高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)分析

張亞

摘 要當(dāng)前，我國正在教育改革之路上邁著前進(jìn)的步伐。在教育改革背景下，如何提升教學(xué)質(zhì)量、培養(yǎng)應(yīng)用型創(chuàng)新型人才，成為當(dāng)前教育界面臨的一個(gè)重要問題。高中數(shù)學(xué)的改革，無疑是教育改革的一個(gè)重要部分。數(shù)學(xué)是很多學(xué)科和專業(yè)的基礎(chǔ)，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)思維、數(shù)學(xué)精神以及創(chuàng)新能力具有重要的意義。對(duì)此，新課標(biāo)也指出，要在數(shù)學(xué)教學(xué)中開展數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)活動(dòng)。

關(guān)鍵詞新課改 數(shù)學(xué) 建模

一、數(shù)學(xué)模型的分類情況

數(shù)學(xué)模型在人類歷史上可謂是源遠(yuǎn)流長，并且發(fā)揮了巨大的作用。從人類使用文字開始，就逐漸建立數(shù)學(xué)模型并利用它處理問題?？梢哉f，數(shù)學(xué)模型作為一種數(shù)學(xué)工具，它的建立對(duì)于解決實(shí)際問題起到了巨大的作用。在當(dāng)前，數(shù)學(xué)理論主要有四大類，它們?yōu)槿藗兘鉀Q數(shù)學(xué)中的難題指明了方向，提供了很好的解題方法，從而人們能夠利用這些數(shù)學(xué)工具來將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題加以解決?；诖耍覀儗?shù)學(xué)模型分為以下幾類。

1.與必然現(xiàn)象有關(guān)的模型

通常情況下，我們用與必然現(xiàn)象有關(guān)的模型來表述那些必然現(xiàn)象，這也是比較容易見到的一類數(shù)學(xué)模型，通常用經(jīng)典數(shù)學(xué)的各種方程式來表示。

2.與或然現(xiàn)象有關(guān)的模型

當(dāng)我們來表述那些或然現(xiàn)象的各種可能結(jié)果的分布規(guī)律時(shí)，一般來說，可以用概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)等方法建立數(shù)學(xué)模型。

3.與突變現(xiàn)象有關(guān)的模型

我們描述那些突變現(xiàn)象時(shí)，用到的是與突變現(xiàn)象有關(guān)的模型，從而來解釋其中發(fā)生突變和漸變的原因以及事物如何發(fā)生變化。

4.與模糊現(xiàn)象有關(guān)的模型

當(dāng)我們描述那些不確定的各種現(xiàn)象或信息時(shí)，通常建立與模糊現(xiàn)象有關(guān)的模型來解決這一問題。

以下是關(guān)于必然現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型和或然現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型的例子。

（1）指數(shù)函數(shù)模型——細(xì)菌增長

在養(yǎng)分充足的情況下，細(xì)菌的數(shù)量會(huì)以指數(shù)函數(shù)的方式成長。假設(shè)細(xì)菌A的數(shù)量每兩小時(shí)可以成長為原來的2倍，細(xì)菌B的數(shù)量每5小時(shí)可以成長為原來的4倍?，F(xiàn)在若養(yǎng)分充足且一開始兩種細(xì)菌的數(shù)量相等，則經(jīng)過多少小時(shí)后，細(xì)菌A的數(shù)量是細(xì)菌B的數(shù)量的兩倍？

說明：開始數(shù)量為A，時(shí)間為T。A乘2的2分之T次方=2乘A乘4的5分之T，變?yōu)?的2分之T次方=2的5分之2T加1次方，就是2分之T=5分之2T+1T=10。所以是經(jīng)過10小時(shí)。

（2）幾何概率模型

設(shè)在400ml自來水中有一個(gè)大腸桿菌，今從中隨機(jī)取出20ml水樣放到顯微鏡下觀察，則發(fā)現(xiàn)大腸桿菌的概率是多少？這道題應(yīng)該這樣理解：大腸桿菌生存在自來水中任一地方是可能的，生存在20ml水中也是可能的，并且生活在400ml水中的任意處的概率只與這部分的容積有關(guān)，所以說，在此題中，發(fā)現(xiàn)大腸桿菌的概率是：p=20/400=1/20

很多情況下，假設(shè)試驗(yàn)的總的基本事件有N個(gè)，通常情況下我們用某些字母來表示其總和。例如：我們可以表示為N，假設(shè)實(shí)驗(yàn)中的隨機(jī)事件A所包含的基本事件數(shù)為n，則隨機(jī)事件A的概率定義如下：P=n/N。

例：兩人相約在18∶00至19∶00之間相見，并且先到者必須等遲到者40分鐘方可離去。如果兩人出發(fā)是各自獨(dú)立的，在18∶00至19∶00各時(shí)刻相見的可能性相等，求兩人在約定的時(shí)間內(nèi)相見的概率。

