彈性支承對(duì)三維曲壁板顫振特性的影響

張飛霆，楊智春，高 揚(yáng)，趙令誠(chéng)

（西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)與控制研究所，西安 710072）

自20世紀(jì)50年代飛行器速度達(dá)到超音速以來(lái)，壁板顫振問(wèn)題已受到普遍關(guān)注，許多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了理論和試驗(yàn)研究。壁板顫振是飛行器表面蒙皮結(jié)構(gòu)由于空氣動(dòng)力、慣性力和彈性力的相互耦合作用而產(chǎn)生的一種氣動(dòng)彈性不穩(wěn)定現(xiàn)象，是一種自激振動(dòng)。壁板顫振雖然不會(huì)導(dǎo)致飛行器結(jié)構(gòu)迅速的發(fā)生破壞，但其所引發(fā)的結(jié)構(gòu)疲勞裂紋問(wèn)題會(huì)嚴(yán)重影響飛行器壽命和飛行安全。為了避免這種有害的振動(dòng)，對(duì)壁板結(jié)構(gòu)進(jìn)行合理的設(shè)計(jì)就顯得尤為重要。Plaut［1］就針對(duì)鋁合金壁板，在壁板不發(fā)生顫振的約束條件下，對(duì)壁板的厚度分布進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，以達(dá)到減輕重量的目的。Pier-son［2］針對(duì)帶有氣動(dòng)阻尼的壁板優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行了數(shù)值分析，研究指出氣動(dòng)阻尼在一定的范圍之內(nèi)時(shí)，氣動(dòng)阻尼的增大，有助于減輕壁板的重量。Dowell［3］從定量和定性方面詳細(xì)的討論了曲壁板非線(xiàn)性顫振特性，指出壁板沿順氣流方向的曲率會(huì)減小顫振臨界動(dòng)壓、增加非線(xiàn)性顫振幅值，由于板的初始曲率引入的氣動(dòng)靜載荷將對(duì)曲壁板的顫振邊界產(chǎn)生較大的影響，在處理曲壁板顫振問(wèn)題時(shí)應(yīng)考慮靜態(tài)載荷產(chǎn)生的靜變形。Azzouz等［4－6］應(yīng)用有限元方法系統(tǒng)研究了初始拱高、熱載荷和氣流偏角等因素對(duì)曲壁板顫振特性的影響，研究表明隨著初始拱高的增大，顫振是由更高階模態(tài)耦合產(chǎn)生的；隨著溫度的升高，顫振臨界動(dòng)壓逐漸下降。在國(guó)內(nèi)，張蕊麗等［7］在曲壁板的非線(xiàn)性顫振方面做了初步的研究，指出初始幾何曲率和溫升的變化會(huì)改變曲壁板顫振失穩(wěn)的耦合模態(tài)。楊智春等［8］對(duì)超音速氣流中二維受熱曲壁板顫振行為進(jìn)行了研究，分析了動(dòng)壓參數(shù)對(duì)二維曲壁板分叉特性的影響，指出初始幾何曲率和氣動(dòng)熱效應(yīng)使得曲壁板的動(dòng)力學(xué)特性更為復(fù)雜。這些工作都是針對(duì)曲壁板顫振特性分析而開(kāi)展的，沒(méi)有涉及到提高曲壁板顫振動(dòng)壓的研究。

隨著新一代飛行器設(shè)計(jì)馬赫數(shù)的提高，高超音速飛行器蒙皮壁板防顫振設(shè)計(jì)的首要任務(wù)是提高曲壁板顫振速度，而工程中常用的提高壁板顫振速度方法，就是增加壁板厚度或?qū)Ρ诎寮咏?，但是這種措施會(huì)帶來(lái)壁板結(jié)構(gòu)重量增加的負(fù)面效應(yīng)，尋求其他提高曲壁板顫振速度的方法，是一項(xiàng)既有學(xué)術(shù)意義又有工程應(yīng)用背景的研究工作。本文提出了一種在曲壁板上附加一個(gè)彈性支承來(lái)提高其顫振動(dòng)壓的方法，應(yīng)用頻率重合理論探究了彈性支承位置以及支承剛度對(duì)曲壁板顫振動(dòng)壓的影響規(guī)律，并對(duì)采用附加彈性支承的防壁板顫振設(shè)計(jì)提出了相應(yīng)建議。

