功能梯度壓電層／壓磁半空間結(jié)構(gòu)中SH波傳播

孔艷平，田若萌，劉金喜

（石家莊鐵道大學(xué) 工程力學(xué)系，石家莊 050043）

作為新型材料的功能梯度材料集各種組分于一體，其微觀結(jié)構(gòu)呈連續(xù)性變化可適應(yīng)不同環(huán)境，實(shí)現(xiàn)某特殊功能［1－2］。壓電材料可實(shí)現(xiàn)機(jī)械能與電能的轉(zhuǎn)化，通過調(diào)整材料組成使梯度化可使壓電系數(shù)獲得最恰當(dāng)分配以達(dá)到提高壓電器件性能及壽命。對(duì)其研究多集中于對(duì)功能梯度梁、板、殼等基本結(jié)構(gòu)的靜態(tài)變形，對(duì)彈性波傳播研究較有限。Qian等［3－5］用WKB方法研究功能梯度層狀復(fù)合結(jié)構(gòu)中Love波傳播特性，分析材料梯度變化對(duì)頻散特性影響。Eskandari等［6］用貝塞爾函數(shù)方法研究功能梯度壓電材料中彈性波傳播，材料中彈性、壓電及介電系數(shù)為二次方變化，而材料密度為常數(shù)。Du等［7－8］研究均勻無限大磁電彈半空間覆蓋有功能梯度磁電彈層結(jié)構(gòu)中的SH波，考慮兩種形式的電磁邊界條件，分析梯度系數(shù)對(duì)相速度、群速度影響。Li等［9］研究橫觀各向同性磁電彈半空間中B－G波的傳播性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)材料的非均勻性會(huì)致波頻散。董小峰等［10］分析壓電功能梯度材料中SH表面波，對(duì)材料特性沿厚度方向?yàn)榫€性、二次、三次函數(shù)變化的三種形式利用拉蓋爾正交多項(xiàng)式法求得三種不同特性梯度材料中波的頻散曲線、質(zhì)點(diǎn)位移及電勢(shì)。謝根全等［11］研究電磁功能梯度材料層合板中表面波的彌散特性，認(rèn)為中間層材料性能沿厚度線性變化，數(shù)值算例顯示壓電性對(duì)頻散性能影響較大，而壓磁性影響可忽略。Wu等［12－13］用勒讓德多項(xiàng)式方法分析磁電彈功能梯度板及空心圓柱中導(dǎo)波傳播性能，認(rèn)為板與空心柱體表面為機(jī)械自由、電學(xué)開路及磁學(xué)短路，導(dǎo)波傳播速度與壓電、壓磁系數(shù)成正比，與介電常數(shù)、磁導(dǎo)率成反比。

本文研究功能梯度壓電層／壓磁結(jié)構(gòu)中彈性波傳播特性，從磁電彈全耦合方程出發(fā)，詳細(xì)推導(dǎo)SH波傳播的頻散方程，分析材料性能、覆層厚度及電學(xué)邊界條件對(duì)波的頻散特性影響，結(jié)果可對(duì)壓電壓磁復(fù)合材料聲波元件設(shè)計(jì)提供有價(jià)值的理論依據(jù)。

1 基本方程描述及求解

圖1 問題的幾何描述Fig.1 Geometry of the problem

壓電層材料性能沿厚度方向指數(shù)變化，即彈性系數(shù) c44、壓電系數(shù) e15、介電系數(shù) κ11、磁導(dǎo)率 μ11、壓磁系數(shù)h15、磁電彈耦合系數(shù)α11及壓電層的密度ρ均為坐標(biāo)x2的函數(shù)，考慮反平面磁電彈問題，其本構(gòu)關(guān)系為

