基于改進(jìn)視線坐標(biāo)系的三維L2-增益制導(dǎo)律研究①

張 旭，雷虎民，李 炯，張金鵬，張蓬蓬

(1.空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院，西安 710051;2.中國空空導(dǎo)彈研究院，洛陽 471009)

基于改進(jìn)視線坐標(biāo)系的三維L2-增益制導(dǎo)律研究①

張 旭1，雷虎民1，李 炯1，張金鵬2，張蓬蓬2

(1.空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院，西安 710051;2.中國空空導(dǎo)彈研究院，洛陽 471009)

針對臨近空間高超聲速飛行器攔截問題，研究了一種具有清晰物理意義的改進(jìn)視線坐標(biāo)系，設(shè)計了相應(yīng)的坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換關(guān)系，并推導(dǎo)了攔截彈-目標(biāo)的三維相對運動學(xué)模型;與傳統(tǒng)的模型相比，該模型減少了狀態(tài)方程的個數(shù)，使三維制導(dǎo)律的設(shè)計更加簡捷、方便。在此基礎(chǔ)上，采用基于L2-增益的魯棒控制理論，將目標(biāo)機動和攔截彈導(dǎo)引頭的量測誤差視為有界干擾，設(shè)計了一種基于改進(jìn)視線坐標(biāo)系的三維L2-增益制導(dǎo)律。仿真結(jié)果表明，相對于比例制導(dǎo)律，文中所設(shè)計的制導(dǎo)律可使彈目視線角速率在有限時間內(nèi)趨近于零，且具有較短的攔截時間和更好的噪聲抑制能力，有一定的工程應(yīng)用價值。

改進(jìn)視線坐標(biāo)系;三維;L2-增益;制導(dǎo)律

0 引言

臨近空間高超聲速飛行器具備高空、高速等特點，可在短時間內(nèi)抵達(dá)地球上的任何一點，迅速打擊數(shù)千或上萬公里外的各類軍事目標(biāo)，近年來成為世界各主要軍事大國的研究熱點［1］。在以往攔截低速目標(biāo)的過程中，導(dǎo)彈在速度、機動性和敏捷性方面均具有明顯的優(yōu)勢;然而，對于攔截未來可能用于實戰(zhàn)的高速、大機動目標(biāo)，比例導(dǎo)引律就不能達(dá)到滿意的效果，而對付此類目標(biāo)的一個最有效的措施是采用魯棒制導(dǎo)律［2］。因此，如何設(shè)計制導(dǎo)精度高、魯棒性能好的新型制導(dǎo)律，成為反臨近空間高超聲速飛行器技術(shù)亟待解決的重要問題。

魯棒控制是控制理論界非?；钴S的一個研究領(lǐng)域，在機器人、航空航天等各類工程系統(tǒng)中得到了日益重要的應(yīng)用［3］。Yang C D［4］將目標(biāo)機動視為未知擾動，利用非線性H∞控制理論，設(shè)計了二維平面的非線性H∞制導(dǎo)律，并用解析方法求解了Hamilton-Jacobi偏微分方程，但在實際應(yīng)用中，由于導(dǎo)彈的徑向加速度不可控，降低了其實際應(yīng)用價值。解增輝［5］將H∞控制理論與變結(jié)構(gòu)控制理論相結(jié)合，推導(dǎo)了一種具有全程魯棒性的H∞變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律，但該制導(dǎo)律僅在二維平面內(nèi)進(jìn)行推導(dǎo)。Zhou Di［6］利用非線性L2增益控制理論，設(shè)計了具有L2-增益的魯棒制導(dǎo)律，并通過與實際真比例制導(dǎo)律進(jìn)行仿真對比，證明了該制導(dǎo)律具有良好的制導(dǎo)性能，但也未擴(kuò)展到三維空間。武立軍［7］利用魯棒動態(tài)逆方法，在球坐標(biāo)系下設(shè)計了基于零化視線角速率思想的魯棒制導(dǎo)律，但其導(dǎo)彈-目標(biāo)相對運動模型較為復(fù)雜。Feng Tyan［8-9］首次提出了改進(jìn)極坐標(biāo)系，并設(shè)計了自適應(yīng)GIPN制導(dǎo)律;劉利軍［10］采用改進(jìn)極坐標(biāo)系，利用多項式擬合的SDRE方法設(shè)計了三維次優(yōu)導(dǎo)引律。但其在建立改進(jìn)極坐標(biāo)系時均是基于某種假設(shè)進(jìn)行推導(dǎo)的，說服力不強。

