基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測與小波變換的結(jié)構(gòu)非線性振動參數(shù)識別

李蘆鈺，牛 蕓

（大連理工大學(xué) 土木工程學(xué)院，遼寧 大連 116023）

基于小波變換對非線性系統(tǒng)進行參數(shù)識別已經(jīng)成為土木工程界研究的熱點問題之一。小波分析是一種信號的時間－頻率分析方法，它具有多分辨率分析的特點，而且在時、頻兩域都具有表征信號局部特征的能力，很適合分析時變信號，國內(nèi)外學(xué)者對小波分析方法在系統(tǒng)識別中的應(yīng)用進行了大量的研究。Staszewski［1］以Morlet小波作為分析工具，通過提取小波脊初步建立了一種非線性阻尼及剛度的識別方法，但它僅能對系統(tǒng)的非線性進行定性分析。Ta等［2］完善了這種方法，進行了仿真驗證并將其用于辨識一個固支梁的非線性阻尼及剛度。任宜春［3］用復(fù)Morlet小波函數(shù)對弱Duffing系統(tǒng)的有阻尼自由振動響應(yīng)進行了辨識，得到系統(tǒng)的固有頻率、阻尼系數(shù)和非線性系數(shù)。伊廷華等［4］針對小波變換中遇到的邊端效應(yīng)問題，提出了基于自回歸滑動平均模型（ARMA）的“預(yù)測延拓”方法，并以美國土木工程師學(xué)會（ASCE）提供的Benchmark模型為例進行了數(shù)值模擬，驗證了方法的有效性，但該方法只能對平穩(wěn)信號進行預(yù)測。代煜等［5］利用脊上連續(xù)小波變換系數(shù)的幅度和相位，從結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的自由衰減響應(yīng)中辨識了弱非線性阻尼和剛度，提出了一種檢測小波脊的新方法以消除連續(xù)小波變換幅度極值的頻移，為抑制邊界效應(yīng)，提出利用最小二乘擬合誤差選擇小波函數(shù)參數(shù)的優(yōu)化算法。王超等［6］采用復(fù)Morlet小波對非線性結(jié)構(gòu)自由響應(yīng)信號進行連續(xù)小波變換，為了降低噪聲的影響，采用一個基于奇異值分解（SVD）的方法對識別的結(jié)構(gòu)進行處理，從而識別了待辨識的參數(shù)。史治宇等［7］首先運用Daubechies小波識別了時變系統(tǒng)的物理參數(shù)，文中借助小波尺度函數(shù)的正交性將物理空間下的二階微分方程轉(zhuǎn)化為線性代數(shù)方程組進行求解，識別算法中需要同時計算一階和二階小波連接系數(shù)，難度大，精度受限。許鑫等［8］用小波狀態(tài)空間法實現(xiàn)了從振動微分方程到線性代數(shù)方程組的兩次降階，解決了時變系統(tǒng)在自由振動狀態(tài)下的參數(shù)識別問題，許鑫等［9］用此方法解決了時變系統(tǒng)受迫振動下的參數(shù)識別問題。

在利用小波分析方法進行參數(shù)識別的過程中，不可避免的會出現(xiàn)邊端效應(yīng)問題，進而會影響識別結(jié)果的準(zhǔn)確性。在取較少采樣點的情況下，同樣也會影響參數(shù)識別結(jié)果的準(zhǔn)確性。信號延拓是處理這兩個問題的有效方法之一，Torrence等［10］采用零延拓，未考慮信號的原有特征，效果較差；Kijewski等［11］采用對稱延拓，但該方法沒有考慮信號的連續(xù)性，存在一定的局限性；伊廷華等［4］提出了基于自回歸滑動平均模型（ARMA）的“預(yù)測延拓”方法，但只對平穩(wěn)信號有效。相關(guān)研究指出，不能任意對信號進行延拓，應(yīng)保留原信號的頻率和帶寬特性，否則會影響到真實信號［12］。

本文介紹了基于復(fù)Morlet小波變換的結(jié)構(gòu)非線性振動模型參數(shù)識別算法，針對小波變換過程中出現(xiàn)的邊端效應(yīng)及較少采樣點情況下參數(shù)識別精度低等問題，提出了采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對原始信號進行預(yù)測延拓，并針對兩種非線性振動模型進行了數(shù)值模擬與分析。

1 小波理論及信號的連續(xù)小波變換

在小波分析中，主要討論的函數(shù)空間是 L2（R）。L2（R）是指R上平方可積函數(shù)構(gòu)成的函數(shù)空間，即：

如果 f（t）∈L2（R），則稱 f（t）為能量有限信號。L2（R）也被稱為能量有限的信號空間。如果ψ（t）∈L2（R），其傅里葉變換 ψ＾（ω）滿足容許條件（Admissible Condition）：

