間隙非線性圓柱齒輪分流傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)與均載特性分析

桂永方，朱如鵬，靳廣虎，李枝軍

（南京航空航天大學(xué) 江蘇省精密與微細(xì)制造技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210016）

圓柱齒輪分流傳動(dòng)系統(tǒng)通過簡單定軸輪系應(yīng)用于大功率齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中，在直升機(jī)、艦船等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景。針對(duì)分流傳動(dòng)系統(tǒng)，國內(nèi)外學(xué)者開展了一系列的研究工作。White等［1－6］通過設(shè)計(jì)對(duì)比發(fā)現(xiàn)：分流傳動(dòng)系統(tǒng)相對(duì)于傳動(dòng)行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)具有終端減速比大、傳動(dòng)級(jí)少、能量損失低、可靠性高、齒輪和軸承數(shù)少、質(zhì)量輕和噪聲低等優(yōu)點(diǎn)。Rashidi等［7－10］研究了基于彈性元件和平衡梁均載機(jī)構(gòu)的單輸入圓柱齒輪分流傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，發(fā)現(xiàn)摩擦系數(shù)對(duì)平衡梁均載機(jī)構(gòu)影響很大，認(rèn)為安裝角、嚙合剛度相位是影響系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的重要設(shè)計(jì)參數(shù)；計(jì)算了連接直齒輪與人字齒輪之間軸的扭轉(zhuǎn)剛度對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)能的影響。Gmirya等［11－13］提出了應(yīng)用于CH－53K直升機(jī)的高效分流傳動(dòng)系統(tǒng)，對(duì)彈性軸均載性能進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究。楊振等［14－16］研究了二分支分流傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)與輸入轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系，采用靜力平衡法分析了制造誤差和安裝誤差對(duì)傳動(dòng)系統(tǒng)均載系數(shù)的影響。董皓等［17］采用變形協(xié)調(diào)法，研究了雙重功率分流傳動(dòng)系統(tǒng)的制造誤差和安裝誤差對(duì)系統(tǒng)功率分流的影響。由于齒側(cè)間隙的存在，輪齒間的接觸狀態(tài)會(huì)發(fā)生變化，導(dǎo)致輪齒間的接觸、脫離、再接觸的重復(fù)沖擊，帶來的強(qiáng)烈振動(dòng)和較大的動(dòng)載荷，影響了分流傳動(dòng)系統(tǒng)的載荷分配。目前，關(guān)于齒側(cè)間隙對(duì)雙輸入分流傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)均載特性的研究，鮮有文獻(xiàn)報(bào)道。

本文以雙輸入圓柱齒輪分流傳動(dòng)系統(tǒng)為研究對(duì)象，考慮左右輸入軸之間安裝角、軸的橫向位移、時(shí)變嚙合剛和齒側(cè)間隙等因素，基于集中質(zhì)量法，建立了彎扭耦合的圓柱齒輪分流系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)模型；分析了齒側(cè)間隙對(duì)分流傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)均載系數(shù)的影響，為圓柱齒輪分流傳動(dòng)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)。

1 分流傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

圖1為雙輸入圓柱齒輪分流傳動(dòng)系統(tǒng)示意圖。圖中，LD和RD分別表示左右輸入構(gòu)件。雙輸入分流傳動(dòng)系統(tǒng)分為左右兩個(gè)輸入端，每個(gè)輸入路線由分流級(jí)傳動(dòng)系統(tǒng)（左端：輸入齒輪ZLp和兩分支齒輪ZL1s、ZL2s；右端：輸入齒輪ZRp和兩分支齒輪ZR1s、ZR2s）與并車級(jí)傳動(dòng)系統(tǒng)（左端：兩分支齒輪ZL1h、ZL2h；右端：兩分支齒輪ZR1h、ZR2h；輸出齒輪ZB）組成。扭矩經(jīng)左右兩輸入齒輪ZLp和ZRp將扭矩傳遞給與其同時(shí)嚙合的兩分支齒輪ZL1s與ZL2s和ZR1s與ZR2s，實(shí)現(xiàn)扭矩分流；又經(jīng)過齒輪ZR1h與ZR2h和ZL1h與ZL2h匯流至輸出齒輪ZB，實(shí)現(xiàn)扭矩并車。齒輪 ZR1s與 ZR1h、ZR2s與 ZR2h、ZL1s與 ZL1h和 ZL2s與ZL2h通過扭力軸相聯(lián)。圖2所示為雙輸入圓柱齒輪分流傳動(dòng)系統(tǒng)各軸安裝角度關(guān)系圖。

