高考數(shù)學必做解答題——解析幾何

趙攀峰

1 利用函數(shù)思想破解解析幾何問題

（ ）必做1 在平面直角坐標系xOy中，橢圓C： + =1（a>b>0）的上頂點到焦點的距離為2，離心率為 .

（1）求a，b的值.

（2）設(shè)P是橢圓C長軸上的一個動點，過點P作斜率為k的直線l交橢圓C于A，B兩點.

①若k=1，求△OAB面積的最大值；

②若PA2+PB2的值與點P的位置無關(guān)，求k的值.

破解思路 第（2）問的第1小題直接設(shè)出直線方程為y=x-m，將△OAB的面積用參數(shù)m表示，即建立關(guān)于參數(shù)m的目標函數(shù)，此時可用換元法結(jié)合二次函數(shù)求最值，也可用基本不等式求最值；第2小題同樣是將PA2+PB2表示為關(guān)于m的目標函數(shù)，因其取值與點P的位置無關(guān)，故目標函數(shù)中參數(shù)m的系數(shù)應(yīng)為0，由此可解得k的值.

精妙解法 （1）由題設(shè)可知a=2，e= = ，所以c= ，故b=1. 因此，a=2，b=1.

（2）由（1）可得，橢圓C的方程為 +y2=1. 設(shè)點P（m，0）（-2≤m≤2），點A（x1，y1），點B（x2，y2）.

①若k=1，則直線l的方程為y=x-m. 聯(lián)立直線l與橢圓C的方程，即y=x-m， +y2=1.將y消去，化簡可得 x2-2mx+m2-1=0. 從而有，x1+x2= ，x1·x2= ，S△OAB= ·m·y -y = ·mx1-x2= ·m· . 因此，（S ）2= （5-m2）×m2≤ · =1. 又-2≤m≤2，即m2∈[0，4]. 所以，當5-m2=m2，即m2= ，m=± 時，S△OAB取得最大值1.

②設(shè)直線l的方程為y=k（x-m）. 將直線l與橢圓C的方程聯(lián)立，即y=k（x-m）， 搖 +y2=1.將y消去，化簡可得（1+4k2）x2-8mk2x+4（k2m2-1）=0，解此方程，可得x1+x2= ，x1·x2= . 所以，PA2+PB2=（x1-m）2+y +（x2-m）2+y = （x +x ）-2m（x1+x2）+2m2+2= （ 鄢）. 因為PA2+PB2的值與點P的位置無關(guān)，即（ 鄢）式取值與m無關(guān)，所以有-8k4-6k2+2=0，解得k=± . 所以，k的值為± .

極速突擊 備考時要重點掌握“設(shè)而不求，整體代換”的技巧，以此簡化數(shù)學運算，從而達到直接、快速、準確的解題效果. 基本步驟如下：

第一步，設(shè)直線y=kx+b與圓錐曲線F（x，y）=0的交點為A（x1，y1），B（x2，y2）.

第二步，聯(lián)立F（x，y）=0，y=kx+b消y得x的方程ax2+bx+c=0（或消x得y的方程ay2+by+c=0）.

第三步，根據(jù)韋達定理得x1+x2= - ，x1x2= .

第四步，應(yīng)用違達定理，解決弦長、中點等問題，

（1）弦長公式AB= · ，或者是AB= ；

（2）中點公式，線段AB的中點坐標是 ， +b.

（ ）必做2 如圖1，已知橢圓E： + =1（a>b>0）的離心率是 ，P1，P2是橢圓E的長軸的兩個端點（P2位于P1右側(cè)），點F是橢圓E的右焦點. 點Q是x軸上位于P2右側(cè)的一點，且滿足 + = =2.

（1）求橢圓E的方程以及點Q的坐標.

（2）過點Q的動直線l交橢圓E于A，B兩點，連結(jié)AF并延長交橢圓于點C，連結(jié)BF并延長交橢圓于點D.