1 曲壁板的顫振運(yùn)動(dòng)方程

考慮如圖1所示超聲速氣流中帶一個(gè)附加彈性支承的圓柱殼金屬曲壁板，氣流沿x軸方向。圖2為曲壁板上任一點(diǎn)的變形。

圖1 附加彈性支承的金屬曲壁板模型Fig．1 The physicalmodal ofmetalmaterial curved panelwith concentrated elastic support

圖2 曲壁板上任一點(diǎn)的變形Fig．2 Coordinates details of a point belonging to the curved panel

當(dāng)考慮附加彈性支承時(shí)，通常采用兩個(gè)簡(jiǎn)化假設(shè)：

（1）只考慮彈性支承在z軸方向的線(xiàn)性剛度，即認(rèn)為支承是線(xiàn)性點(diǎn)支承；

（2）支承是理想無(wú)質(zhì)量的彈性元件。因此，只需考慮彈性支承對(duì)曲壁板總體剛度矩陣的影響。

壁板的位移矢量包括兩個(gè)面內(nèi)位移u和v，兩個(gè)分別繞x和y軸的法線(xiàn)轉(zhuǎn)角位移，彎曲位移w。根據(jù)von Karman大變形應(yīng)變－位移關(guān)系，曲壁板的總應(yīng)變?yōu)橹忻嫖灰飘a(chǎn)生的應(yīng)變、考慮大變形時(shí)撓度引起的面內(nèi)附加應(yīng)變、彎曲產(chǎn)生的應(yīng)變和曲壁板初始拱高w0＝w0（x，y）引起的Marguerre應(yīng)變的和。

橫向剪切應(yīng)變?yōu)?/p>

曲壁板表面的氣動(dòng)力采用一階活塞氣動(dòng)力理論計(jì)算，其表達(dá)式為：

qa＝為氣流的動(dòng)壓為 Prandtl－Glauert因子，V∞為氣流速度，M∞為氣流馬赫數(shù)，Λ為氣流與x軸的夾角。w，t為彎曲位移對(duì)時(shí)間t的一階導(dǎo)數(shù)。w0，x，w0，y分別是曲板初始幾何形狀 w0（x，y）對(duì)坐標(biāo)x和y的導(dǎo)數(shù)。式（3）的前兩項(xiàng)與平壁板的活塞氣動(dòng)力表達(dá)式相同，最后一項(xiàng)為順氣流方向上曲壁板初始曲率引起的氣動(dòng)靜載荷。

對(duì)于處于平衡狀態(tài)的結(jié)構(gòu)，根據(jù)虛功原理，內(nèi)力虛功等于外力虛功

曲壁板的單元內(nèi)力虛功的表達(dá)式為

S為壁板單元面積，αs為橫向剪切修正因子。

單元外力虛功的表達(dá)式為

當(dāng)沒(méi)有彈性支承時(shí)，經(jīng)過(guò)單元組裝，得到整個(gè)曲壁板結(jié)構(gòu)的內(nèi)力虛功及外力虛功分別為［5］

式中，［M］為曲壁板的結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣，［Ca］為氣動(dòng)阻尼矩陣，［Ka］為氣動(dòng)剛度矩陣，［K］為線(xiàn)性剛度矩陣，［K］s為剪切剛度矩陣，［K］θ0為由初始幾何曲率影響矩陣引起的線(xiàn)性剛度矩陣，［N1］為考慮von Karman非線(xiàn)性應(yīng)變位移關(guān)系后，與結(jié)點(diǎn)位移一次項(xiàng)有關(guān)的一階非線(xiàn)性剛度矩陣，［N1］θ0為由初始幾何曲率影響矩陣引起的一階非線(xiàn)性剛度矩陣，［N1］Nm為由面內(nèi)變形｛wm｝引起的一階非線(xiàn)性剛度矩陣，［N1］Nb為由面外彎曲變形｛wb｝引起的一階非線(xiàn)性剛度矩陣，［N1］Nθ0為由初始幾何曲率影響矩陣、面外彎曲變形｛wb｝和扭轉(zhuǎn)變形｛wψ｝引起的一階非線(xiàn)性剛度矩陣，［K2］為與結(jié)點(diǎn)位移二次項(xiàng)有關(guān)的二階非線(xiàn)性剛度矩陣，｛W｝為位移向量。

