高考數(shù)學(xué)必做客觀題——立體幾何

花敏

1 空間幾何體的直觀圖與三視圖

（ ）必做1 如圖1是一個(gè)空間幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是___________.

圖1

精妙解法 由幾何體的三視圖可得，該幾何體是一個(gè)橫放的直棱柱. 棱柱的底面是等腰梯形，梯形的兩底長(zhǎng)分別為2和8，高為4，棱柱的高為10，故該幾何體的體積V= ×（2+8）×4×10=200.

極速突擊 此類(lèi)試題的突破點(diǎn)在于觀察三視圖，將其還原成幾何體. 具體步驟為：第一步，把每個(gè)視圖分解為基本圖形（如三角形、長(zhǎng)方形、圓等）；第二步，結(jié)合對(duì)應(yīng)部分的三視圖，想象對(duì)應(yīng)部分的幾何體；第三步，結(jié)合虛、實(shí)線，概括出組合體.

（ ）必做2 若某多面體的三視圖（單位： cm）如圖2所示， 則此多面體外接球的表面積是（ ）

A. 18π cm2 B. 24π cm2

C. 27π cm2 D. 36π cm2

精妙解法 先還原出該幾何體的直觀圖形. 該題所表達(dá)的幾何體是一個(gè)棱長(zhǎng)為3的正方體截去一個(gè)正三棱錐剩下的部分（如圖3所示），所以這個(gè)幾何體的外接球與（母體）正方體的外接球是一致的. 正方體的體對(duì)角線就是球的一直徑. 答案選C.

極速突擊 在正方體ABCD-A1B1C1D1中（如圖4所示），各棱長(zhǎng)為a，一個(gè)考生應(yīng)該具備下面幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)：

（1）正方體中有兩個(gè)重要關(guān)系的截面，如截面A1C1B與截面AD1C，兩個(gè)都是正三角形，且相互平行，都垂直于體對(duì)角線B1D，并且三等分B1D.

（2）正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)相等且交于一點(diǎn)，互相平分，交點(diǎn)為O，它到正方體八個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，所以正方體的外接球（過(guò)正方體的八個(gè)頂點(diǎn)的球）的球心就是O，直徑等于正方體的體對(duì)角線的長(zhǎng).

（3）正方體中如A1，C1，B，D四點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正四面體，因此任何一個(gè)確定的正方體對(duì)應(yīng)于一種大小確定的正四面體；反過(guò)來(lái)，任何一個(gè)正四面體，只能擴(kuò)張為一個(gè)確定的正方體. 從而在解決正四面體的許多數(shù)量關(guān)系時(shí)可以考慮外延到正方體中進(jìn)行思考（這種方法容易記憶），如正四面體的高就等于正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)的 ，正四面體相對(duì)棱之間的距離等于正方體的棱長(zhǎng)，正四面體的外接球就是正方體的外接球等.

（4）正方體可以分解為所需要的若干幾何體，反過(guò)來(lái)，許多幾何體也可以擴(kuò)展回歸到正方體中進(jìn)行考慮（包括正方體的棱長(zhǎng)、對(duì)角線以及各種截面等問(wèn)題）.

以上知識(shí)絕大多數(shù)都可以推廣到長(zhǎng)方體中去.

金刊提醒

三視圖的正（主）視圖、側(cè)（左）視圖、俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方正投影得到的，重疊的線只畫(huà)一條，擋住的線要畫(huà)成虛線. 基本原則是“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”.

2 空間幾何體的表面積與體積

（ ）必做1 如圖1所示，已知E，F(xiàn)分別是棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中點(diǎn)，則四棱錐C1-B1EDF的體積為_(kāi)_________.

圖1

精妙解法 首先可以證明底面B1EDF是平行四邊形，故四棱錐C1-B1EDF的體積是三棱錐C1-EDF的體積的2倍.

又因?yàn)閂 =V = · ·a·a= ，所以四棱錐C1- B1EDF的體積是 .

極速突擊 本題若直接求點(diǎn)C1到底面B1EDF的距離會(huì)比較麻煩，而抓住底面是平行四邊形，則可以把四棱錐C1-B1EDF的體積轉(zhuǎn)化為三棱錐C1-EDF的體積的2倍，然后再利用等體積法轉(zhuǎn)化為求三棱錐E-DFC的體積，而E點(diǎn)到平面DFC1的距離易求.