①求證：B，C關(guān)于x軸對稱；

②當四邊形ABCD的面積取得最大值時，求直線l的方程.

圖1

破解思路 對于第（1）問，先將條件 + = 坐標化，再結(jié)合FQ=1及橢圓離心率求得橢圓的方程. 對于第（2）問的第1小題，設(shè)出B，C的坐標，先求得B關(guān)于x軸的對稱點B1，證B1與C重合；第2小題先設(shè)直線l的方程為x=my+2，再將四邊形ABCD的面積用m的關(guān)系式表示，運用換元法、構(gòu)造函數(shù)，運用導數(shù)考察函數(shù)的單調(diào)性，求出最大值，進而求得直線l的方程.

精妙解法 （1）設(shè)點F（c，0），Q（x，0）（x>a）. 由 + = =2，可得 + = ，解得x= .

依題意，F(xiàn)Q=1，即 -c= =1.

又 = ，b2=a2-c2，所以a= ，b=c=1.

故橢圓的方程是 +y2=1，點Q的坐標是（2，0）.

（2）①設(shè)直線l的方程為x=my+2，代入橢圓E的方程可得（2+m2）y2+4my+2=0，依題意，Δ=（4m）2-8（2+m2）=8（m2-2）>0，m2>2.

此時，若設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2=- ，y ·y = . （ 鄢）

點B關(guān)于x軸的對稱點B1（x2，-y ），則A，F(xiàn)，B1三點共線等價于

= 圳 + =0 圳 =0，

由（ 鄢）可知上述關(guān)系成立.

因此，點C即是點B1，這說明B，C關(guān)于x軸對稱.

②由①得B，C關(guān)于x軸對稱，同理， A，D關(guān)于x軸對稱.

所以四邊形ABCD是一個等腰梯形，則四邊形ABCD的面積

S=x1-x2·（y +y ）=m·y -y ·y +y = =8 · .

設(shè)t= （t>0），則m2=t2+2，S（t）=8 · . 求導可得S′=-8 · ，令S′=0，可得t2=3+ .

由于S（t）在（0， ）上單調(diào)遞增，在（ ，+∞）上單調(diào)遞減，故當t2=3+ ，即m2=5+ 時，四邊形ABCD的面積S取得最大值.

此時，可得直線l的方程是x= ± y+2.

（ ）必做3 如圖2，過拋物線C1：y= x2-2的頂點A作兩條斜率之積為- 的直線，與拋物線交于另兩點P，Q，直線PQ（PQ與x軸不垂直）與橢圓C2： +x2=1相交于點M，N.endprint

圖2

（1）若直線PQ與y軸交于T（0，t），求t的值；

（2）若PQ，AM，AN的斜率分別為k，k1，k2，且k>0，求 - - 的最小值.

破解思路 第（1）問利用設(shè)而不求的方法得到直線PQ的方程，進而得t的值；求解第（2）問的第一直覺是將 - - 中的三個變量減少到只有一個變量，由于k1，k2隨k的變化而變化，故將 + 用k來表示，即所求式變?yōu)橹缓琸的函數(shù).

精妙解法 （1）因為點P，Q在拋物線C1：y= x2-2上，所以可設(shè)其坐標為Pm， -2，Qn， -2. 由題意知A（0，-2），所以k = = ，k = = . 由題意得 = - ，即mn=-4. 又易知k = （m+n），所以得直線PQ的方程為：y- -2= （m+n）（x-m），令x=0得y=t= -2+ （m+n）（-m）=-2- mn=-1，即所求t的值為-1.

（2）設(shè)M（x ，y ），N（x ，y ），由題意k= （m+n），又由（1）可知PQ過點（0，-1），所以PQ的方程可寫成y= （m+n）x-1=kx-1，代入橢圓方程C2： +x2=1得（4+k2）x2-2kx-3=0，x1+x2= ，x1x2= ，從而可得 + = + = + = = =-k. 又k>0，從而 - - = +k≥2（當且僅當k=1時等號成立），即當k=1時，得m+n=4，mn=-4，解得m=2-2 ，或n=2+2 ， - - =2.