因?yàn)橐浑A非線(xiàn)性剛度矩陣和二階非線(xiàn)性剛度矩陣都是經(jīng)過(guò)組裝形成的總體剛度矩陣，階數(shù)相同，因此在計(jì)算時(shí)可以相加。

當(dāng)在曲壁板上附加一個(gè)彈性支承時(shí)，曲壁板結(jié)構(gòu)的內(nèi)力虛功表示為

kspr為彈性支承的剛度系數(shù)，［λi］為支承彈簧的定位矩陣，下角標(biāo)i表示集中彈性支承的附加結(jié)點(diǎn)位置編號(hào)，結(jié)點(diǎn)編號(hào)由有限元網(wǎng)格劃分決定，當(dāng)附加彈性支承位于結(jié)點(diǎn)i時(shí)，該矩陣對(duì)應(yīng)的第（i，i）元素置1，其他的元素均置0。

由虛功原理，可得到帶有一個(gè)彈性支承的曲壁板非線(xiàn)性顫振運(yùn)動(dòng)方程為

由于本文研究中，氣流方向沿圓柱殼母線(xiàn)方向，氣流作用下曲壁板無(wú)靜變形，則非線(xiàn)性顫振運(yùn)動(dòng)方程（10）中的一階非線(xiàn)性剛度矩陣和二階非線(xiàn)性剛度矩陣均為零矩陣。從而方程（10）退化為曲壁板的線(xiàn)性顫振運(yùn)動(dòng)方程

2 曲壁板的顫振運(yùn)動(dòng)方程求解

曲壁板的線(xiàn)性顫振運(yùn)動(dòng)方程（11）可采用特征值法求解。引入無(wú)量綱化的動(dòng)壓λ：

D110表示曲壁板彎曲剛度矩陣［D］的第一個(gè)對(duì)角線(xiàn)項(xiàng)D（1，1），a為壁板順氣流方向的長(zhǎng)度。

上標(biāo)θ0表示該矩陣與曲壁板的初始幾何曲率影響矩陣有關(guān)。展開(kāi)式（13）的第二行可以得到

展開(kāi)式（13）的第一行并將式（14）帶入，可得只包含曲壁板離面位移的氣動(dòng)彈性顫振運(yùn)動(dòng)方程：

假設(shè)曲壁板在顫振臨界點(diǎn)的響應(yīng)為

將式（16）代入氣動(dòng)彈性顫振運(yùn)動(dòng)方程中得

化為矩陣形式，則附加彈性支承的系統(tǒng)特征方程

由式（18）的系統(tǒng)特征方程計(jì)算在不同λ下壁板顫振系統(tǒng)的特征值Ω＝ΩR＋iΩI，從復(fù)特征值實(shí)部的正負(fù)號(hào)即可判斷曲壁板顫振系統(tǒng)的穩(wěn)定性。繪制出λ～ΩR曲線(xiàn)，插值得到ΩR＝0所對(duì)應(yīng)的λ，即為曲壁板顫振臨界動(dòng)壓 λcr。

3 數(shù)值算例分析與討論

采用文獻(xiàn)［9］中的超音速飛行器鋁合金曲壁板作為研究對(duì)象，其力學(xué)性能參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 鋁合金的力學(xué)性能參數(shù)Tab．1 Themechanical properties of alum inum alloy

曲壁板四邊簡(jiǎn)支，投影平面為矩形，幾何尺寸為：0．38 m×0．305 m，厚度為 h＝0．002 m，最大初始拱高為H＝0．002 m，曲壁板有限元模型如圖3所示。