梯度方程為

式中：u3為x3方向位移；φ為電勢(shì)；為磁勢(shì)。

運(yùn)動(dòng)方程為

將式（1）、（2）代入方程（3）中得功能梯度磁電彈全耦合反平面問題的控制方程為

類似，令梯度系數(shù)η＝0，得均勻壓磁材料的控制微分方程為

式中：e，m分別為壓電層、壓磁半空間的相應(yīng)量。

2 問題的解

考慮結(jié)構(gòu)中SH波解一般形式為

將式（12）、（13）分別代入式（6）、（8），得應(yīng)力、電位移及磁感為

3 頻散方程

設(shè)界面x2＝0處兩種材料間理想粘結(jié)，界面條件為

此處只討論磁學(xué)開路情況，考慮電學(xué)短路、開路兩種電邊界條件，即

只有方程組（19）～（22）存在非零解，才能滿足SH波在該結(jié)構(gòu)中傳播條件。故令方程組（19）～（22）系數(shù)矩陣行列式值為零，得第一種邊界條件頻散方程。

4 數(shù)值算例及分析

利用已推導(dǎo)的頻散方程分析電學(xué)邊界條件、功能梯度壓電層中各材料參數(shù)梯度變化及覆層厚度對(duì)SH波頻散特性影響。算例中橫坐標(biāo)K＝kH／2π為無量綱波數(shù)，縱坐標(biāo)c／（m／s）為相速度。在x2＝0處壓電材料取 PZT－5A，材料參數(shù)［14］為：ce0＝21.1×109C2·Nm－2，e0＝12.3 C·m－2，κe0＝8.107×10－9C2·Nm－1，μe0＝5×10－6NS2·C－2，ρe0＝7.75×103kg·m－3；壓磁材料取 CoFe2O4，材料性能［15］為：cm＝45.3×109C2·Nm－2，h＝550 NA－1m－2，ρm＝5.3×103kg·m－3，μm＝1.57×10－8NS2·C－2。

4.1 電學(xué)短路邊界條件下頻散特性分析

為研究功能梯度壓電層中各材料參數(shù)的梯度變化對(duì)SH波傳播頻散曲線影響，分別給出 PZT－5A／CoFe2O4結(jié)構(gòu)在電學(xué)短路邊界條件下梯度指數(shù)η取不同值時(shí)前四階模態(tài)頻散曲線見圖2～圖4。由圖2看出，η＝0時(shí)功能梯度壓電層變?yōu)榫鶆驂弘妼?，且曲線為均勻壓電層／壓磁半空間結(jié)構(gòu)一階頻散曲線，與結(jié)論［16］吻合；梯度取小值、一階模態(tài)在小波數(shù)時(shí)，隨波數(shù)增大相速度急劇減小，且減小至功能梯度壓電層界面處的B－G波波速；隨梯度取值增大相速度的變化緩慢減小。原因?yàn)楣δ芴荻葔弘姴牧咸荻戎笖?shù)η越大，壓電層剪切體波波速越小，故曲線越緩慢，拐點(diǎn)右移。對(duì)相同波數(shù)，梯度系數(shù)η越大其相速度值越大；但隨模態(tài)階數(shù)的增加梯度變化對(duì)相速度影響逐漸減小。在電學(xué)短路邊界條件下，一階模態(tài)相速度趨于功能梯度壓電層界面處的B－G波波速，二階以上模態(tài)相速度趨于功能梯度壓電層界面處剪切體波波速。

圖2 電學(xué)短路η取不同數(shù)值時(shí)一階模態(tài)頻散曲線Fig.2 Dispersive curves of the first mode for selected values ofη

圖3 電學(xué)短路η取不同數(shù)值時(shí)二階模態(tài)頻散曲線Fig.3 Dispersive curves of the second mode for selected values ofη

圖4 電學(xué)短路η取不同數(shù)值時(shí)第三、四階模態(tài)頻散曲線Fig.4 Dispersive curves of the third and fourth modes for selected values ofη