金刊提醒

對于解析幾何中的最值和范圍問題，一般可用建立目標函數(shù)的方法解決之.若能把所求參數(shù)表示成某一個變量的函數(shù)，則問題就可歸為求這個函數(shù)的最值（或值域）.

解析幾何中的定值問題，所涉及的量“照理”應(yīng)是一個變量，即這個量應(yīng)隨某一個量的變化而變化，若它真的是一個定值，則它“恰巧”與這個量的變化無關(guān)；所以我們只須“裝腔作勢”地把它表示成關(guān)于這個變量的函數(shù)，化簡以后必可得這個函數(shù)為常數(shù)，從而問題也得到解決.

2 利用方程思想破解解析幾何問題

（ ）必做1 已知曲線C 是以原點O為中心，F(xiàn) ，F(xiàn) 為左、右焦點的橢圓，曲線C 是以O(shè)為頂點、F 為焦點的拋物線，A是曲線C 和曲線C 的交點且∠AF F 為鈍角，若AF = ，AF = .

（1）求曲線C 和C 所在的橢圓和拋物線的方程.

（2）過F 作一條與x軸不垂直的直線l，與曲線C 交于點B，E，與曲線C 交于點C，D，若G為CD的中點，H為BE的中點，那么 是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由.

破解思路 根據(jù)橢圓和拋物線的定義結(jié)合圖象得到曲線方程，注意∠AF F 為鈍角這個條件.對于解析幾何中的探索性問題，我們可以用特殊位置嘗試是否為定值，以及該定值為多少，以確定證明的方向，將線段的長度用弦長公式表示出來，注意式子中分子、分母的“齊次”性，以便方程聯(lián)立，將韋達定理代入化簡.

精妙解法 （1）由AF +AF = + =6，即有2a=6，解得a=3.

設(shè)A（x，y），F(xiàn) （-c，0），F(xiàn) （c，0），則有AF = ，即（x+c）2+y2= 2①.

同理，由AF = ，得（x-c）2+y2= 2②.

則由①-②可得：xc= ③，而由拋物線的定義可知：AF =x+c= ④.

由③④可解得x=1，c= 或x= ，c=1， 但∠AF F 是鈍角，故x= ，c=1.

所以所求的橢圓方程為 + =1，拋物線方程為y2=4x.

（2）設(shè)B（x ，y ），E（x ，y ），C（x ，y ），D（x ，y ），直線方程為y=k（x-1）且k≠0.

由y=k（x-1）， + =1消去x整理可得：（9k2+8）y2+16ky-64k2=0，

所以，由韋達定理可得：y +y = - ，y y = .

由y=k（x-1），y2=4x消去x整理可得：ky2-4y-4k=0，

所以，由韋達定理可得：y +y = ，y3y4=-4.

= = = = =3， 故 =3，即定值為3.

另解：由已知可得GF 搖=CF 搖-CG 搖=（x +1）- = ，

且HF 搖=BF 搖- BE 搖=3- x 搖- = · .

將以上各值代入得 = =3.

（ ）必做2 已知橢圓C的中心為原點，點F（1，0）是它的一個焦點，直線l過點F與橢圓C交于A，B兩點，且當直線l垂直于x軸時， · = .

（1）求橢圓C的方程；

（2）是否存在直線l，使得在橢圓C的右準線上可以找到一點P，滿足△ABP為正三角形？如果存在，求出直線l的方程；如果不存在，請說明理由.

破解思路 解析幾何是用代數(shù)的方法解決幾何問題，處處體現(xiàn)函數(shù)方程思想，本題第（1）問直接利用相應(yīng)關(guān)系求解即可. 在處理△ABP為正三角形時，注意轉(zhuǎn)化與化歸，將“角度”與“長度”有效結(jié)合，建立方程求解，利用方程的解的個數(shù)來反映直線的條數(shù). 同時直線與方程聯(lián)立，將韋達定理與“長度”方程有效結(jié)合起來是解決本題的關(guān)鍵，但是注意別忽視斜率不存在的情況. 另外，在練習時也可以將“等邊三角形”變?yōu)椤暗妊切巍?