圖3 曲壁板有限元模型Fig．3 Curved panel Finite elementmodal

曲壁板有限元模型的結(jié)點(diǎn)編號(hào)如俯視投影圖4所示。為了更簡(jiǎn)潔的表示彈性支承在壁板上的位置，下文的結(jié)果討論中，采用了歸一化的坐標(biāo) ξ＝x／a，η＝y(tǒng)／b?？疾鞆椥灾С形恢脤?duì)顫振動(dòng)壓影響時(shí)，彈性支承位置分別沿圖4中A1－A1、B1－B1等網(wǎng)格線(xiàn)在結(jié)點(diǎn)上移動(dòng)。

3.1 彈性支承位置對(duì)曲壁板顫振動(dòng)壓的影響

圖5給出了彈性支承剛度系數(shù)為1 000 D（D表示曲壁板的彎曲剛度）時(shí)，彈性支承位置改變對(duì)曲壁板顫振動(dòng)壓的影響。從圖中可以看出，當(dāng)支承位于壁板的中心位置時(shí)顫振動(dòng)壓最小，支承在（ξ，η）＝（0．2，0．5）和（ξ，η）＝（0．8，0．5）處時(shí)顫振動(dòng)壓最大。

圖6繪示了在順氣流方向，曲壁板的顫振動(dòng)壓隨彈性支承位置變化的趨勢(shì)。隨支承位置的移動(dòng)，曲壁板顫振動(dòng)壓先增大，當(dāng)彈性支承位于壁板展向中線(xiàn)距前緣20%弦長(zhǎng)處時(shí)，曲壁板的顫振動(dòng)壓達(dá)到極大值。然后隨著位置向中點(diǎn)接近顫振動(dòng)壓開(kāi)始減小，在中點(diǎn)處（即曲壁板中點(diǎn)位置）達(dá)到極小值，隨后顫振動(dòng)壓又開(kāi)始增大，在距后緣20%弦長(zhǎng)處達(dá)到極大值，之后再開(kāi)始減小。在附加彈性支承前后，曲壁板發(fā)生顫振的耦合模態(tài)都為其前兩階固有模態(tài)，因此產(chǎn)生這種現(xiàn)象的機(jī)理，可依據(jù)顫振的頻率重合理論進(jìn)行分析，通過(guò)彈性支承位于不同位置時(shí)參與曲壁板顫振耦合的各階模態(tài)頻率的變化來(lái)進(jìn)行解釋。圖7中可以看到，當(dāng)支承位于曲壁板中心結(jié)點(diǎn)（61點(diǎn)）時(shí)，由于彈性支承的作用，曲壁板的前兩階模態(tài)頻率分別為178．7 Hz和242．1 Hz，而無(wú)附加彈性支承時(shí)，曲壁板的前兩階模態(tài)頻率分別為165．7 Hz和242．1 Hz?？梢钥闯鰪椥灾С袃H使得曲壁板的第1階模態(tài)頻率提高而第2階模態(tài)頻率保持不變，即第1階模態(tài)頻率更加靠近第2階模態(tài)頻率，故前兩階模態(tài)更容易發(fā)生耦合而使得顫振動(dòng)壓降低。當(dāng)支承位于結(jié)點(diǎn)28時(shí)，由于彈性支承作用，曲壁板的前兩階模態(tài)頻率分別為169．8 Hz和250．6 Hz，與無(wú)彈性支承情況相比，曲壁板的前兩階模態(tài)頻率都有所提高，有彈性支承時(shí)該兩階模態(tài)的頻率之差為80．8 Hz，而無(wú)彈性支承時(shí)該兩階頻率之差為76．4 Hz，即彈性支承使得曲壁板前兩階頻率之差變大，根據(jù)顫振的頻率重合理論，其顫振動(dòng)壓得到提高。

圖5 集中彈性支承位置對(duì)顫振動(dòng)壓的影響Fig．5 The influence of concentrated elastic support to dynamic pressure

圖6 順氣流方向顫振動(dòng)壓隨支承位置的變化Fig．6 Dynamic pressure vs elastic support position

圖7 模態(tài)頻率隨支承位置的變化（支承在A1－A1截線(xiàn)）Fig．7 Modal frequency vs elastic support position