（ ）必做2 如圖2所示，正四面體ABCD的外接球的體積為4 π，則正四面體ABCD的體積是_____.

精妙解法 法1：由已知 πR3=4 π，所以R= .

設(shè)AE為球的直徑. 故AD⊥DE，AE⊥O1D.

設(shè)AD=a，所以O(shè)1D= · a= a，所以AO1= a，

O1E=2R-AO1=2 - a.

由射影定理知，O1D2=AO1·O1E，解得a=2 . 故V= · a2·AO1= .

法2：正四面體的外接球即為正方體的外接球，正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為球的直徑.

由 πR3=4 π，所以R= ，所以正方體棱長(zhǎng)為2，

所以AB=2 ，S△BCD= ·2 ·2 ·sin60°=2 .

點(diǎn)A到平面BCD的距離h= ·2R= ，所以VA-BCD= S△BCD·h= .

極速突擊 方法1設(shè)法尋求正四面體的棱長(zhǎng)與球的半徑之間的關(guān)系；方法2將正四面體ABCD置于正方體中.

金刊提醒

同學(xué)們應(yīng)當(dāng)熟練掌握空間幾何體的表面積和體積公式，若所給幾何體為柱、錐、臺(tái)、球等簡(jiǎn)單幾何體，可直接套用公式計(jì)算求解；若所給幾何體的體積、表面積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)體法等方法進(jìn)行求解，將不規(guī)則問(wèn)題合理地轉(zhuǎn)化為我們熟悉的幾何體加以解決.

3 空間的平行關(guān)系

（ ）必做1 用a，b，c表示三條不重合的直線，α，β，γ為三個(gè)不重合的平面，直線均不在平面內(nèi)，給出下列命題：

①若a∥α，b∥α，則a∥b；

②若a∥c，c∥α，則a∥α；

③若α∥γ， β∥γ，則α∥β；

④若a∥α，a∥β，則α∥β.

其中真命題是______________.（填上所有真命題的序號(hào)）

精妙解法 ①a與b應(yīng)該有三種位置關(guān)系，除平行外，還可能相交或異面. ②由c∥α，過(guò)c作一個(gè)平面和α交于直線l，則c∥l. 又因?yàn)閍∥c，所以a∥l. 又因?yàn)閍 埸α，l∈α，所以a∥α. ③作直線l，使l⊥γ，則由α∥γ， β∥γ，得l⊥α，l⊥β，故α∥β. ④α與β還可能相交. 故其中的真命題是②③.endprint

極速突擊 高考試題中，常會(huì)考查判斷一些結(jié)論在立體幾何中是否成立的問(wèn)題. 處理這種類(lèi)型的問(wèn)題，要求我們能熟練記住所有的公理、定理，以及一些常見(jiàn)的小結(jié)論. 如果命題正確，那么一定可以進(jìn)行嚴(yán)格的證明；如果感覺(jué)命題錯(cuò)誤，那么可以舉反例來(lái)否定.

（ ）必做2 如圖1，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中點(diǎn)， N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，若已知MN∥平面B1BDD1，則M點(diǎn)的軌跡為_(kāi)_________.

精妙解法 首先考慮四邊形EFGH及其內(nèi)部的特殊點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)HN∥BD，可得HN∥平面B1BDD1，GN，EN都與平面B1BDD1相交；再考慮FN∥平面B1BDD1是否成立，取B1D1的中點(diǎn)O1，可以證明四邊形BO1FN為平行四邊形，所以FN∥BO1，可得FN∥平面B1BDD1.

由兩條相交直線HN和FN可以確定一個(gè)平面，記為α，則由面面平行的判定定理可得α∥平面B1BDD1，故α內(nèi)的任何一條線都平行于平面B1BDD1. 又因?yàn)棣痢善矫鍱FGH=FH，所以M點(diǎn)的軌跡為線段FH.

極速突擊 本題的突破點(diǎn)在于先研究特殊點(diǎn)，采用了從特殊到一般的思想方法. 知識(shí)點(diǎn)方面主要考查“線面平行”的判定，要證“線面平行”，只要證“線線平行”或“面面平行”. 一般地，我們習(xí)慣選擇降維處理，即優(yōu)先考慮用“線線平行”來(lái)推出“線面平行”，所以思維的落腳點(diǎn)應(yīng)該在尋找“線線平行”上. 若有時(shí)尋找線線平行比較困難，我們也可以考慮通過(guò)“面面平行”來(lái)得到“線面平行”. 此外，本題還用到了面面平行的判定定理和面面平行的性質(zhì).