本文針對具有高速特性的臨近空間高超聲速飛行器攔截問題，參考文獻(xiàn)［8-10］，利用矢量絕對導(dǎo)數(shù)和相對導(dǎo)數(shù)的關(guān)系特性，推導(dǎo)了改進(jìn)視線坐標(biāo)系(Modified Line-of-sight Coordinate System，MLC)，設(shè)計了坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，并推導(dǎo)了基于此坐標(biāo)系的攔截彈-目標(biāo)三維相對運動學(xué)模型。與文獻(xiàn)［7］相比，該模型具有更加清晰的物理意義，并將相對運動學(xué)模型的方程個數(shù)從6個減為3個，大大減小了模型中各變量之間的耦合，使三維制導(dǎo)律的分析和設(shè)計更加簡捷、方便。同時，采用非線性L2-增益魯棒控制理論［11］，設(shè)計了基于MLC的三維L2-增益制導(dǎo)律。通過與PNG進(jìn)行仿真對比，表明所設(shè)計制導(dǎo)律具有較短的飛行時間和更好的噪聲抑制能力，滿足高精度制導(dǎo)律的設(shè)計需求。

1 制導(dǎo)模型描述與分析

1.1 MLC描述

如圖1所示，oxyz為慣性坐標(biāo)系，rT、rM分別為攔截彈和目標(biāo)在慣性坐標(biāo)系下的位置矢量，vI、vT分別為攔截彈和目標(biāo)的速度矢量，r為二者的相對位置矢量，er為r的單位矢量。

圖1 MLC下的彈目相對運動學(xué)關(guān)系Fig.1 Relative motion geometry of interceptor and target under MLC

根據(jù)圖1所示的攔截彈-目標(biāo)相對運動學(xué)關(guān)系，可得到二者相對速度和相對加速度方程:

由此得到基于(er，et，eΩ)的視線坐標(biāo)系 oxlylzl，與經(jīng)典視線坐標(biāo)系相比，該坐標(biāo)系并未將其y方向固定在包含ox方向的縱向平面內(nèi)，而是令其與視線方向和視線轉(zhuǎn)率方向隨動。這種基于視線矢量和視線轉(zhuǎn)率矢量的隨動坐標(biāo)系物理意義清晰，能夠更加簡捷、直觀、方便地描述彈目相對運動的本質(zhì)。

1.2 MLC與慣性坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系

首先，將攔截彈與目標(biāo)在慣性坐標(biāo)系的位置向量做差，將相對位置矢量進(jìn)行單位化，得到在慣性坐標(biāo)系下 er的單位向量［erx，ery，erz］T。式中 θL和φL分別為攔截彈-目標(biāo)的視線傾角和視線偏角。

再次，將ΩLI從視線坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到慣性坐標(biāo)系表示，即得到視線坐標(biāo)系到慣性坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)角速度矢量在慣性坐標(biāo)系下的展開形式ΩIl;根據(jù)視線坐標(biāo)系和MLC的定義可知，ΩIl也是MLC相對慣性坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)角速度。于是:式中 MLI為慣性坐標(biāo)系到視線坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣。

將ΩIl進(jìn)行單位化，就可得到地面坐標(biāo)系下eΩ的向量［eΩx，eΩy，eΩz］T。

1.3 基于MLC的制導(dǎo)模型

將aT和aI在MLC下展開，可得其在MLC的3個坐標(biāo)軸的分量:

［9，12-13］，可得攔截彈與目標(biāo)的相對運動學(xué)模型:

該彈目相對運動學(xué)模型與目前文獻(xiàn)中常見的模型有一定的相似度，但是各個變量所表達(dá)的含義有很大差異。以文獻(xiàn)［4］為代表的常見彈目相對運動模型是在導(dǎo)彈攔截的縱向平面進(jìn)行推導(dǎo)的，只適用于二維平面，如果要在三維空間中使用，還需要在解耦的側(cè)向平面中進(jìn)行拓展;而本文所推導(dǎo)的模型是則是在三維空間中進(jìn)行推導(dǎo)的，適用于三維空間的攔截情況。

與基于經(jīng)典視線坐標(biāo)系［11］的運動學(xué)模型相比，雖然該模型中各變量之間仍存在耦合，但比傳統(tǒng)模型更加簡單，且不存在復(fù)雜的數(shù)學(xué)運算，大大降低了對模型的分析、處理及制導(dǎo)律設(shè)計難度。