即Cψ有界，則稱ψ為一個基小波或母小波（Mother Wavelet）。將母小波經(jīng)過伸縮和平移后，就可以得到一個小波序列：

其中，a，b∈R，且 a＞0，稱 a為伸縮因子，b為平移因子。

定義下式：

為關(guān)于基小波ψ的連續(xù)小波變換。其中，ψ*（·）表示復(fù)共軛運算。從式（4）可知變換后的函數(shù)是二維的，即小波變換把原來的一維時域信號映射到為二維“時間—尺度”域上，以便分析信號的時—頻特性。定義以下變換：

為關(guān)于基小波ψ的小波逆變換。小波逆變換是把二維信號重構(gòu)回原來的一維信號。

目前常用的小波函數(shù)有：Haar小波，Morlet小波，Daubechies小波，Cgau小波，復(fù)Morlet小波等。但是復(fù)解析小波變換將Hilbert變換與小波分析緊密結(jié)合在一起，具有很好的自適應(yīng)分析能力［13］。本文采用復(fù)Mor-let小波變換進行參數(shù)識別，它的表達(dá)式為：

其中，fc為小波的中心頻率，fb為帶寬參數(shù)。嚴(yán)格來講，因復(fù)Morlet小波的傅里葉變換不滿足容許性條件，因此它不是一個真正的小波。但當(dāng)時，復(fù) Mor-let近似滿足容許條件，可以作為小波使用［14］。復(fù)Mor-let小波在時、頻域均具有很好的局部性，信號的頻率f與尺度a之間的關(guān)系為：

其中，fs為信號的采樣頻率。

2 基于復(fù)M orlet小波變換弱Duffing模型參數(shù)提取過程

對于有如下表達(dá)形式的信號：

其中，φ（t）＝ω0t＋β（t）。如果式（8）中信號的頻率變化率相對于振幅變化率來說大很多，則信號從整體來看是一個幅度變化平緩的信號即為漸進信號。對于弱Duffing系統(tǒng)的自由衰減響應(yīng)而言，在阻尼較小的情況下可以看成漸進信號。漸進信號x（t）的復(fù)Morlet小波變換系數(shù)可近似表示為［15］：

大多數(shù)情況下是通過小波變換系數(shù)的模｜Wx（a，b）｜的最大值提取小波脊，但是尺度決定了分析窗的頻帶，則小波變換存在頻移現(xiàn)象，此現(xiàn)象會對參數(shù)識別精度有影響，代煜等［5］提出了從｜Wx（a，b）中提取小波脊線以消除這種現(xiàn)象的影響。本文采用此方法，則小波脊線上的小波變換系數(shù)表示為：

其中，a＝a（b）是b的函數(shù)。則根據(jù)式（10）可以得出：

其中，A（b）、φ（b）分別為信號的瞬時振幅和相位，則信號的瞬時圓頻率為：

則根據(jù)式（7）和式（11）可求出系統(tǒng)的瞬時頻率和瞬時振幅。

對于弱Duffing系統(tǒng)的立方剛度的自由振動方程為：

由多尺度法求得方程的一階近似解為：

其中，a0為初始振幅，β0為初相位。則系統(tǒng)的瞬時振幅和瞬時圓頻率分別為：

再由式（17）利用最小二乘法擬合出從而可得出參數(shù)ω0和α的識別值。

3 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測延拓信號

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種多層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，該網(wǎng)絡(luò)的主要特點是信號前向傳遞，誤差反向傳播。在前向傳遞中，輸入信號從輸入層經(jīng)隱含層逐層處理，直至輸出層。每一層的神經(jīng)元只影響下一層神經(jīng)元狀態(tài)。如果輸出層得不到期望輸出，則轉(zhuǎn)入反向傳播，根據(jù)預(yù)測誤差調(diào)整網(wǎng)絡(luò)權(quán)值和閾值，從而使BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測輸出不斷逼近期望輸出［16］。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)Fig．1 BP neural network

在圖1中，x1，x2，…，xn是 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入值，y1，…，ym是 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測值，ωij和 ωjk是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值。從圖1中可看出，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可看成一個非線性函數(shù)，網(wǎng)絡(luò)輸入值和預(yù)測值分別為函數(shù)的自變量和因變量。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測前先要訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)，通過訓(xùn)練使網(wǎng)絡(luò)具有聯(lián)想和預(yù)測能力。訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)的過程包括：網(wǎng)絡(luò)初始化、隱含層輸出計算、輸出層輸出計算、誤差計算、權(quán)值更新、閾值更新，最后判斷算法迭代是否結(jié)束，若沒結(jié)束，返回第二步［16］。

