(shè)SH波以θ角入射，利用Copson方法研究了功能梯度壓電帶拼接半無限大壓電材料及功能梯度壓電層拼接半無限大功能梯度材料中裂紋對SH波的散射。文獻(xiàn)［9］采用積分方程方法研究了功能梯度材料涂層下壓電底層中裂紋對SH波的散射。，現(xiàn)在還未見到有關(guān)壓電拼接電磁復(fù)合材料中裂紋對SH波的散射研究問題的報(bào)道。

本文利用積分變換技術(shù)結(jié)合求解對偶積分方程Copson方法研究壓電材料拼接電磁復(fù)合材料中裂紋對以θ角入射的SH波散射。用Fourier變換將混合邊值問題求解轉(zhuǎn)化為對偶積分方程求解。獲得裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子、電位移強(qiáng)度因子及磁通量強(qiáng)度因子。通過數(shù)值算例分析裂紋長度、裂紋到界面距離、入射角及波數(shù)對標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)力強(qiáng)度因子影響。

圖1 壓電材料粘接于電磁復(fù)合材料中裂紋對SH波散射的幾何模型Fig.1 Geometry of scattering of the SH wave on a crack magnetoelectroelastic composites bonded to a piezoelectric material

1 問題描述

考慮的問題見圖1，壓電材料粘接于下半平面為半無限大電磁復(fù)合材料，內(nèi)含長2a裂紋，上半平面為半無限大壓電材料。xoy平面為各向同性面，與之垂直方向（z向）為極化方向。為描述方便，將結(jié)構(gòu)分三個區(qū)域：裂紋以下為區(qū)域D3，裂紋至界面為區(qū)域D2，裂紋至界面距離為h，界面以上為區(qū)域D1。

SH波以θ角入射、作用于裂紋時，應(yīng)力狀態(tài)為反平面剪切，屬斷裂力學(xué)意義的Ⅲ型裂紋問題。不為零位移僅有一個，即 w（x，y，t）為x，y的函數(shù)，t為時間變量。由波的疊加關(guān)系可知總波場、入射場及散射場關(guān)系為

式中：上標(biāo)（t），（j）表示總位移場、入射場；w（x，y，t）為散射場。

壓電材料本構(gòu)方程表示為

式中分別為壓電材料應(yīng)力、電位移、電勢、剪切模量、壓電常數(shù)及介分別為電磁復(fù)合材料應(yīng)力、電位移、磁通量、電勢、磁勢、剪切模量、壓電系數(shù)、介電參數(shù)、壓磁耦合系數(shù)、電磁耦合系數(shù)及磁導(dǎo)率。圖1中 k＝2，3分別對應(yīng) D2、D3區(qū)域。

設(shè)入射波為平面諧波，入射波形式為

因入射波、散射波時間因子相同，散射波場可寫為

2 問題轉(zhuǎn)化及對偶積分方程獲得

問題的邊界條件為式中：2＝2x2＋2y2為二維 Laplace算子；ρ（1）為壓電材料密度；ρk為電磁復(fù)合材料密度；k＝2，3。

式（15）～式（19）經(jīng)傅里葉變換后的解可假設(shè)為

定義裂紋上下表面位移差為

將式（21）、（22）代入式（26），并經(jīng) Fourier余弦變換，得

求解式（27）～式（37）獲得 A1（s），B1（s），A2（s），B2（s），C2（s），D2（s），E2（s），F(xiàn)2（s），A3（s），B3（s），C3（s）的解 （見附錄），并利用邊界條件（11）得對偶積分方程為

式中：g1（s）為已知函數(shù)，見附錄。

3 對偶積分方程求解

式中：J1（ ）為第一類一階Bessel函數(shù)。

將式（40）代入式（24），考慮裂紋尖端附近應(yīng)力、電位移及磁通量在s→∞處奇異性，得y＝0時的應(yīng)力、電位移、磁通量主部表達(dá)式為

定義標(biāo)準(zhǔn)化應(yīng)力強(qiáng)度因子［10］為

4 數(shù)值算例及討論

設(shè)（圖1）結(jié)構(gòu)中壓電材料、電磁復(fù)合材料分別為PZT－4、BaTiO3－CoFe2O4，其結(jié)果見圖2～圖4。

圖2 不同aω時標(biāo)準(zhǔn)化應(yīng)力強(qiáng)度因子K3隨a變化關(guān)系Fig.2 Variations of the normalized stress intensity factor K3 with a for different aω

圖3 不同h／a時標(biāo)準(zhǔn)化應(yīng)力強(qiáng)度因子K3隨aω／變化關(guān)系Fig.3 Variations of the normalized stress intensity factor K3 with aω／ for different h／a

圖4 不同θ時標(biāo)準(zhǔn)化動應(yīng)力強(qiáng)度因子K3隨aω／c（2）sh變化關(guān)系Fig.4 Variations of the normalized stress intensity factor K3 with aω at differentθ

（1）圖2為波數(shù)aω／c（2）sh變化時裂紋長度a對標(biāo)準(zhǔn)動應(yīng)力強(qiáng)度因子影響（h／a＝0.5，θ＝pi／4）。由圖 2看出，aω越大標(biāo)準(zhǔn)動應(yīng)力強(qiáng)度因子越?。籥ω一定時標(biāo)準(zhǔn)動應(yīng)力強(qiáng)度因子隨a的增大而減小，而標(biāo)準(zhǔn)動應(yīng)力強(qiáng)度因子在裂紋長度為0～0.3間即較接近。工程中可通過檢測裂紋長度變化預(yù)防因裂紋擴(kuò)展造成的工件失效。

（2）圖3為不同裂紋至界面距離 h／a時波數(shù)aω對標(biāo)準(zhǔn)動應(yīng)力強(qiáng)度因子影響（a＝0.5，θ＝pi／4）。由圖3看出，h／a對標(biāo)準(zhǔn)動應(yīng)力強(qiáng)度因子影響不明顯。工程中適當(dāng)控制裂紋至界面距離有利于提高材料的抗斷裂能力；h／a一定時標(biāo)準(zhǔn)動應(yīng)力強(qiáng)度因子隨aω／的增大而減小。

（3）圖4給為入射角 θ變化時波數(shù)aω／對標(biāo)準(zhǔn)動應(yīng)力強(qiáng)度因子影響（h／a＝0.5，a＝0.2）。由圖 4看出，標(biāo)準(zhǔn)動應(yīng)力強(qiáng)度因子隨θ的增大而增大；θ一定時標(biāo)準(zhǔn)動應(yīng)力強(qiáng)度因子隨aω的增大而減小。對相同入射頻率入射角越大。較大入射角可抑制標(biāo)準(zhǔn)動應(yīng)力強(qiáng)度因子峰值出現(xiàn)，表明材料的標(biāo)準(zhǔn)動應(yīng)力強(qiáng)度因子可通過入射角控制。適當(dāng)調(diào)節(jié)載荷入射角可抑制材料的性質(zhì)變化及裂紋擴(kuò)展。

（4）由圖2～圖4知，標(biāo)準(zhǔn)動應(yīng)力強(qiáng)度因子將隨波數(shù) aω的增加而減小。因此工程中通過調(diào)整入射波頻率可降低裂紋尖端集中，通過改變?nèi)肷洳l率實(shí)現(xiàn)應(yīng)力場改變。

（5）由計(jì)算結(jié)果知，標(biāo)準(zhǔn)動應(yīng)力強(qiáng)度因子不僅與裂紋長度、裂紋至界面距離、入射波頻率及入射角有關(guān)，亦與材料性質(zhì)有關(guān)。

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附錄