精妙解法 （1）設(shè)橢圓C的方程為： + =1（a>b>0），則a2-b2=1①.

因為當l垂直于x軸時，A，B兩點的坐標分別是1， 和1，- ，

所以 · =1， ·1，- =1- ，則1- = ，即a2=6b4 ②.

由①②消去a，得6b4-b2-1=0，所以b2= 或b2=- （舍去）.

當b2= 時，a2= . 因此，橢圓C的方程為 +2y2=1.endprint

（2）設(shè)存在滿足條件的直線l.

①當直線l垂直于x軸時，由（1）的解答可知AB= = ，焦點F到右準線的距離為d= -c= ，此時不滿足d= AB. 因此，當直線l垂直于x軸時不滿足.

②當直線l不垂直于x軸時，設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k（x-1）.

聯(lián)立y=k（x-1）， +2y2=1 圯（6k2+2）x2-12k2x+6k2-3=0.

設(shè)A，B兩點的坐標分別為（x ，y ）和（x ，y ），則x +x = ，x x = .

由此可得AB= x -x =

=

= . 搖

又設(shè)AB的中點為M，則x = = .

當△ABP為正三角形時，直線MP的斜率為k =- ，因為x = ，

所以MP= x -x = · - = · .

當△ABP為正三角形時，MP= AB，即 · = · ，解得k2=1，k=±1.

因此，滿足條件的直線l存在，且直線l的方程為x-y-1=0或x+y-1=0.

金刊提醒

對定值問題的解題步驟可歸納為：一選，二求，三定值.具體操作程序如下：一選，選擇參變量.需要證明為定值的量“照理”應(yīng)該是變量，它應(yīng)該隨某一個量的變化而變化，可選擇這個量為參變量（有時可選擇兩個參變量，然后由其他輔助條件消去其中一個）.二求，求出目標函數(shù)或目標方程，把需要證明為定值的量表示成關(guān)于上述參變量的函數(shù)或方程.三定值：化簡函數(shù)解析式或求解相關(guān)方程得到定值.由題目的結(jié)論可知要證明為定值的量必與參變量的大小無關(guān)，故求出的函數(shù)必為常數(shù)函數(shù)，所以只需對上述函數(shù)的解析式進行必要的化簡即可得到定值，如必做1.

3 利用不等式知識破解解析幾何問題

（ ）必做1 已知動點P與雙曲線 - =1的兩個焦點F ，F(xiàn) 的距離之和為定值，且cos∠F PF 的最小值為- .

（1）求動點P的軌跡方程；

（2）若已知D（0，3），M，N在動點P的軌跡上且 =λ ，求實數(shù)λ的取值范圍.

破解思路 第（1）問利用橢圓中的焦點三角形的邊角關(guān)系，利用余弦定理，建立不等式求解. 第（2）問由向量之間的聯(lián)系，找到對應(yīng)點坐標之間的關(guān)系，得出λ與k的等量關(guān)系，由k的取值范圍，建立不等式求出λ的取值范圍.

精妙解法 （1）雙曲線的焦點的坐標為F （- ，0），F(xiàn) （ ，0），則有F F =2 ，設(shè)PF +PF =2a.

在△F1PF2中，可得cos∠F PF = = -1. 由cos∠F PF 有最小值，故4a2-20>0，而PF PF ≤ 2=a2.

故有cos∠F PF ≥ -1= - ，解得a2=9.

故點P的軌跡是以F ，F(xiàn) 為焦點，長軸長為6的橢圓，a2=9，c= ，b2=4，故橢圓方程為 + =1.