基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對信號進行預(yù)測分為以下三步：BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測。本文對于信號進行預(yù)測，是利用前兩時刻的值預(yù)測下一時刻的值，則選用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)為2－5－1，即輸入層有2個節(jié)點，隱含層有5個節(jié)點，輸出層有1個節(jié)點。本文先用已有的樣本點進行網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練，再用訓(xùn)練好的網(wǎng)絡(luò)進行預(yù)測。

4 數(shù)值算例

4.1 算例（一）

本文首先采用弱Duffing非線性振動模型：·u·＋ω20u＋2μu2·u＋αu3＝0，ω0＝100，μ＝0．008，α＝3，采樣頻率為1 000 Hz，振動時間為0～0．6 s，初始振幅為100 mm，用Simulink搭建了模型，然后采用四階龍格—庫塔法進行計算，振動響應(yīng)如圖2實線所示。為了識別參數(shù)，采用復(fù)Morlet小波函數(shù)ψ（t）對響應(yīng)信號和預(yù)測后的信號進行小波變換，根據(jù)上面提到的方法提取小波脊線，然后得到系統(tǒng)的瞬時振幅和瞬時圓頻率，進而識別未知參數(shù)。

圖2 原始信號和預(yù)測信號Fig．2 Original signal and predicted signal

4．1．1 邊端效應(yīng)

對圖2的振動響應(yīng)原始信號和預(yù)測信號分別進行小波變換，小波變換量圖分別見圖3、4，瞬時振幅與時間的關(guān)系及瞬時圓頻率與時間的關(guān)系分別見圖5、6，瞬時振幅與瞬時圓頻率之間的關(guān)系見圖7，小波系數(shù)平方的倒數(shù)與時間的關(guān)系見圖8。圖中實線表示原始信號經(jīng)復(fù)Morlet小波變換得出的各種關(guān)系圖，虛線表示預(yù)測信號經(jīng)復(fù)Morlet小波變換得出的各種關(guān)系圖。從圖5～8可以看出對利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測后的信號進行復(fù)Morlet小波變換能很好的解決邊端效應(yīng)。由圖7可識別出ω0和α，由圖8可識別出μ，原始信號和預(yù)測后的信號的參數(shù)識別結(jié)果見表1。從表1可看出：直接用0～0．6 s的數(shù)據(jù)進行參數(shù)識別，預(yù)測后的信號參數(shù)識別值更接近真實值，誤差比直接用原始信號小得多；取0．2～0．5 s時間段的數(shù)據(jù)進行參數(shù)識別時，用預(yù)測后的信號誤差比用原始信號的誤差稍微減小。

圖3 原始信號小波變換量圖Fig．3Wavelet scalogram of the original signal

圖4 預(yù)測信號小波變換量圖Fig．4Wavelet scalogramof the predicted signal

圖5 瞬時振幅與時間的關(guān)系曲線Fig．5 The relation curve of instantaneous amplitude and time

圖6 瞬時圓頻率與時間的關(guān)系曲線Fig．6 The relation curve of instantaneous angular frequency and time

圖7 瞬時圓頻率與瞬時振幅的關(guān)系曲線Fig．7 The relation curve of instantaneous angular frequency and instantaneous amplitude

圖8小波系數(shù)平方的倒數(shù)與時間的關(guān)系曲線Fig．8 The relation curve of inverse square of the wavelet coefficients and time

表1 參數(shù)識別值及其誤差Tab．1 Parameter identification values and their error

另外，因?qū)嶋H采集的信號會被噪聲污染，所以也考慮了在仿真數(shù)據(jù)中疊加一定的白噪聲的情況下該方法的有效性。加入白噪聲的幅度由信噪比（SNR）來控制，信噪比定義為信號的均方差與噪聲的均方差之比。由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測對于噪聲比較敏感，所以本文先對加入白噪聲的信號進行了濾波處理，然后用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對處理后的信號進行預(yù)測延拓，最后用復(fù)morlet小波識別出未知參數(shù)。表2給出了不同噪聲水平下參數(shù)識別的相對誤差。定義相對誤差為：

從表2中可以看出，在信噪比達(dá)到5的情況下，參數(shù)識別值的相對誤差仍在10%以內(nèi)，這表明該方法對噪聲具有一定的魯棒性。

表2 不同噪聲水平下參數(shù)識別的相對誤差Tab．2 The relative error of param eter identification under different noise levels