圖1 雙輸入圓柱齒輪分流傳動(dòng)系統(tǒng)示意圖Fig．1 Sketch of2－input cylindrical gear split-torque transmission system

圖2 雙輸入圓柱齒輪分流系統(tǒng)安裝角度關(guān)系圖Fig．2 Installation angle of 2－input cylindrical gear split-torque transmission system

圖3 雙輸入圓柱齒輪分流傳動(dòng)系統(tǒng)物理模型Fig．3 Dynamicmodel ofcylindrical gear split－torque transmission system

圖3為彈性支承下的雙輸入圓柱齒輪分流傳動(dòng)系統(tǒng)的物理模型。各級(jí)傳動(dòng)軸的支撐剛度分為X、Y兩個(gè)方向，嚙合副、回轉(zhuǎn)副及支撐處的彈性變形用等效彈簧剛度表示。各構(gòu)件的剛度、阻尼、傳遞誤差和齒側(cè)間隙分別用字母K、c、e、b配合相應(yīng)的下標(biāo)表示。

雙輸入圓柱齒輪分流傳動(dòng)系統(tǒng)共有28個(gè)自由度，其廣義位移矢量Y可表示為

式中，φjp、φjis和 φjih分別為 Zjp、Zjis和 Zjih的扭轉(zhuǎn)微位移；φjD、φB和φo分別為左右輸入端、ZB和輸出端的扭轉(zhuǎn)微位移；Xjp和Xji分別為左右輸入軸和分支i的坐標(biāo)系橫向位移；Yjp和Yji分別為左右輸入軸和分支i的坐標(biāo)系縱向位移；XB和YB分別為輸出軸坐標(biāo)系橫向和縱向位移；j＝L，R，i＝1，2。

2 嚙合線綜合位移

圖4為雙輸入圓柱齒輪分流傳動(dòng)系統(tǒng)的局部與廣義坐標(biāo)關(guān)系圖。圖中，上標(biāo)有星號(hào)的表示局部坐標(biāo)，坐標(biāo)系中的Y、Y*沿齒輪嚙合線方向。根據(jù)齒輪嚙合關(guān)系可知，當(dāng)一個(gè)齒輪同時(shí)與兩個(gè)齒輪嚙合時(shí)，兩嚙合線的交角與齒輪中心連線的交角相等。設(shè)左右輸入軸的坐標(biāo)為左右輸入端在輸出齒輪上形成的坐標(biāo)是

設(shè)γ為相應(yīng)齒輪副的壓力角的余角，則可得左右輸入齒輪副壓力角的余角分別為γjnpis和γjnBih。取XB和YB分別表示XLB和YLB，則可得

由圖4可得嚙合線相對(duì)位移與扭轉(zhuǎn)位移之間的關(guān)系為：

圖4 系統(tǒng)的局部與廣義坐標(biāo)關(guān)系圖Fig．4 Relationship of partial and generalized coordinates of system

為消除剛體位移，在保持系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不變的前提下，將各軸的扭轉(zhuǎn)位移轉(zhuǎn)換為線位移，則得

式中，rjDp、rjisih和rBo分別是左右輸入軸、雙聯(lián)齒輪軸i和輸出軸的半徑。

根據(jù)系統(tǒng)的分流并車閉環(huán)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和變形協(xié)調(diào)的要求，由式（3）與式（4），可求得 YRnB2h為

同理，可以求得相對(duì)位移YLnB2h的表達(dá)式。

3 分流傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程

令Fjnpis和FjnBih分別為齒輪副 Zjp與 Zjis和 ZB與 Zjih之間的嚙合力，則各齒輪副之間的嚙合力為

式中，Kl、fl（Yl）和 cl分別為齒輪副的時(shí)變嚙合剛度、間隙函數(shù)和嚙合阻尼，l為jnpis和jnBih。

嚙合剛度的時(shí)變性采用齒頻的間諧周期函數(shù)來反映，其表達(dá)式為［14］：

式中分別為齒輪副的平均嚙合剛度、剛度幅值系數(shù)和嚙合頻率，其中直齒輪嚙合剛度均值Kjnpis采用有限元法獲得，而人字齒輪嚙合剛度均值KjnBih按斜齒輪嚙合剛度并聯(lián)方式計(jì)算獲得。