圖8繪示了彈性支承位置在垂直氣流方向移動(dòng)時(shí)，曲壁板顫振動(dòng)壓的變化趨勢(shì)。圖9繪示了彈性支承位于曲壁板中線(xiàn)（ξ＝5／10）上不同結(jié)點(diǎn)位置時(shí)，前兩階模態(tài)頻率的變化曲線(xiàn)。

從圖8看到，當(dāng)彈性支承靠近曲壁板邊界（ξ＝1／10和 ξ＝3／10）時(shí)，對(duì)其顫振動(dòng)壓影響較小，隨著支承位置向曲壁板中線(xiàn)移動(dòng)，顫振動(dòng)壓也隨之增大，而當(dāng)彈性支承在與上述網(wǎng)格線(xiàn)幾何位置對(duì)稱(chēng)的兩條網(wǎng)格線(xiàn)（ξ＝7／10和 ξ＝9／10）上移動(dòng)時(shí)，顫振動(dòng)壓隨支承位置變化的曲線(xiàn)分別與其相應(yīng)對(duì)稱(chēng)網(wǎng)格線(xiàn)的動(dòng)壓曲線(xiàn)基本重合，說(shuō)明在順氣流方向，彈性支承位置在前后緣處顫振動(dòng)壓幾乎沒(méi)有差別。如圖9（a）所示，這是由于當(dāng)彈性支承位于靠近簡(jiǎn)支邊界位置（例如B2－B2網(wǎng)格線(xiàn)）時(shí)，使得曲壁板前兩階模態(tài)頻率都發(fā)生變化，但前兩階模態(tài)頻率之差都大于不帶彈性支承的情況，使得帶彈性支承后曲壁板顫振動(dòng)壓得到提高。

圖8中ξ＝5／10的曲線(xiàn)可以看出，當(dāng)彈性支承位于曲壁板結(jié)構(gòu)垂直氣流方向的中線(xiàn)位置時(shí)，隨著支承向曲壁板中心點(diǎn)位置移動(dòng)，顫振動(dòng)壓達(dá)到一個(gè)極小值，然后又逐漸增大。

圖8 垂直氣流方向顫振動(dòng)壓隨支承位置的變化Fig．8 Dynamic pressure vs elastic support position

圖9 模態(tài)頻率隨支承位置的變化Fig．9 Modal frequency vs elastic support position

圖10 顫振動(dòng)壓隨支承剛度的變化趨勢(shì)Fig．10 Dynamic pressure vs elastic support position

圖11 模態(tài)頻率隨支承剛度的變化Fig．11 Modal frequency vs elastic support stiffness

這是由于集中彈性支承位于曲壁板中線(xiàn)上時(shí)，只改變結(jié)構(gòu)的第1階模態(tài)頻率，而對(duì)第2階模態(tài)頻率沒(méi)有影響，如圖9（b）所示。隨著支承向曲壁板中點(diǎn)移動(dòng)，第1階模態(tài)頻率提高，而第2階模態(tài)頻率沒(méi)有變化，依據(jù)顫振的頻率重合理論，前兩階模態(tài)頻率更為接近，該兩階模態(tài)的耦合更容易使曲壁板發(fā)生顫振失穩(wěn)，因而曲壁板的顫振動(dòng)壓降低。

3.2 彈性支承剛度對(duì)曲壁板顫振動(dòng)壓的影響

圖10為考慮附加彈性支承在曲壁板不同結(jié)點(diǎn)位置時(shí)，改變附加彈性支承剛度對(duì)曲壁板顫振動(dòng)壓的影響，并與無(wú)彈性支承時(shí)曲壁板的顫振動(dòng)壓進(jìn)行比較。