4．1．2 較少采樣點

對上述系統(tǒng)取0～0．2 s的振動響應(yīng)如圖9實線所示，然后進行復(fù)Morlet小波變換，小波變換量圖見圖10，各變量的關(guān)系如圖12～15實線所示。從圖中的結(jié)果可以看出因采樣點太少及邊端效應(yīng)的影響，無法對參數(shù)進行識別。采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對信號進行預(yù)測延拓后，再進行復(fù)Morlet小波變換，小波變換量圖見圖11，各變量的關(guān)系如圖12～15虛線所示，取圖14、15的0．15～0．3 s時間段的數(shù)據(jù)進行參數(shù)識別，可以很好識別出未知參數(shù)，識別結(jié)果見表3。由此可知，在采樣點較少的情況下，利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對信號進行延拓，是很有效的方法。

圖9 采樣點較少情況下的原始信號和預(yù)測信號Fig．9 Original signal and predicted signal in the less sampling points

圖10 原始信號的小波量圖Fig．10 Wavelet scalogram of the original signal

圖11 預(yù)測信號的小波量圖Fig．11 Wavelet scalogram of the predicted signal

圖12 瞬時振幅與時間的關(guān)系曲線Fig．12 The relation curve of instantaneous amplitude and time

圖13 瞬時圓頻率與時間的關(guān)系曲線Fig．13 The relation curve of instantaneous angular frequency and time

圖14 瞬時圓頻率與瞬時振幅的關(guān)系曲線Fig．14 The relation curve of instantaneous angular frequency and instantaneous amplitude

表3 參數(shù)識別值及其誤差Tab．3 Parameter identification values and their error

4.2 算例（二）

為了驗證本文的算法對于不同非線性振動模型的有效性，下面考慮第二個非線性振動模型為：

其利用多尺度法解得一階近似解為：

其中，a0為初始振幅，β0為初相位。同理系統(tǒng)的瞬時振幅和瞬時圓頻率分別為：

則有 ln（A（t））＝ln（a0）－δt即（a0）－δt，從而可知在小波脊線上｜的對數(shù)與時間t呈直線的關(guān)系，則直線斜率的絕對值為參數(shù)δ

的識別值。接著，由式（7）可得：ω（t）再由式（24）利用最小二乘法擬合出從而可得出參數(shù)ω0和ε的識別值。

對于上述模型取 δ＝3．4，ε＝3，ω0＝120，同樣采樣頻率為1 000 Hz，振動時間為0～1．0 s，初始振幅為100 mm，用Simulink搭建模型，然后采用四階龍格—庫塔法進行計算，振動響應(yīng)如圖16實線所示。為了識別參數(shù)，同樣采用復(fù)Morlet小波函數(shù)2對響應(yīng)信號和預(yù)測后的信號進行小波變換，根據(jù)上面提到的方法提取小波脊線，然后得到系統(tǒng)的瞬時振幅和瞬時圓頻率，進而識別未知參數(shù)。

圖15 小波系數(shù)平方的倒數(shù)與時間的關(guān)系曲線Fig．15 The relation curve of inverse square of the wavelet coefficients and time

圖16 原始信號和預(yù)測信號Fig．16 Original signal and predicted signal

圖17 原始信號小波變換量圖Fig．17Wavelet scalogram of the original signal

4．2．1 邊端效應(yīng)

對圖16的振動響應(yīng)原始信號和預(yù)測信號分別進行小波變換，小波變換量圖分別見圖17、18，瞬時振幅與時間的關(guān)系及瞬時圓頻率與時間的關(guān)系分別見圖19、20，瞬時振幅與瞬時圓頻率之間的關(guān)系見圖21，小波系數(shù)的對數(shù)與時間的關(guān)系見圖22。圖中實線表示原始信號經(jīng)復(fù)Morlet小波變換得出的各種關(guān)系圖，虛線表示預(yù)測信號經(jīng)復(fù)Morlet小波變換得出的各種關(guān)系圖。從圖19～22可以看出對利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測后的信號進行復(fù)Morlet小波變換能很好的解決邊端效應(yīng)。由圖21可識別出ω0和ε，由圖22可識別出δ，原始信號和預(yù)測后的信號的參數(shù)識別結(jié)果見表4。從表4可看出：直接用0～1．0 s的數(shù)據(jù)進行參數(shù)識別，預(yù)測后的信號參數(shù)識別值更接近真實值，誤差比直接用原始信號?。蝗?．2～0．8 s時間段的數(shù)據(jù)進行參數(shù)識別時，從圖19～22可以看出，在時間段0．2～0．8 s上預(yù)測前后數(shù)據(jù)是完全重合的，故在這個時間段上參數(shù)識別的值是一樣的。