（2）當直線AB的斜率存在時，設(shè)AB的方程為y=kx+3，M（x ，y ），N（x ，y ），

則由y=kx+3，4x2+9y2=36消去y可得：（9k2+4）x2+54kx+45=0.

由 駐=b2-4ac=（54k）2-4×45（9k2+4）>0，解得：k2 > .

又x +x = ，x x = ， =λ ，則有x =λx ，y -3=λ（y -3），

所以x +x =（λ+1）x ，x x =λx ，即x x = · 2= ，整理可得： = +9.

因為k2> ，所以0< < ，所以9< +9< .

所以9< < ，即 <λ<5且λ≠1.

而當直線的斜率不存在時，λ= 或λ=5.

綜上所述，λ∈ ，1∪（1，5].

極速突擊 解決此類問題的關(guān)鍵在于找到題目中存在的不等關(guān)系求出取值范圍，一般根據(jù)方程聯(lián)立有解得 駐≥0，以及題目中給定的條件. 在解析幾何中，幾何的關(guān)系是最為直接的，要善于發(fā)現(xiàn)其中的聯(lián)系.同時要真正掌握變量消參的思想，使得在變量較多的情況下，清晰轉(zhuǎn)化.

金刊提醒

要探求某一參變量的取值范圍時，我們只須得到這個參變量應(yīng)滿足的目標不等式，再解這個目標不等式即可，所謂“退一步海闊天空”就是這個道理！但在具體操作時，其思考方法與目標函數(shù)法相同，最后選擇目標不等式法還是目標函數(shù)法要視具體情況而定.

4 圓與圓錐曲線的綜合

（ ）必做1 在平面直角坐標系中，已知點A ，0，點B在直線l：x=- 上運動，過點B與l垂直的直線和AB的中垂線相交于點M.

（1）求動點M的軌跡E的方程；

（2）設(shè)點P是軌跡E上的動點，點R，N在y軸上，圓C：x=1+cosθ，y=sinθ（θ為參數(shù)）內(nèi)切于△PRN，求△PRN的面積的最小值.

破題思路 （1）利用定義求出動點M的軌跡E的方程；（2）由直線與圓相切的條件得到兩個相似的方程，運用方程的相關(guān)理論和基本不等式得到面積的最小值.

精妙解法 （1）設(shè)點M的坐標為（x，y），由題設(shè)知，MB=MA. 所以動點M的軌跡E是以A ，0為焦點，l：x=- 為準線的拋物線，其方程為y2=2x.

（2）設(shè)P（x0，y0），R（0，b），N（0，c），且b>c，故直線PR的方程為（y0-b）x-x0y+x0b=0.

由x=1+cosθ，y=sinθ消去參數(shù)θ，得（x-1）2+y2=1. 搖

由題設(shè)知，圓心（1，0）到直線PR的距離為1，即 =1.

注意到x0>2，化簡上式，得（x0-2）·b2+2y0b-x0=0，同理可得（x0-2）c2+2y0c-x0=0.endprint

由上可知，b，c為方程（x0-2）x2+2y0x-x0=0的兩根，根據(jù)求根公式，可得b-c= = .

故△PRN的面積為

S= （b-c）x0= =（x0-2）+ +4≥2 +4=8，當且僅當x0=4時等號成立.此時點P的坐標為（4，2 ）或（4，-2 ）.

綜上所述，當點P的坐標為（4，2 ）或（4，-2 ）時，△PRN的面積取最小值8. 搖

（ ）必做2 設(shè)橢圓E： + =1（a>b>0）過M（2， ），N（ ，1）兩點，O為坐標原點.

（1）求橢圓E的方程；

（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且 ⊥ ？若存在，寫出該圓的方程，并求AB的取值范圍；若不存在，請說明理由.

