圓錐曲線切線的對稱軸作法

陳德華

(嘉應學院 數(shù)學學院，廣東 梅州 514015)

圓錐曲線的切線作法一直是人們有著極大興趣的課題，古往今來，人們借助于各種不同的條件，給出了圓錐曲線切線的多種作法［1～5］.本文首先探討圓錐曲線切線的一組性質(zhì)，然后借助于圓錐曲線的對稱軸，利用點的對稱性給出了圓錐曲線切線的一種作法.約定圓錐曲線的內(nèi)部是指平面上含焦點的區(qū)域，外部是指平面上不含焦點的區(qū)域.

首先討論橢圓的一條有趣性質(zhì).

性質(zhì)1如圖1，過橢圓外部的一點P，分別作對稱軸的平行線與對稱軸交于點Q，R，連QA，RB，分別作CA⊥AQ，DB⊥BR 與對稱軸交于點C，D，分別作點C，D 關(guān)于中心O 點的對稱點E，F(xiàn)，則點E，F(xiàn)在P 點關(guān)于橢圓的切點弦上.

證明設橢圓的方程為，P 點坐標為P(x0，y0)，則P 點關(guān)于橢圓的切點弦方程為b2+x0x+a2y0y=a2b2，又Q(x0，0)，A(0，a)，所以，KQA=于是AC 的方程為，則C，從而，顯然點E 在切點弦上.同理可證，點也在切點弦上.由此性質(zhì)，只需連接EF，就可作出P 點的切線關(guān)于橢圓的切點，從而得到點P 關(guān)于橢圓的切線，于是，有

作圖問題1：已知橢圓外一點P，求作點P 關(guān)于橢圓的切線.

第一步：利用［1］中介紹的方法，作出橢圓的對稱軸，中心O，長短半軸為半徑的圓與橢圓對稱軸的交點A，B；

第二步：過點P 分別作對稱軸的平行線與對稱軸交于點Q，R；

第三步：連QA，RB，分別作CA⊥AQ，DB⊥BR 與對稱軸交于點C，D；

第五步：連接EF，與橢圓交于M，N 兩點，則M，N就是為P 點的切線關(guān)于橢圓的切點，連接PM，PN，則直線PM，PN 就是點P 關(guān)于橢圓的切線，如圖1 所示.

圖1

注：當點P 在橢圓上時，問題就轉(zhuǎn)化為確定切線上某點.過P 作PQ 垂直對稱軸，垂足為Q；連接QA，作CA⊥AQ 與對稱軸交于點C；再作點C 關(guān)于中心O 點的對稱點E；連接PE，則直線PE 就是點P關(guān)于橢圓的切線，如圖2 所示.

圖2

下面給出雙曲線類似的性質(zhì).

性質(zhì)2如圖3，過雙曲線外部的一點P，分別作對稱軸的平行線與對稱軸交于點Q，R，連QA，RB，分別作CA⊥AQ，DB⊥BR 與對稱軸交于點C，D，作點C 關(guān)于中心O 點的對稱點E，則點E，D 在P點關(guān)于雙曲線的切點弦上.

證明類似性質(zhì)1 的證明可知，點E 在P 點關(guān)于雙曲線的切點弦上，下證點D 也在切點弦上.

設雙曲線的方程為，P 點坐標為P(x0，y0)，則P 點關(guān)于橢圓的切點弦方程為b2x0x-a2y0y=a2b2，又R(0，y0)，B(b，0)，所以于是BD 的方程為，則D(0，-，顯然點D 在切點弦上.

作圖問題2：已知雙曲線外一點P，求作點P 關(guān)于雙曲線的切線.