為分析功能梯度壓電層厚度對(duì)SH波傳播頻散曲線影響，給出PZT－5A／CoFe2O4層狀半空間結(jié)構(gòu)在電學(xué)短路邊界條件下H取不同數(shù)值時(shí)SH波傳播的一、二階模態(tài)頻散曲線見圖5、圖6。由圖5看出，三條曲線基本重合，說明厚度變化對(duì)一階模態(tài)影響較小，可忽略；無論H取何值，各階模態(tài)相速度均起始于壓磁半空間的剪切體波波速，并隨無量綱波數(shù)增加一階模態(tài)相速度趨于功能梯度壓電層界面處的B－G波波速，二階以上模態(tài)相速度趨于功能梯度壓電層界面處剪切體波波速。由圖6看出，對(duì)給定的波數(shù)二階模態(tài)，覆蓋層厚度H取值越大，相速度越小，尤其厚度取值從0.01 mm變化到0.03 mm時(shí)，相速度減小幅度較顯著。

4.2 電學(xué)開路邊界條件下頻散特性分析

電學(xué)開路邊界條件下功能梯度壓電覆蓋層中材料參數(shù)變化對(duì)前四階模態(tài)頻散曲線影響見圖7～圖10。由圖7看出，無論η取何值，各階模態(tài)相速度均起始于壓磁半空間的剪切體波波速，且隨無量綱波數(shù)的增加趨于功能梯度壓電層界面處剪切體波波速，不同于電學(xué)短路邊界條件下頻散特性；梯度取較小值、一階模態(tài)在小波數(shù)時(shí)，隨波數(shù)增大相速度急劇減小，且較快減小至壓電層界面處的剪切體波波速，隨梯度取值增大相速度變化緩慢減小，與電學(xué)短路時(shí)變化相似。由圖9、圖10看出，無論H取何值，一階模態(tài)相速度均起始于壓磁半空間的剪切體波波速，隨無量綱波數(shù)增加厚度取較大值時(shí)，相速度減小幅度較大，但最終趨于功能梯度壓電層界面處的剪切體波波速，不同于電學(xué)短路邊界條件下頻散特性；二階模態(tài)，對(duì)給定波數(shù)相速度隨覆蓋層厚度增大而減小，尤其厚度取值從0.01 mm變化至0.03 mm時(shí)，相速度減小幅度較顯著。

圖5 電學(xué)短路H取不同數(shù)值時(shí)一階模態(tài)頻散曲線Fig.5 Dispersive curves of the first mode for selected values of H

圖6 電學(xué)短路H取不同數(shù)值時(shí)二階模態(tài)頻散曲線Fig.6 Dispersive curves of the second mode for selected values of H

圖7 電學(xué)開路η取不同數(shù)值時(shí)一階模態(tài)頻散曲線Fig.7 Dispersive curves of the first mode for selected values ofη

圖8 電學(xué)開路η取不同數(shù)值時(shí)二階模態(tài)頻散曲線Fig.8 Dispersive curves of the second mode for selected values ofη

圖9 電學(xué)開路H取不同數(shù)值時(shí)一階模態(tài)頻散曲線Fig.9 Dispersive curves of the first mode for selected values of H

圖10 電學(xué)開路H取不同數(shù)值時(shí)二階模態(tài)頻散曲線Fig.10 Dispersive curves of the second mode for selected values of H

5 結(jié) 論

本文通過研究功能梯度壓電層／均勻壓磁半空間（PZT－5A／CoFe2O4）結(jié)構(gòu)中SH波的傳播特性，詳細(xì)討論功能梯度壓電層梯度系數(shù)及厚度對(duì)SH波傳播頻散曲線影響，結(jié)論如下：

（1）相速度不僅隨梯度系數(shù)增加而增大，亦會(huì)隨覆蓋層厚度增加而減小。

（2）電學(xué)短路條件時(shí)，梯度層厚度改變對(duì)一階模態(tài)影響可忽略。

本文研究成果可為研制、設(shè)計(jì)高性能聲波器件提供理論參考。

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