破解思路 對于第（2）問，可以先通過特殊情況（切線斜率不存在時）將圓的方程解出，此時可得切線與圓的交點分別為（r，r），（r，-r），即為A，B兩點，然后迅速解出r2= ，之后在明確圓的情況下，再證明對于一般情況下是否能滿足：切線與橢圓有兩個交點A，B，使 ⊥ . 這兩點在明確了圓的方程之后不難“驗證”.這種做法的優(yōu)勢在于“早早明確了目標”.

精妙解法 （1）因為橢圓E： + =1（a>b>0）過M（2， ），N（ ，1）兩點，所以 + =1， + =1，解得 = ， = ，所以a2=8，b2=4，橢圓E的方程為 + =1.

（2）假設(shè)存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A（x ，y ），B（x ，y ），且 ⊥ . 設(shè)該圓的切線方程為y=kx+m，聯(lián)立可得y=kx+m， + =1，即x2+2（kx+m）2=8，即（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，則x +x = - ，x x = .

駐=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-8）=8（8k2-m2+4）>0，即8k2-m2+4>0.

y y =（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km·（x1+x2）+m2=k2· - +m2= .

要使 ⊥ ，需使x1x2+y y =0，即 + =0，所以3m2-8k2-8=0，所以k2= ≥0.

又8k2-m2+4>0，所以m2>2，3m2≥8，所以m2≥ ，即m≥ 或m≤- .

因為直線y=kx+m為圓心在原點的圓的一條切線，所以圓的半徑為r= ，r2= = = ，r= ，所求的圓為x2+y2= ，此時圓的切線y=kx+m都滿足 ⊥ .

而當切線的斜率不存在時，切線x=± 與橢圓 + =1的兩個交點為 ，± 或- ，± ，滿足 ⊥ .

綜上，存在圓心在原點的圓x2+y2= ，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且 ⊥ .

所以（x -x ）2=（x +x ）2-4x x =- 2-4· = ，所以AB= = .

當k≠0時，由此可得AB= ，因為4k2+ +4≥8，所以0< ≤ ，所以 < 1+ ≤12，

所以

當k=0時，AB= .

當切線的斜率不存在時，切線與橢圓的兩個交點為 ，± 或- ，± ，所以此時AB= .

綜上，AB的取值范圍為 ≤AB≤2 ，即AB∈ ，2 .

極速突擊 本題屬于探究型問題，主要考查了橢圓的標準方程、直線與圓的位置關(guān)系和待定系數(shù)法求方程的方法，運用解方程組法研究有關(guān)參數(shù)問題以及方程的根與系數(shù)的關(guān)系. 此題充分說明“圓”與“橢圓”處理方式的區(qū)別，圓是“數(shù)形結(jié)合的精靈”，橢圓是“代數(shù)方法（坐標）研究幾何問題的載體”！兩者在高考中是有明確體現(xiàn)的，用“圓”來考“數(shù)形結(jié)合”，橢圓來考“方程運算”.

金刊提醒

解析幾何研究的主要對象是直線、圓、圓錐曲線，常見題型有：（1）探求動點的軌跡（曲線方程）問題；（2）求參數(shù)取值范圍或最值的綜合問題；（3）有關(guān)定值、定點等的證明問題. 解析法的主要思想方法：將幾何問題化歸為代數(shù)問題，用方程的觀點實現(xiàn)幾何問題代數(shù)化，主要解題步驟：設(shè)、聯(lián)、消、韋、轉(zhuǎn)、求.

由上可知，b，c為方程（x0-2）x2+2y0x-x0=0的兩根，根據(jù)求根公式，可得b-c= = .

故△PRN的面積為

S= （b-c）x0= =（x0-2）+ +4≥2 +4=8，當且僅當x0=4時等號成立.此時點P的坐標為（4，2 ）或（4，-2 ）.

綜上所述，當點P的坐標為（4，2 ）或（4，-2 ）時，△PRN的面積取最小值8. 搖

（ ）必做2 設(shè)橢圓E： + =1（a>b>0）過M（2， ），N（ ，1）兩點，O為坐標原點.