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在立體幾何的“平行大家庭”中有三個(gè)成員： “線線平行”“線面平行”“面面平行”.同學(xué)們應(yīng)該熟練掌握這三個(gè)成員之間的合理轉(zhuǎn)化，要判定其中的一種關(guān)系應(yīng)考慮從其他兩種平行關(guān)系出發(fā).

4 空間的垂直關(guān)系

（ ）必做1 已知平面α，β，γ，直線l，m滿(mǎn)足：α⊥γ，γ∩α=m，γ∩β=l，l⊥m，那么①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β. 由上述條件可推出的結(jié)論有_________. （請(qǐng)將你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)都填上）

精妙解法 因?yàn)棣痢挺?，γ∩?m，l 奐γ，l⊥m，所以l⊥α. 又因?yàn)閘 奐β，所以α⊥β.

舉反例：如圖1，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，記α為平面ADD1A1，γ為平面ABCD， β為平面ABC1D1，l為直線AB，滿(mǎn)足已知條件，但m與β不垂直， β與γ也不垂直. 故由上述條件可推出的結(jié)論有②④.

圖1

極速突擊 本題主要考查了“線面垂直”的判定定理、“面面垂直”的判定和性質(zhì)定理. 要證明“線面垂直”可以通過(guò)“線線垂直”或“面面垂直”轉(zhuǎn)化得到，要證明“面面垂直”可通過(guò)“線面垂直”得到. 而已知“面面垂直”，又可以得到“線面垂直”. 同學(xué)們應(yīng)該熟練掌握立體幾何的“垂直大家庭”的三大成員——“線線垂直”“線面垂直”“面面垂直”之間的合理轉(zhuǎn)化. 另外，在舉反例時(shí)我們常可以借助實(shí)體模型，如正方體來(lái)進(jìn)行排除驗(yàn)證.

（ ）必做2 如圖2，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AA1C1C是邊長(zhǎng)為4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5. 在線段BC1上存在點(diǎn)D，使得AD⊥A1B，則 的值為_(kāi)________.

圖2

精妙解法 因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面AA1C1C，且交于AC，所以AA1⊥平面AA1C1C，AA1⊥AC，所以AA1⊥平面ABC. 又AB2+AC2=BC2，所以∠A=90°.

以A為原點(diǎn)，AC為x軸、AB為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖3所示，則B（0，3，0），C1（4，0，4）.

設(shè)D（x，y，z）是直線BC1上一點(diǎn)，且 =λ ，則有（x，y-3，z）=λ（4，-3，4），解得x=4λ，y=3-3λ，z=4λ，所以 =（4λ，3-3λ，4λ）， =（0，3，-4）.

又因?yàn)锳D⊥A1B，所以0+3（3-3λ）-16λ=0，解得λ= ，即 的值為 .

圖3

極速突擊 本題的突破點(diǎn)在于先由已知條件——面面垂直和長(zhǎng)度關(guān)系，得到“空間直三面角”，啟發(fā)我們可以建立空間直角坐標(biāo)系解決問(wèn)題.

金刊提醒

立體幾何中，我們研究點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，不僅要熟練掌握“平行大家庭”和“垂直大家庭”的各成員之間的相互轉(zhuǎn)化，還要注意這兩大家庭之間的密切聯(lián)系. 如：若a⊥α，b⊥α，則a∥b；若l⊥α，l⊥β，則α∥β等.

金刊提醒

若立體幾何的題目中出現(xiàn)一些垂直關(guān)系，則我們一般優(yōu)先考慮“線線垂直”“線面垂直”“面面垂直”之間的相互轉(zhuǎn)化.但有時(shí)轉(zhuǎn)化不明顯或有困難，而題目中又有明顯的可以建系的條件，往往可以考慮建立空間直角坐標(biāo)系來(lái)解決.

5 空間的角

（ ）必做1 如圖1，過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A，作PA⊥平面ABCD，若PA=BA，則下列結(jié)論中正確的是___________. （填上所有正確命題的序號(hào)）

①BD⊥PC；

②BC與PD所成的角等于AD與PB所成的角；

③PB與平面PAC所成的角等于PD與平面PAC所成的角；

④平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小為45°.