2 基于L2-增益的三維魯棒制導(dǎo)律設(shè)計

由于在末制導(dǎo)階段，攔截彈和目標(biāo)在視線方向上的加速度幾乎不變且很難控制，故可對aTr和aMr兩項略去處理。由式(16)中第三式，可得

在實際作戰(zhàn)過程中，攔截彈與目標(biāo)之間的相對距離、相對速度只能通過估計得到，這樣就必然存在估計誤差;同時，攔截彈和目標(biāo)的重力加速度作為在制導(dǎo)律設(shè)計中的有界不確定項，也應(yīng)當(dāng)進(jìn)行考慮。因此，式(17)可寫為如下形式:

首先，引入一個關(guān)于魯棒L2-增益性能設(shè)計問題的定義［11］。

式(29)就達(dá)到了三維魯棒制導(dǎo)律所應(yīng)該滿足的L2-增益性能指標(biāo)。這表明在任何的有界制導(dǎo)參數(shù)攝動下，MLC下的攔截彈的側(cè)向速度是有界的;只要恰當(dāng)?shù)剡x擇c(t)、δ0和δ1，就可使攔截彈的側(cè)向速度足夠小，即迫使視線角速率趨向于零，從而確保了攔截彈的制導(dǎo)精度。

該制導(dǎo)律是在MLC下表示的，在實際運用中，還需要根據(jù)1.2節(jié)所描述坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換關(guān)系，將攔截彈的指令加速度從MLC轉(zhuǎn)換到視線坐標(biāo)系下。

3 仿真方案及性能分析

以攔截彈在臨近空間攔截高超聲速目標(biāo)為例，兩飛行器在慣性坐標(biāo)系下的運動學(xué)模型分別為

式中 xI、yI、zI、xT、yT、zT分別為攔截彈和目標(biāo)在慣性坐標(biāo)系下的位置分量;θI、φI、θT、φT分別為攔截彈和目標(biāo)的彈道傾角和彈道偏角。

攔截彈和高超聲速目標(biāo)進(jìn)入末制導(dǎo)時的狀態(tài)參數(shù)如表1所示。

表1 攔截彈與目標(biāo)的初始狀態(tài)參數(shù)Table 1 Initial state parameters of interceptor and target

制導(dǎo)律的參數(shù)選取如下:β=10.1，λ=4，γ=0.01，ρ-=0.5，δ0=0.4，δ1=6。

攔截彈的自動駕駛儀用二階動態(tài)特性描述:

根據(jù)攔截彈設(shè)計的要求和實際工程經(jīng)驗，選取攔截彈自動駕駛儀動態(tài)參數(shù)為 ζ=0.78，ωn=8.2。

在本文的臨近空間攔截實例仿真中，攔截彈的最大允許過載為15 g;導(dǎo)引頭的采樣周期和指令形成周期在開始攔截時為10 ms，當(dāng)攔截彈和目標(biāo)的距離小于300 m時，改為1 ms，這樣既保證了仿真速度，又保證了攔截精度;攔截彈的制導(dǎo)盲區(qū)設(shè)置為100 m，即當(dāng)攔截彈與目標(biāo)的距離小于該距離時，制導(dǎo)指令置零，攔截彈依靠慣性向目標(biāo)飛去;目標(biāo)為逃避攔截做正弦加速機動:

式中 atmax為目標(biāo)最大機動加速度，一般臨近空間高超聲速目標(biāo)的最大機動加速度atmax為2～4 g。

在仿真中，還將基于L2-增益的三維魯棒制導(dǎo)律(L2GG)的仿真結(jié)果與真比例導(dǎo)引(PNG)進(jìn)行對比分析。仿真結(jié)果如圖2、圖3所示。

PNG的形式如下:

式中 K為導(dǎo)引系數(shù)，K=3。

圖2 攔截彈攻擊目標(biāo)曲線Fig.2 Simulation curves of interceptor attacking target

圖3 視線角速率隨時間的變化曲線Fig.3 Time history of line-of-sight angles

由圖2可知，L2GG的彈道比PNG的彈道低。因此，與PNG相比，L2GG可在更短時間內(nèi)命中目標(biāo)。由圖3可知，L2GG在仿真開始5 s后，視線角速率收斂到0.1°/s以內(nèi)，這表明L2GG的視線角速率可在有限時間內(nèi)收斂，從而保證了攔截彈較高的制導(dǎo)精度;而PNG的視線角速率較大，這對于攔截高速、大機動目標(biāo)是不利的。由圖4可知，L2GG的彈道傾角在5 s之后幾乎保持不變，這表明在5 s之后攔截彈彈體變化較小，對末制導(dǎo)階段導(dǎo)引頭穩(wěn)定跟蹤目標(biāo)十分有利;同時，L2GG的彈道傾角略大于PNG的彈道傾角，這也是引起L2GG的彈道比PNG彈道低的原因。