設(shè)齒輪副間的法向平均嚙合間隙為2bl，間隙函數(shù)fl（Yl）可表示為

傳動(dòng)系統(tǒng)中，傳動(dòng)軸上受到多對(duì)嚙合力的作用。為推導(dǎo)系統(tǒng)的微分運(yùn)動(dòng)方程，需要將各個(gè)嚙合力沿軸的廣義坐標(biāo)的兩個(gè)方向進(jìn)行分解。由坐標(biāo)變換矩陣的逆矩陣可得分流傳動(dòng)系統(tǒng)右輸入各軸和輸出軸沿X、Y方向的合力為

式中，F(xiàn)Rpx與FRpy和FRix與FRiy分別為右輸入軸，右分支i橫向與縱向受力；FBx和FBy分別為輸出軸橫向受力和縱向受力。

便于計(jì)算與分析，引入下述變量，即

根據(jù)以上狀況分析，建立雙輸入圓柱齒輪分流傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程組，右輸入端方程如式（11）～式（13），分別為

式中，mRp、mRis、mRih和 mB分別為 ZRp、ZRis、ZRih和 ZB的質(zhì)量；IRp、IRis、IRih和 IB分別為 ZRp、ZRis、ZRih和 ZB的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；MRi為（mRis＋mRih）。

式中，TjD和To分別為左右輸入和輸出扭矩；IjD和Io分別為左右輸入和輸出的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

4 動(dòng)載荷與均載系數(shù)計(jì)算

采用四階龍格庫塔法求解系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，獲得系統(tǒng)的位移響應(yīng)，將位移代入式（6），獲得動(dòng)態(tài)嚙合力Pjnpis和PjnBih。令Gjnpis和GjnBih分別為分流級(jí)和并車級(jí)傳動(dòng)系統(tǒng)中各嚙合線上的動(dòng)載系數(shù)，則動(dòng)載系數(shù)為：

式中，Pjp和 Pjih分別為（TjD／rjbp）和（Zjis／Zjp）Pjp。

令bjisk1和bjihk2分別為左右輸入端每一齒頻周期分流級(jí)和并車級(jí)各分支的均載系數(shù)。每一齒頻周期中的均載系數(shù)［18］為：

式中，k1為 1，2，…，n1；k2為 1，2，…，n2；n1、n2分別為系統(tǒng)周期分流級(jí)和并車級(jí)的嚙合齒頻周期數(shù)；N為2。

令Ωjis和Ωjih分別為左右輸入端系統(tǒng)周期分流級(jí)和并車級(jí)各齒輪副的均載系數(shù)，則系統(tǒng)周期內(nèi)各齒輪副均載系數(shù)為

則左右輸入端分流級(jí)和并車級(jí)系統(tǒng)周期均載系數(shù)Ωjs和 Ωjh為

5 均載特性分析

本文進(jìn)行算例分析的雙輸入分流傳動(dòng)系統(tǒng)的基本參數(shù)如下：

表1 雙輸入分流傳動(dòng)系統(tǒng)基本參數(shù)Tab．1 Basic parameters of 2－input sp lit-torque transm ission system

5．1 傳動(dòng)系統(tǒng)各分支齒頻周期均載系數(shù)分析

圖5所示為分流傳動(dòng)系統(tǒng)的齒頻周期均載系數(shù)。從圖5中可知，系統(tǒng)獲得穩(wěn)定以后，雖然系統(tǒng)幾何結(jié)構(gòu)是對(duì)稱的，但左右輸入端的各分支承受的扭矩并不相等，右分支2和左分支1承受的扭矩較大。

5．2 分流級(jí)單分支齒側(cè)間隙對(duì)傳動(dòng)系統(tǒng)均載特性的影響分析

研究分流級(jí)單分支齒側(cè)間隙對(duì)系統(tǒng)均載特性的影響時(shí)，在其它齒側(cè)間隙不變的情況下，分別改變兩輸入齒側(cè)間隙 bRnp1s與 bLnp1s、bRnp2s與 bLnp2s，獲得系統(tǒng)周期均載系數(shù)分別隨齒側(cè)間隙bLnp1s與bRnp1s、bLnp2s與 bRnp2s的變化曲線。

圖5 分流傳動(dòng)系統(tǒng)的齒頻周期均載系數(shù)Fig．5 the load sharing coefficient of gearmesh frequency for split-torque transmission system