圖1

精妙解法 設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，易證BD⊥平面PAC，故BD⊥PC，所以①正確.

圖2

因?yàn)锽C∥AD，所以∠PDA是異面直線BC與PD所成的角，為45°；易知AD與PB所成的角為90°，故②錯(cuò)誤.

因?yàn)锽D⊥平面PAC，所以PB與平面PAC所成的角為∠BPO，PD與平面PAC所成的角為∠DPO. 又因?yàn)镻B=PD，點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，所以∠BPO=∠DPO，故③正確.endprint

易證CD∥平面PAB，設(shè)平面PCD∩平面PAB=PE，可得PE∥CD，易證PA⊥PE，PD⊥PE，故∠APD為平面ABP和平面CDP所成的二面角的平面角. 又因?yàn)椤鱌AD為等腰直角三角形，所以∠APD=45°，④正確.

故結(jié)論中正確的是①③④.

極速突擊 本題主要考查空間中的角，采用了“幾何法”求解，將其轉(zhuǎn)化為平面角來(lái)處理. 其一般步驟為： 一找、二證、三算. 即首先找到或作出空間角對(duì)應(yīng)的平面角，其次要進(jìn)行證明，最后一般放在三角形中求解.

（ ）必做2 如圖3，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，且異面直線AD與CC1所成的角為45°，則AD與平面AA1C1C所成的角的正弦值為_(kāi)_________.

圖3

圖4

精妙解法 法1：取AC的中點(diǎn)E，A1C1的中點(diǎn)E1，連結(jié)BE，B1E1，EE1，則可證BE⊥平面AA1C1C. 在矩形BEE1B1中作DH∥BE，則可證得DH⊥平面AA1C1C. 連結(jié)AH，∠DAH是AD與平面AA1C1C所成的角.

因?yàn)楫惷嬷本€AD與CC1所成的角為45°，所以∠ADB=45°，所以在Rt△ABD中，BD=AB=1， AD= .

又因?yàn)镈H=BE= ，在Rt△DHA中，sin∠DAH= = .

法2：取AC的中點(diǎn)E，連結(jié)BE，則BE⊥AC，如圖5，建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz，則A ， ，0，D（0，0，1），則 =- ，- ，1.

因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面AA1C1C，BE⊥AC，所以BE⊥平面AA1C1C. 所以 = ，0，0為平面AA1C1C的一個(gè)法向量，所以cos〈 ， 〉= - .

設(shè)AD與平面AA1C1C所成的角為α，則sinα=cos〈 ， 〉= .

極速突擊 本題采用兩種方法求解，方法1為“幾何法”，可按照“一找、二證、三算”的步驟進(jìn)行，這里的難點(diǎn)是找到過(guò)點(diǎn)D且與平面AA1C1C垂直的線段；方法2為“向量法”，先建立合適的空間直角坐標(biāo)系，再求解“斜線與平面法向量所成角的余弦值”，最后由“斜線與平面法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值”等于“斜線與平面所成角的正弦值”得出答案.

誤點(diǎn)警示 同學(xué)們要正確理解“斜線與平面法向量所成的角”和“斜線與平面所成的角”的關(guān)系，不要誤以為它們是相等的.

金刊提醒

求異面直線所成的角，一般可以采用平移的方法，將其轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的銳角或直角，然后在某個(gè)三角形中進(jìn)行求解；也可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的方法進(jìn)行求解.

求直線與平面所成的角有兩種方法：①幾何法，即轉(zhuǎn)化為斜線與其在平面內(nèi)的射影所成的角，然后在直角三角形中求解；②向量法，設(shè)直線l的方向向量和平面α的法向量分別為m，n，則直線l與平面α所成的角θ滿(mǎn)足sinθ=cos〈m，n〉.

求二面角有兩種方法：①幾何法，即先作出二面角的平面角，然后在三角形中求解；②向量法，應(yīng)注意法向量的方向，或直接從圖形中觀察出其是鈍二面角還是銳二面角，再利用向量夾角與平面角的互補(bǔ)關(guān)系而得.

6 空間的距離

（ ）必做1 已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，則異面直線BD與B1C的距離為_(kāi)__________.