為全面分析2種制導(dǎo)律的制導(dǎo)特性，對2種制導(dǎo)律所共同使用的制導(dǎo)參數(shù)r^(t)增加隨機噪聲干擾，令

同時，針對目標(biāo)不同的機動大小，以及攔截彈初始彈道傾角過小的情況，進(jìn)行仿真對比，仿真結(jié)果如表2所示。由表2可知，在不加噪聲和加噪聲的情況下，L2GG的飛行時間和脫靶量均比PNG小，且目標(biāo)機動加速度越大，攔截彈的飛行時間越長、脫靶量越小。通過對加噪聲情況和不加噪聲情況進(jìn)行對比，可發(fā)現(xiàn):對于PNG，在加噪聲之后，飛行時間保持不變，但脫靶量比未加噪聲時有所增加，而L2GG在加噪聲之后飛行時間和脫靶量均保持不變;同時，在攔截彈初始彈道傾角過小(θI0=10°)的情況下，通過對加噪聲和不加噪聲兩種情況進(jìn)行對比，亦可得到與前面類似的結(jié)論;這表明PNG作為一種最優(yōu)制導(dǎo)律，雖然具有一定的噪聲抑制能力，但其制導(dǎo)性能遠(yuǎn)不及L2GG。

圖4 攔截彈航跡角隨時間的變化曲線Fig.4 Time history of the flight-path angles

表2 不同初始情況下的仿真對比Table 2 Simulation comparison between different initial conditions

4 結(jié)論

(1)相對于比例制導(dǎo)律，本文所設(shè)計的基于MLC的三維L2-增益制導(dǎo)律顯示出很強的魯棒性，可使視線角速率在有限時間內(nèi)趨近于零，且具有較短的攔截時間和更好的噪聲抑制能力，達(dá)到了制導(dǎo)律設(shè)計的需求，具有一定的工程應(yīng)用價值。

(2)本文在制導(dǎo)律設(shè)計過程中未考慮攔截彈控制系統(tǒng)的影響，僅是在仿真時將其視為二階慣性環(huán)節(jié)。因此，將制導(dǎo)系統(tǒng)和控制系統(tǒng)進(jìn)行綜合設(shè)計將是一步研究的主要方向。

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(編輯:呂耀輝)

Three-dimensional guidance law with L2-gain based on modified line-of-sight coordinate system

ZHANG Xu1，LEI Hu-min1，LI Jiong1，ZHANG Jin-peng2，ZHANG Peng-peng2
(1.Air and Missile Defense College，Air Force Engineering University，Xi′an 710051，China;2.China Airborne Missile Academy，Luoyang 471009，China)

A modified line-of-sight coordinate system with plain physical meaning was investigated for near-space hypersonic aircraft interception.Besides，the exchange of two coordinate systems was designed，and a three-dimensional relative model between interceptor and target was deduced.Compared with traditional model，the new model reduces the number of the state equation，and makes the design of the guidance law more simple and convenient.Then，by adopting robust control theory with L2-gain，a three-dimensional guidance law with L2-gain based on modified line-of-sight coordinate system was proposed by taking the target maneuver and the measurement error as bounded disturbance.Simulation results show that the proposed guidance law could make the line-ofsight angle converge to zero in finite time and has less intercepting time and better noise attenuation ability，which could offer some references for engineering application.

modified line-of-sight coordinate system;three-dimensional;L2-gain;guidance

V448

A

1006-2793(2014)04-0463-06

10.7673/j.issn.1006-2793.2014.04.006

2013-08-26;

2013-11-18。

航空科學(xué)基金項目(20130196004)。

張旭(1988—)，男，博士生，主要研究方向為飛行器制導(dǎo)與控制技術(shù)。E-mail:dragonhorse12345@163.com

矢量的絕對導(dǎo)數(shù)和相對導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系:在慣性坐標(biāo)系中，某一矢量對時間的導(dǎo)數(shù)(絕對導(dǎo)數(shù))與同一矢量在動坐標(biāo)系中對時間的導(dǎo)數(shù)(相對導(dǎo)數(shù))之差，等于這個矢量本身與動坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動角速度的矢量乘積，即