圖6～7所示為分流級(jí)單分支齒側(cè)間隙與分流級(jí)和并車級(jí)均載系數(shù)變化關(guān)系。分流級(jí)均載系數(shù)ΩR1s與ΩL1s、ΩR2s與ΩL2s對(duì)分流級(jí)單邊齒側(cè)間隙敏感，隨著齒側(cè)間隙bRnp1s與bLnp1s、bRnp2s與bLnp2s增加而增加。分流級(jí)單邊齒側(cè)間隙對(duì)并車級(jí)均載影響小，均載系數(shù)ΩR2h、ΩL1h分別隨齒側(cè)間隙bRnp1s、bLnp2s增大略有增加，分別如圖6（a）和7（b）所示；均載系數(shù) ΩL1h、ΩR2h分別隨齒側(cè)間隙bLnp1s、bRnp2s增大略有減小，如圖 6（b）和圖 7（a）所示。

5．3 并車級(jí)單分支齒側(cè)間隙對(duì)傳動(dòng)系統(tǒng)均載特性的影響分析

圖6 均載系數(shù)與齒側(cè)間隙bRnp1s、bLnp1s變化關(guān)系Fig．6 Relationship between the load sharing coefficient of and backlash bRnp1s、bLnp1s

圖7 均載系數(shù)與齒側(cè)間隙bRnp2s、bLnp2s變化關(guān)系Fig．7 Relationship between the load sharing coefficient of and backlash bRnp2s、bLnp2s

研究并車級(jí)單分支齒側(cè)間隙對(duì)系統(tǒng)均載特性的影響時(shí)，在其它齒側(cè)間隙不變的情況下，分別改變兩輸入齒側(cè)間隙bRnB1h與bLnB1h、bRnB2h與bLnB2h，獲得系統(tǒng)周期均載系數(shù)分別隨齒側(cè)間隙bLnB1h與bRnB1h、bLnB2h與bRnB2h的變化曲線。

圖8～9所示為并車級(jí)單分支齒側(cè)間隙與分流級(jí)和并車級(jí)均載系數(shù)變化關(guān)系。并車級(jí)均載系數(shù)ΩR1h與ΩL1h、ΩR2h與ΩL2h對(duì)并車級(jí)單邊齒側(cè)間隙敏感，隨齒側(cè)間隙bRnB1h與 bLnB1h、bRnB2h與bLnB2h增加而增加。并車級(jí)單邊齒側(cè)間隙對(duì)分流級(jí)均載系數(shù)影響小，均載系數(shù)ΩR2s、ΩL1s分別隨齒側(cè)間隙bRnB1h、bLnB2h增大略有增加，如圖8（a）和 9（b）所示；均載系數(shù) ΩL1s、ΩR2s分別隨著齒側(cè)間隙 bLnB1h、bRnB2h增大略有減小，如圖 8（b）和 9（a）所示。

5．4 分流級(jí)雙分支齒側(cè)間隙對(duì)傳動(dòng)系統(tǒng)的均載特性影響分析

研究分流級(jí)雙分支齒側(cè)間隙對(duì)系統(tǒng)均載特性的影響，分別改變分流級(jí)齒側(cè)間隙 bLnp1s、bLnp2s、bRnp1s、bRnp2s，獲得系統(tǒng)周期均載系數(shù)隨分流級(jí)以及并車級(jí)雙分支齒側(cè)間隙變化曲線。

圖8 均載系數(shù)與齒側(cè)間隙bRnB1h、bLnB1h變化關(guān)系Fig．8 Relationship between the load sharing coefficient and backlash bRnB1h、bLnB1h

圖9 均載系數(shù)與齒側(cè)間隙bRnB2h、bLnB2h變化關(guān)系Fig．9 Relationship between the load sharing coefficient and backlash bRnB2h、bLnB2h

圖10 右輸入均載系數(shù)與間隙bRnp1s、bRnp2s變化關(guān)系Fig．10 Relationship between the load sharing coefficient of right input and backlash bRnp1s、bLnp2s

圖10～11所示為分流級(jí)雙分支齒側(cè)間隙與分流級(jí)和并車級(jí)均載系數(shù)變化曲線。隨著齒輪ZLp與ZL1s、ZL2s以及齒輪 ZRp與 ZR1s、ZR2s嚙合副間齒側(cè)間隙 bLnp1s、bLnp2s、bRnp1s、bRnp2s等值變化，分流級(jí)均載系數(shù) ΩL2s與 ΩR2s對(duì)分流級(jí)雙邊齒側(cè)間隙敏感，隨著齒側(cè)間隙bLnp1s與bLnp2s、bRnp1s與 bRnp2s增加而減小，如圖 10（a）和圖 11（a）所示；分流級(jí)雙分支齒側(cè)間隙對(duì)并車級(jí)均載系數(shù)影響小，如圖10（b）和圖11（b）所示。