精妙解法 法1：如圖1，由B1C∥A1D，可得B1C∥平面A1BD，故異面直線BD與B1C的距離即為點(diǎn)C到平面A1BD的距離. 由等體積變換V =V 易得C到平面A1BD的距離為 .

圖1

法2：建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系，則B（0，0，0），C（1，0，0），D（1，1，0），B （0，0，1）. 若設(shè)與直線BD，B，C都垂直的向量為n=（x，y，z），則 ·n=x+y=0， ·n=x-z=0. 設(shè)x=1，得y=-1，z=1，所以n=（1，-1，1）.

圖2

所以異面直線BD與B1C的距離d= cos〈 ，n〉= = = .

極速突擊 求兩條異面直線間的距離時(shí)，一般先考慮能否直接找到它們的公垂線段，若容易找到，則作出公垂線段后再求其長(zhǎng)度；若直接找公垂線段比較困難，則可以考慮轉(zhuǎn)化為直線到平面的距離，或者點(diǎn)到平面的距離求解；也可以考慮建系，采用向量的方法求解.

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運(yùn)用向量法求解點(diǎn)A到平面α的距離時(shí)，可以采用如下的方法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系→確定點(diǎn)A的坐標(biāo)→在平面α內(nèi)取一點(diǎn)B→求出向量 →求出平面α的一個(gè)法向量n→利用公式求出點(diǎn)A到平面α的距離. 運(yùn)用幾何法求點(diǎn)A到平面α的距離時(shí)，可以使用等體積變換，也可以找一個(gè)過(guò)點(diǎn)A的平面與平面α垂直，利用面面垂直的性質(zhì)定理直接作出點(diǎn)A到平面α的垂線段. 線面距離、面面距離都可以轉(zhuǎn)化成點(diǎn)面距離，當(dāng)題目中的距離難以找出來(lái)時(shí)，應(yīng)采用空間向量進(jìn)行求解，避免耗時(shí)過(guò)多.endprint

易證CD∥平面PAB，設(shè)平面PCD∩平面PAB=PE，可得PE∥CD，易證PA⊥PE，PD⊥PE，故∠APD為平面ABP和平面CDP所成的二面角的平面角. 又因?yàn)椤鱌AD為等腰直角三角形，所以∠APD=45°，④正確.

故結(jié)論中正確的是①③④.

極速突擊 本題主要考查空間中的角，采用了“幾何法”求解，將其轉(zhuǎn)化為平面角來(lái)處理. 其一般步驟為： 一找、二證、三算. 即首先找到或作出空間角對(duì)應(yīng)的平面角，其次要進(jìn)行證明，最后一般放在三角形中求解.

（ ）必做2 如圖3，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，且異面直線AD與CC1所成的角為45°，則AD與平面AA1C1C所成的角的正弦值為_(kāi)_________.

圖3

圖4

精妙解法 法1：取AC的中點(diǎn)E，A1C1的中點(diǎn)E1，連結(jié)BE，B1E1，EE1，則可證BE⊥平面AA1C1C. 在矩形BEE1B1中作DH∥BE，則可證得DH⊥平面AA1C1C. 連結(jié)AH，∠DAH是AD與平面AA1C1C所成的角.

因?yàn)楫惷嬷本€AD與CC1所成的角為45°，所以∠ADB=45°，所以在Rt△ABD中，BD=AB=1， AD= .

又因?yàn)镈H=BE= ，在Rt△DHA中，sin∠DAH= = .

法2：取AC的中點(diǎn)E，連結(jié)BE，則BE⊥AC，如圖5，建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz，則A ， ，0，D（0，0，1），則 =- ，- ，1.

因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面AA1C1C，BE⊥AC，所以BE⊥平面AA1C1C. 所以 = ，0，0為平面AA1C1C的一個(gè)法向量，所以cos〈 ， 〉= - .

設(shè)AD與平面AA1C1C所成的角為α，則sinα=cos〈 ， 〉= .

極速突擊 本題采用兩種方法求解，方法1為“幾何法”，可按照“一找、二證、三算”的步驟進(jìn)行，這里的難點(diǎn)是找到過(guò)點(diǎn)D且與平面AA1C1C垂直的線段；方法2為“向量法”，先建立合適的空間直角坐標(biāo)系，再求解“斜線與平面法向量所成角的余弦值”，最后由“斜線與平面法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值”等于“斜線與平面所成角的正弦值”得出答案.