（1）求橢圓E的方程；

（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且 ⊥ ？若存在，寫出該圓的方程，并求AB的取值范圍；若不存在，請說明理由.

破解思路 對于第（2）問，可以先通過特殊情況（切線斜率不存在時）將圓的方程解出，此時可得切線與圓的交點分別為（r，r），（r，-r），即為A，B兩點，然后迅速解出r2= ，之后在明確圓的情況下，再證明對于一般情況下是否能滿足：切線與橢圓有兩個交點A，B，使 ⊥ . 這兩點在明確了圓的方程之后不難“驗證”.這種做法的優(yōu)勢在于“早早明確了目標”.

精妙解法 （1）因為橢圓E： + =1（a>b>0）過M（2， ），N（ ，1）兩點，所以 + =1， + =1，解得 = ， = ，所以a2=8，b2=4，橢圓E的方程為 + =1.

（2）假設(shè)存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A（x ，y ），B（x ，y ），且 ⊥ . 設(shè)該圓的切線方程為y=kx+m，聯(lián)立可得y=kx+m， + =1，即x2+2（kx+m）2=8，即（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，則x +x = - ，x x = .

駐=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-8）=8（8k2-m2+4）>0，即8k2-m2+4>0.

y y =（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km·（x1+x2）+m2=k2· - +m2= .

要使 ⊥ ，需使x1x2+y y =0，即 + =0，所以3m2-8k2-8=0，所以k2= ≥0.

又8k2-m2+4>0，所以m2>2，3m2≥8，所以m2≥ ，即m≥ 或m≤- .

因為直線y=kx+m為圓心在原點的圓的一條切線，所以圓的半徑為r= ，r2= = = ，r= ，所求的圓為x2+y2= ，此時圓的切線y=kx+m都滿足 ⊥ .

而當切線的斜率不存在時，切線x=± 與橢圓 + =1的兩個交點為 ，± 或- ，± ，滿足 ⊥ .

綜上，存在圓心在原點的圓x2+y2= ，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且 ⊥ .

所以（x -x ）2=（x +x ）2-4x x =- 2-4· = ，所以AB= = .

當k≠0時，由此可得AB= ，因為4k2+ +4≥8，所以0< ≤ ，所以 < 1+ ≤12，

所以

當k=0時，AB= .

當切線的斜率不存在時，切線與橢圓的兩個交點為 ，± 或- ，± ，所以此時AB= .

綜上，AB的取值范圍為 ≤AB≤2 ，即AB∈ ，2 .

極速突擊 本題屬于探究型問題，主要考查了橢圓的標準方程、直線與圓的位置關(guān)系和待定系數(shù)法求方程的方法，運用解方程組法研究有關(guān)參數(shù)問題以及方程的根與系數(shù)的關(guān)系. 此題充分說明“圓”與“橢圓”處理方式的區(qū)別，圓是“數(shù)形結(jié)合的精靈”，橢圓是“代數(shù)方法（坐標）研究幾何問題的載體”！兩者在高考中是有明確體現(xiàn)的，用“圓”來考“數(shù)形結(jié)合”，橢圓來考“方程運算”.

金刊提醒

解析幾何研究的主要對象是直線、圓、圓錐曲線，常見題型有：（1）探求動點的軌跡（曲線方程）問題；（2）求參數(shù)取值范圍或最值的綜合問題；（3）有關(guān)定值、定點等的證明問題. 解析法的主要思想方法：將幾何問題化歸為代數(shù)問題，用方程的觀點實現(xiàn)幾何問題代數(shù)化，主要解題步驟：設(shè)、聯(lián)、消、韋、轉(zhuǎn)、求.

由上可知，b，c為方程（x0-2）x2+2y0x-x0=0的兩根，根據(jù)求根公式，可得b-c= = .

故△PRN的面積為

S= （b-c）x0= =（x0-2）+ +4≥2 +4=8，當且僅當x0=4時等號成立.此時點P的坐標為（4，2 ）或（4，-2 ）.