圖11 左輸入均載系數(shù)與間隙bLnp1s、bLnp2s變化關(guān)系Fig．11 Relationship between the load sharing coefficient of left input and backlash bLnp1s、bLnp2s

5．5 并車級(jí)雙分支齒側(cè)間隙對(duì)傳動(dòng)系統(tǒng)的均載特性影響分析

研究并車級(jí)雙分支齒側(cè)間隙對(duì)系統(tǒng)均載特性的影響，分別改變并車級(jí)齒側(cè)間隙 bLnB1h、bLnB2h、bRnB1h、bRnB2h，獲得系統(tǒng)周期均載系數(shù)隨分流級(jí)以及并車級(jí)雙分支齒側(cè)間隙變化曲線。

圖12～13所示為并車級(jí)雙分支齒側(cè)間隙與分流級(jí)和并車級(jí)均載系數(shù)變化曲線。隨著齒輪ZB與ZL1h、ZL2h，齒輪 ZB與 ZR1h、ZR2h嚙合副間齒側(cè)間隙 bLnB1h、bLnB2h、bRnB1h、bRnB2h等值變化，并車級(jí)均載系數(shù) ΩL2h與ΩR2h對(duì)分流級(jí)雙邊齒側(cè)間隙敏感，隨著齒側(cè)間隙bLnB1h與 bLnB2h、bRnB1h與 bRnB2h增加而減小，如圖 12（b）和圖 13（b）所示；并車級(jí)雙分支齒側(cè)間隙對(duì)分流級(jí)均載系數(shù)影響小，如圖12（a）和圖 13（a）所示。

圖12 右輸入均載系數(shù)與間隙bRnB1h、bRnB2h變化關(guān)系Fig．12 Relationship between the load sharing coefficient of right input and backlash bRnB1h、bRnB2h

圖13 左輸入均載系數(shù)與間隙bLnB1h、bLnB2h變化關(guān)系Fig．13 Relationship between the load sharing coefficient of left input and backlash bLnB1h、bLnB2h

5．6 齒側(cè)間隙對(duì)傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)載特性的影響分析

從前面的研究可知，雙分支齒側(cè)間隙的同步變化有利于改善均載系數(shù)，但是較大的齒側(cè)間隙會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生較大沖擊載荷，影響傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)載系數(shù)。為研究齒側(cè)間隙對(duì)傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)載系數(shù)的影響，假設(shè)同步改變各齒輪嚙合副間齒側(cè)間隙，使其從0～60μm變化，獲得動(dòng)載系數(shù)隨各齒輪嚙合副間齒側(cè)間隙變化曲線，如圖14所示。傳動(dòng)系統(tǒng)左右輸入的分流級(jí)和并車級(jí)動(dòng)載系數(shù)隨齒側(cè)間隙的增加而增大。并車級(jí)動(dòng)載系數(shù)GLnB1h、GLnB2h、GRnB1h和GRnB2h對(duì)齒側(cè)間隙敏感度相對(duì)分流級(jí)動(dòng)載系數(shù) GLnp1s、GLnp2s、GRnp1s和 GRnp2s高。

圖14 動(dòng)載系數(shù)與齒側(cè)間隙變化關(guān)系Fig．14 Relationship between dynamic load coefficient and backlash

6 結(jié) 論

（1）分流級(jí)均載系數(shù)隨分流級(jí)單分支齒側(cè)間隙增加而增大，隨分流級(jí)雙分支齒側(cè)間隙增加而減??；

（2）分流級(jí)單分支、雙分支齒側(cè)間隙對(duì)并車級(jí)均載系數(shù)影響較?。?/p>

（3）并車級(jí)均載系數(shù)隨并車級(jí)單分支齒側(cè)間隙增加而增大，隨并車級(jí)雙分支齒側(cè)間隙增加而減??；

（4）并車級(jí)單分支、雙分支齒側(cè)間隙對(duì)分流級(jí)均載系數(shù)影響較??；

（5）傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)載系數(shù)隨雙分支齒側(cè)間隙的增加而增大。

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