誤點(diǎn)警示 同學(xué)們要正確理解“斜線與平面法向量所成的角”和“斜線與平面所成的角”的關(guān)系，不要誤以為它們是相等的.

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求異面直線所成的角，一般可以采用平移的方法，將其轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的銳角或直角，然后在某個(gè)三角形中進(jìn)行求解；也可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的方法進(jìn)行求解.

求直線與平面所成的角有兩種方法：①幾何法，即轉(zhuǎn)化為斜線與其在平面內(nèi)的射影所成的角，然后在直角三角形中求解；②向量法，設(shè)直線l的方向向量和平面α的法向量分別為m，n，則直線l與平面α所成的角θ滿(mǎn)足sinθ=cos〈m，n〉.

求二面角有兩種方法：①幾何法，即先作出二面角的平面角，然后在三角形中求解；②向量法，應(yīng)注意法向量的方向，或直接從圖形中觀察出其是鈍二面角還是銳二面角，再利用向量夾角與平面角的互補(bǔ)關(guān)系而得.

6 空間的距離

（ ）必做1 已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，則異面直線BD與B1C的距離為_(kāi)__________.

精妙解法 法1：如圖1，由B1C∥A1D，可得B1C∥平面A1BD，故異面直線BD與B1C的距離即為點(diǎn)C到平面A1BD的距離. 由等體積變換V =V 易得C到平面A1BD的距離為 .

圖1

法2：建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系，則B（0，0，0），C（1，0，0），D（1，1，0），B （0，0，1）. 若設(shè)與直線BD，B，C都垂直的向量為n=（x，y，z），則 ·n=x+y=0， ·n=x-z=0. 設(shè)x=1，得y=-1，z=1，所以n=（1，-1，1）.

圖2

所以異面直線BD與B1C的距離d= cos〈 ，n〉= = = .

極速突擊 求兩條異面直線間的距離時(shí)，一般先考慮能否直接找到它們的公垂線段，若容易找到，則作出公垂線段后再求其長(zhǎng)度；若直接找公垂線段比較困難，則可以考慮轉(zhuǎn)化為直線到平面的距離，或者點(diǎn)到平面的距離求解；也可以考慮建系，采用向量的方法求解.

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運(yùn)用向量法求解點(diǎn)A到平面α的距離時(shí)，可以采用如下的方法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系→確定點(diǎn)A的坐標(biāo)→在平面α內(nèi)取一點(diǎn)B→求出向量 →求出平面α的一個(gè)法向量n→利用公式求出點(diǎn)A到平面α的距離. 運(yùn)用幾何法求點(diǎn)A到平面α的距離時(shí)，可以使用等體積變換，也可以找一個(gè)過(guò)點(diǎn)A的平面與平面α垂直，利用面面垂直的性質(zhì)定理直接作出點(diǎn)A到平面α的垂線段. 線面距離、面面距離都可以轉(zhuǎn)化成點(diǎn)面距離，當(dāng)題目中的距離難以找出來(lái)時(shí)，應(yīng)采用空間向量進(jìn)行求解，避免耗時(shí)過(guò)多.endprint

易證CD∥平面PAB，設(shè)平面PCD∩平面PAB=PE，可得PE∥CD，易證PA⊥PE，PD⊥PE，故∠APD為平面ABP和平面CDP所成的二面角的平面角. 又因?yàn)椤鱌AD為等腰直角三角形，所以∠APD=45°，④正確.

故結(jié)論中正確的是①③④.

極速突擊 本題主要考查空間中的角，采用了“幾何法”求解，將其轉(zhuǎn)化為平面角來(lái)處理. 其一般步驟為： 一找、二證、三算. 即首先找到或作出空間角對(duì)應(yīng)的平面角，其次要進(jìn)行證明，最后一般放在三角形中求解.

（ ）必做2 如圖3，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，且異面直線AD與CC1所成的角為45°，則AD與平面AA1C1C所成的角的正弦值為_(kāi)_________.

圖3

圖4

精妙解法 法1：取AC的中點(diǎn)E，A1C1的中點(diǎn)E1，連結(jié)BE，B1E1，EE1，則可證BE⊥平面AA1C1C. 在矩形BEE1B1中作DH∥BE，則可證得DH⊥平面AA1C1C. 連結(jié)AH，∠DAH是AD與平面AA1C1C所成的角.