第一步：利用［1］中介紹的方法，作出雙曲線的對稱軸，中心O，實虛半軸為半徑的圓與雙曲線對稱軸的交點A，B；

第二步：過點P 分別作對稱軸的平行線與對稱軸交于點Q，R；

第三步：連QA，RB，分別作CA⊥AQ，DB⊥BR與對稱軸交于點C，D；

第四步：作點C 關(guān)于中心O 點的對稱點E；第四步：連接ED，與雙曲線交于M，N 兩點，則M，N 就是P 點的切線關(guān)于雙曲線的切點，連接PM，PN，則直線PM，PN 就是P 點關(guān)于雙曲線的切線，如圖3所示.

圖3

注：當點P 在雙曲線上時，問題就轉(zhuǎn)化為確定切線上某點.過P 作PR 垂直對稱軸，垂足為R，連接RB，作DB⊥BR 與對稱軸交于點D，連接PD，則直線PD 就是點P 關(guān)于雙曲線的切線，如圖4 所示.

圖4

最后討論拋物線的一組性質(zhì).

性質(zhì)3過拋物線外部的一點P，引其對稱軸的平行線與拋物線交于點A，作P 點關(guān)于A 點的對稱點P，再作QQ'垂直對稱軸，垂足為Q'，作Q'關(guān)于頂點O 的對稱點P'，連PP'，過Q 點作直線平行PP'與拋物線交于M，N 兩點，則點Q 是切點弦MN 的中點.

證明設拋物線的方程為y2=2px，P 點坐標為P(x0，y0)，不妨取y0≠0(因為y0=0，P 點在對稱軸上，結(jié)論顯然成立)，則直線PQ 的方程為y=y0，于是，又PA=AQ，所以，從而，所以，kPP'=于是，過點Q 平行PP'的直線MN的參數(shù)方程可寫為

將上式代入拋物線的方程y2=2px，得(y0+pt)2=

設它的兩根為t1，t2，由韋達定理，有t1+t2=0，依參數(shù)t 的幾何意義，則Q 為線段MN 的中點.又P點關(guān)于拋物線的切點弦方程為y0y=p(x+x0)，因為，所以MN 平行于切點弦.又M，N 在拋物線上，從而MN 就是P 點關(guān)于拋物線的切點弦.

性質(zhì)4過拋物線上任意兩點P，Q 的中點N引其對稱軸的平行直線l，則l 必經(jīng)過P，Q 的切線的交點M，且線段MN 被拋物線平分.

證明設拋物線的方程為y2=2px，P，Q 的坐標分別為P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則于是，可求得MN 與拋物線的交點R 的坐標又切線MP，MQ 的方程分別為y1y=p(x+x1)，y2y=p(x+x2)，所以

容易驗證，點R 是線段MN 的中點，所以MN 被拋物線平分.

下面利用這兩條性質(zhì)，給出拋物線切線的一種作法.

作圖問題3：已知拋物線外一點P，求作點P 關(guān)于拋物線的切線.

此問題的關(guān)鍵是作出點P 的切線關(guān)于拋物線的切點.

第一步：利用［1］中介紹的方法，作出拋物線的對稱軸，記頂點為O；

第二步：過點P 引其對稱軸的平行線與拋物線交于A 點，作P 點關(guān)于A 點的對稱點Q；

第三步：作QQ'垂直對稱軸，垂足為Q'，作Q'點關(guān)于頂點O 點的對稱點P'；

第四步：連接PP'，過點Q 作PP'的平行線交拋物線于M，N 兩點；第五步：由性質(zhì)3，則M，N 就是P點的切線關(guān)于拋物線上的切點，連接PM、PN，則直線PM，PN 就是P 點關(guān)于拋物線的切線，如圖5 所示.

注：如果點P 在拋物線上，問題就轉(zhuǎn)化為確定切線上某點.過P 作PQ 垂直對稱軸，垂足為Q，作Q 點關(guān)于拋物線的頂點O 點的對稱點P'，由性質(zhì)4，則點P'在過P 點的切線上，連PP'，則直線PP'就是過P 點關(guān)于拋物線的切線，如圖6 所示.

圖6