圖18 預(yù)測信號小波變換量圖Fig．18Wavelet scalogram of the predicted signal

圖19 瞬時振幅與時間的關(guān)系曲線Fig．19 The relation curve of instantaneous amplitude and time

圖20 瞬時圓頻率與時間的關(guān)系曲線Fig．20 The relation curve of instantaneous angular frequency and time

圖21 瞬時圓頻率與瞬時振幅的關(guān)系曲線Fig．21 The relation curve of instantaneous angular frequency and instantaneous amplitude

圖22 小波系數(shù)的對數(shù)與時間的關(guān)系曲線Fig．22 The relation curve of logarithm of the wavelet coefficients and time

圖23 采樣點較少情況下的原始信號和預(yù)測信號Fig．23 Original signal and predicted signal in the less sampling points

表4 參數(shù)識別值及其誤差Tab．4 Parameter identification values and their error

同樣，此算例也考慮了噪聲影響的情況，表5給出了不同噪聲水平下參數(shù)識別的相對誤差。從表中可以看出信噪比達(dá)到4時，參數(shù)識別值的相對誤差在10%以內(nèi)，這表明該方法對噪聲依然具有較好的魯棒性。

表5 不同噪聲水平下參數(shù)識別的相對誤差Tab．5 The relative error of parameter identification under different noise levels

4．2．2 較少采樣點

對算例二取0～0．3 s的振動響應(yīng)如圖23實線所示，然后進行復(fù)Morlet小波變換，小波變換量圖見圖24，各變量的關(guān)系如圖26～29實線所示。從圖中的結(jié)果可以看出因采樣點太少及邊端效應(yīng)的影響，無法對參數(shù)進行識別。采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對信號進行預(yù)測延拓后，再進行復(fù)Morlet小波變換，小波變換量圖見圖25，各變量的關(guān)系如圖26～29虛線所示，取圖28～29的0．2～1．1 s時間段的數(shù)據(jù)進行參數(shù)識別，可以很好識別出未知參數(shù)，識別結(jié)果見表6。由此可知，對于此模型在采樣點較少的情況下，利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對信號進行延拓，也是很有效的方法。

圖24 原始信號的小波量圖Fig．24Wavelet scalogram of the original signal

圖25 預(yù)測信號的小波量圖Fig．25Wavelet scalogram of the predicted signal

圖26 瞬時振幅與時間的關(guān)系曲線Fig．26 The relation curve of instantaneous amplitude and time

圖27 瞬時圓頻率與時間的關(guān)系曲線Fig．27 The relation curve of instantaneous angular frequency and time

圖28 瞬時圓頻率與瞬時振幅的關(guān)系曲線Fig．28 The relation curve of instantaneous angular frequency and instantaneous amplitude

圖29 小波系數(shù)的對數(shù)與時間的關(guān)系曲線Fig．29 The relation curve of logarithm of the wavelet coefficients and time

表6 參數(shù)識別值及其誤差Tab．6 Parameter identification values and their error

5 結(jié) 論

本文利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)很好地解決了信號復(fù)Morlet小波變換所產(chǎn)生的邊端效應(yīng)，使非線性系統(tǒng)的參數(shù)識別精度有所提高。尤其是在采樣點較少的情況下，原始信號進行復(fù)Morlet小波變換后不能夠進行參數(shù)識別；而采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行信號的預(yù)測延拓，并且基于預(yù)測延拓的結(jié)果利用復(fù)Morlet小波變換進行參數(shù)識別，可較好地識別出結(jié)構(gòu)非線性模型的未知參數(shù)。而且利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測的信號，能保持原始信號的變化趨勢，不失信號的原有特征。同時，本文也驗證了該方法對噪聲具有很好的魯棒性。訓(xùn)練時所需的樣本點，原則上是越多效果越好，在本文算例中較少采樣點的情況下，用200左右的樣本點就能達(dá)到很好的效果，這為非線性系統(tǒng)的參數(shù)在線識別奠定了一定的基礎(chǔ)。

［1］Staszewski W J．Identification of non-linear systems using multi-scale ridges and skeletons of thewavelet transform［J］．Journal of Sound and Vibration，1998，214（4）：639－658．

［2］Ta M N，Lardiès J．Identification of weak nonlinearities on damping and stiffness by the continuous wavelet transform［J］．Journal of Sound and Vibration，2006，293（1）：16－37．

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