因?yàn)楫惷嬷本€AD與CC1所成的角為45°，所以∠ADB=45°，所以在Rt△ABD中，BD=AB=1， AD= .

又因?yàn)镈H=BE= ，在Rt△DHA中，sin∠DAH= = .

法2：取AC的中點(diǎn)E，連結(jié)BE，則BE⊥AC，如圖5，建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz，則A ， ，0，D（0，0，1），則 =- ，- ，1.

因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面AA1C1C，BE⊥AC，所以BE⊥平面AA1C1C. 所以 = ，0，0為平面AA1C1C的一個(gè)法向量，所以cos〈 ， 〉= - .

設(shè)AD與平面AA1C1C所成的角為α，則sinα=cos〈 ， 〉= .

極速突擊 本題采用兩種方法求解，方法1為“幾何法”，可按照“一找、二證、三算”的步驟進(jìn)行，這里的難點(diǎn)是找到過(guò)點(diǎn)D且與平面AA1C1C垂直的線段；方法2為“向量法”，先建立合適的空間直角坐標(biāo)系，再求解“斜線與平面法向量所成角的余弦值”，最后由“斜線與平面法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值”等于“斜線與平面所成角的正弦值”得出答案.

誤點(diǎn)警示 同學(xué)們要正確理解“斜線與平面法向量所成的角”和“斜線與平面所成的角”的關(guān)系，不要誤以為它們是相等的.

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求異面直線所成的角，一般可以采用平移的方法，將其轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的銳角或直角，然后在某個(gè)三角形中進(jìn)行求解；也可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的方法進(jìn)行求解.

求直線與平面所成的角有兩種方法：①幾何法，即轉(zhuǎn)化為斜線與其在平面內(nèi)的射影所成的角，然后在直角三角形中求解；②向量法，設(shè)直線l的方向向量和平面α的法向量分別為m，n，則直線l與平面α所成的角θ滿(mǎn)足sinθ=cos〈m，n〉.

求二面角有兩種方法：①幾何法，即先作出二面角的平面角，然后在三角形中求解；②向量法，應(yīng)注意法向量的方向，或直接從圖形中觀察出其是鈍二面角還是銳二面角，再利用向量夾角與平面角的互補(bǔ)關(guān)系而得.

6 空間的距離

（ ）必做1 已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，則異面直線BD與B1C的距離為_(kāi)__________.

精妙解法 法1：如圖1，由B1C∥A1D，可得B1C∥平面A1BD，故異面直線BD與B1C的距離即為點(diǎn)C到平面A1BD的距離. 由等體積變換V =V 易得C到平面A1BD的距離為 .

圖1

法2：建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系，則B（0，0，0），C（1，0，0），D（1，1，0），B （0，0，1）. 若設(shè)與直線BD，B，C都垂直的向量為n=（x，y，z），則 ·n=x+y=0， ·n=x-z=0. 設(shè)x=1，得y=-1，z=1，所以n=（1，-1，1）.

圖2

所以異面直線BD與B1C的距離d= cos〈 ，n〉= = = .

極速突擊 求兩條異面直線間的距離時(shí)，一般先考慮能否直接找到它們的公垂線段，若容易找到，則作出公垂線段后再求其長(zhǎng)度；若直接找公垂線段比較困難，則可以考慮轉(zhuǎn)化為直線到平面的距離，或者點(diǎn)到平面的距離求解；也可以考慮建系，采用向量的方法求解.

金刊提醒

運(yùn)用向量法求解點(diǎn)A到平面α的距離時(shí)，可以采用如下的方法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系→確定點(diǎn)A的坐標(biāo)→在平面α內(nèi)取一點(diǎn)B→求出向量 →求出平面α的一個(gè)法向量n→利用公式求出點(diǎn)A到平面α的距離. 運(yùn)用幾何法求點(diǎn)A到平面α的距離時(shí)，可以使用等體積變換，也可以找一個(gè)過(guò)點(diǎn)A的平面與平面α垂直，利用面面垂直的性質(zhì)定理直接作出點(diǎn)A到平面α的垂線段. 線面距離、面面距離都可以轉(zhuǎn)化成點(diǎn)面距離，當(dāng)題目中的距離難以找出來(lái)時(shí)，應(yīng)采用空間向量進(jìn)行求解，避免耗時(shí)過(guò)多.endprint