綜上所述，當點P的坐標為（4，2 ）或（4，-2 ）時，△PRN的面積取最小值8. 搖

（ ）必做2 設(shè)橢圓E： + =1（a>b>0）過M（2， ），N（ ，1）兩點，O為坐標原點.

（1）求橢圓E的方程；

（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且 ⊥ ？若存在，寫出該圓的方程，并求AB的取值范圍；若不存在，請說明理由.

破解思路 對于第（2）問，可以先通過特殊情況（切線斜率不存在時）將圓的方程解出，此時可得切線與圓的交點分別為（r，r），（r，-r），即為A，B兩點，然后迅速解出r2= ，之后在明確圓的情況下，再證明對于一般情況下是否能滿足：切線與橢圓有兩個交點A，B，使 ⊥ . 這兩點在明確了圓的方程之后不難“驗證”.這種做法的優(yōu)勢在于“早早明確了目標”.

精妙解法 （1）因為橢圓E： + =1（a>b>0）過M（2， ），N（ ，1）兩點，所以 + =1， + =1，解得 = ， = ，所以a2=8，b2=4，橢圓E的方程為 + =1.

（2）假設(shè)存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A（x ，y ），B（x ，y ），且 ⊥ . 設(shè)該圓的切線方程為y=kx+m，聯(lián)立可得y=kx+m， + =1，即x2+2（kx+m）2=8，即（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，則x +x = - ，x x = .

駐=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-8）=8（8k2-m2+4）>0，即8k2-m2+4>0.

y y =（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km·（x1+x2）+m2=k2· - +m2= .

要使 ⊥ ，需使x1x2+y y =0，即 + =0，所以3m2-8k2-8=0，所以k2= ≥0.

又8k2-m2+4>0，所以m2>2，3m2≥8，所以m2≥ ，即m≥ 或m≤- .

因為直線y=kx+m為圓心在原點的圓的一條切線，所以圓的半徑為r= ，r2= = = ，r= ，所求的圓為x2+y2= ，此時圓的切線y=kx+m都滿足 ⊥ .

而當切線的斜率不存在時，切線x=± 與橢圓 + =1的兩個交點為 ，± 或- ，± ，滿足 ⊥ .

綜上，存在圓心在原點的圓x2+y2= ，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且 ⊥ .

所以（x -x ）2=（x +x ）2-4x x =- 2-4· = ，所以AB= = .

當k≠0時，由此可得AB= ，因為4k2+ +4≥8，所以0< ≤ ，所以 < 1+ ≤12，

所以

當k=0時，AB= .

當切線的斜率不存在時，切線與橢圓的兩個交點為 ，± 或- ，± ，所以此時AB= .

綜上，AB的取值范圍為 ≤AB≤2 ，即AB∈ ，2 .

極速突擊 本題屬于探究型問題，主要考查了橢圓的標準方程、直線與圓的位置關(guān)系和待定系數(shù)法求方程的方法，運用解方程組法研究有關(guān)參數(shù)問題以及方程的根與系數(shù)的關(guān)系. 此題充分說明“圓”與“橢圓”處理方式的區(qū)別，圓是“數(shù)形結(jié)合的精靈”，橢圓是“代數(shù)方法（坐標）研究幾何問題的載體”！兩者在高考中是有明確體現(xiàn)的，用“圓”來考“數(shù)形結(jié)合”，橢圓來考“方程運算”.

金刊提醒

解析幾何研究的主要對象是直線、圓、圓錐曲線，常見題型有：（1）探求動點的軌跡（曲線方程）問題；（2）求參數(shù)取值范圍或最值的綜合問題；（3）有關(guān)定值、定點等的證明問題. 解析法的主要思想方法：將幾何問題化歸為代數(shù)問題，用方程的觀點實現(xiàn)幾何問題代數(shù)化，主要解題步驟：設(shè)、聯(lián)、消、韋、轉(zhuǎn)、求.