從圖10可以看出，當(dāng)曲壁板沒(méi)有附加彈性支承時(shí)（對(duì)應(yīng)支承剛度為0），曲壁板的無(wú)量綱顫振動(dòng)壓為323．3。當(dāng)支承在順氣流方向靠近曲壁板中心附近區(qū)域時(shí)（如圖中結(jié)點(diǎn)50、61），隨著彈性支承剛度的增大，曲壁板的顫振動(dòng)壓減小，而當(dāng)支承在順氣流方向遠(yuǎn)離曲壁板中心附近區(qū)域時(shí)（如圖中結(jié)點(diǎn)17、28、39），隨著彈性支承剛度的增大，曲壁板的顫振動(dòng)壓隨之增大。

從彈性支承位于兩個(gè)不同的代表性位置（結(jié)點(diǎn)28、61）處的模態(tài)頻率隨剛度變化的趨勢(shì)進(jìn)行分析，可以解釋這個(gè)現(xiàn)象。如圖11（a）所示，彈性支承位于結(jié)點(diǎn)28處時(shí)，隨著支承剛度的增大，前兩階模態(tài)頻率均呈增大的趨勢(shì)，但第2階模態(tài)頻率的增幅更大，即前兩階模態(tài)頻率之差隨著支承剛度的增大而增大，根據(jù)顫振的頻率重合理論，曲壁板的顫振動(dòng)壓得到提高。如圖11（b）所示，彈性支承位于結(jié)點(diǎn)61處時(shí)，由于結(jié)點(diǎn)61為曲壁板第1階模態(tài)的節(jié)點(diǎn)，隨著剛度的增大，彈性支承對(duì)第2階模態(tài)頻率沒(méi)有影響，而第1階模態(tài)頻率隨之增大，即前兩階模態(tài)頻率逐漸靠近，根據(jù)顫振的頻率重合理論，曲壁板的顫振動(dòng)壓會(huì)減小。

4 結(jié) 論

本文提出了一種在四邊簡(jiǎn)支曲壁板上附加一個(gè)彈性支承來(lái)提高曲壁板顫振臨界動(dòng)壓的方法，研究了彈性支承的位置和剛度對(duì)曲壁板顫振速度的影響規(guī)律，應(yīng)用頻率重合理論分別分析了改變彈性支承剛度和位置對(duì)曲壁板顫振特性的影響。在工程實(shí)際中采用增加彈性支承的方式來(lái)改善曲壁板的顫振穩(wěn)定性時(shí)，還需要解決如下一些問(wèn)題：彈性支承的具體實(shí)現(xiàn)；彈性支承位置的精確確定以及與壁板連接；彈性支承材料的選擇；彈性支承本身質(zhì)量的影響。目前的研究是為這一技術(shù)途徑的工程實(shí)現(xiàn)提供理論上的參考。本文的研究結(jié)果表明：

（1）彈性支承位于曲壁板中心點(diǎn)附近區(qū)域或位于弦向中線(xiàn)上時(shí)，都會(huì)導(dǎo)致曲壁板顫振動(dòng)壓降低且隨著支承剛度的增大而減小；在曲壁板中心點(diǎn)處，顫振動(dòng)壓降低幅度最大；

（2）彈性支承位置沿垂直于氣流方向且遠(yuǎn)離弦向中線(xiàn)變化時(shí)，都會(huì)使顫振動(dòng)壓提高，且隨著支承剛度的增大而增大；

（3）當(dāng)支承位置在前緣和后緣部位順氣流方向變化時(shí)，顫振動(dòng)壓都會(huì)提高；

（4）采用附加彈性支承的方法來(lái)提高曲壁板顫振動(dòng)壓時(shí)，應(yīng)將彈性支承布置在曲壁板展向中線(xiàn)距邊界約20%弦長(zhǎng)處。

本文得到的彈性支承對(duì)曲壁板顫振特性影響的定性規(guī)律，適用于其他尺寸及構(gòu)型的曲壁板和平壁板，只是具體的最佳彈性支承大小和位置不同。本文的研究是在顫振頻率重合理論的基礎(chǔ)上開(kāi)展的，從不同彈性支承下的模態(tài)節(jié)線(xiàn)變化，即模態(tài)耦合的角度來(lái)研究彈性支承對(duì)曲壁板顫振穩(wěn)定性的影響，是后續(xù)要開(kāi)展的工作。

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