解：設(shè)兩人分別在x時(shí)和y時(shí)到達(dá)約見地點(diǎn)，要使兩人能在約定的時(shí)間范圍內(nèi)相見，當(dāng)且僅當(dāng)|x-y|≤2/3在陰影部分的范圍內(nèi)兩人能在約定的時(shí)間內(nèi)相見，所以兩人在約定的時(shí)間內(nèi)相遇的概率是8/9。

二、數(shù)學(xué)建模的過程

建立模型對(duì)于解決數(shù)學(xué)難題是十分有幫助的，它能夠把那些抽象難懂的問題很形象地表示出來，是用數(shù)學(xué)語言描述實(shí)際現(xiàn)象的過程。而且，從不同的角度、不同的側(cè)面去考察問題，就會(huì)得到不同的數(shù)學(xué)模型，所以數(shù)學(xué)建模的過程又具有藝術(shù)性。從本質(zhì)上講，自然界中凡是能用定量的術(shù)語來描述的現(xiàn)實(shí)情形，都能通過建立模型使它服從解析的規(guī)律。

盡管問題不同，數(shù)學(xué)建模也不盡相同，但建模的思想和方法基本是一致的。通常來說，完整的數(shù)學(xué)模型通常需要對(duì)問題進(jìn)行分析推理并考慮實(shí)際問題，最后應(yīng)用到實(shí)際中。那么，如何建模才是合理的呢？建模方法又是什么呢？筆者認(rèn)為，具體說可分為以下幾步。

第一，我們要仔細(xì)分析所要研究的問題所具有的性質(zhì)，根據(jù)研究結(jié)果確定使用哪種數(shù)學(xué)模型以及使用何種數(shù)學(xué)方法來解決問題。

第二，分辨出所要研究的問題的重點(diǎn)與次重點(diǎn)，確定量與量之間的關(guān)系的主次性，當(dāng)然，必要的情況下還要作出假設(shè)來輔助解決問題。

第三，根據(jù)這些量之間的關(guān)系建立相應(yīng)的模型，用數(shù)學(xué)中常用的數(shù)學(xué)符號(hào)對(duì)實(shí)際系統(tǒng)進(jìn)行簡化，找出重點(diǎn)，簡化到能夠進(jìn)行數(shù)學(xué)描述的程度。

第四，根據(jù)分析列出相應(yīng)表達(dá)式并建立相應(yīng)數(shù)學(xué)模型，求出結(jié)果。

第五，對(duì)模型進(jìn)行反復(fù)檢驗(yàn)。方法是將最后得出的結(jié)果代入到原型中進(jìn)行檢驗(yàn)，如果模型基本符合原型，那它就是一個(gè)成功的模型，反之則要再次進(jìn)行研究探索，找出問題之所在，根據(jù)出現(xiàn)的問題予以糾正，然后再重新建立模型。

第六，模型的建立就是為了將其應(yīng)用到實(shí)際當(dāng)中，用于解決實(shí)際問題，而模型的建立需要一定的過程，假如在檢驗(yàn)時(shí)驗(yàn)證出模型是對(duì)的、可行的，那么就可以將其應(yīng)用到實(shí)際當(dāng)中，如果模型是不可行的，那么就需要對(duì)其進(jìn)行分析，找出不合理的地方，然后對(duì)其進(jìn)行修，再重新建立數(shù)學(xué)模型，一直到結(jié)果正確為止。

由上可知，數(shù)學(xué)建模是一個(gè)過程，是由實(shí)際問題開始，對(duì)之進(jìn)行抽象、簡化，然后建立數(shù)學(xué)模型，利用此數(shù)學(xué)模型解析這個(gè)實(shí)際問題，再解釋、反復(fù)驗(yàn)證和修改，直到通過才能投入使用的過程。

三、數(shù)學(xué)模型的建立與實(shí)際教學(xué)應(yīng)用

教師在日常教學(xué)中，應(yīng)該經(jīng)常將比較容易的數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)建模的問題滲透到課堂中，聯(lián)系教材內(nèi)容，讓學(xué)生在課堂上更多的掌握這種方法，逐步培養(yǎng)起這種數(shù)學(xué)思維能力和創(chuàng)新能力。而具體的求解過程，則應(yīng)更多地留在課外讓學(xué)生完成。讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)課是充滿探索意義的而非枯燥灌輸?shù)摹?/p>

例如，某污水處理廠打算建造一座地面是矩形并且面積是35平方米的污水處理池，已知處理池的深度是4米，池深建造單價(jià)是50元每平方米，池底建造單價(jià)是60元每平方米，水池厚度不計(jì)，求當(dāng)污水處理池的長和寬各為多少時(shí)，使得花費(fèi)的錢最少，并求出最少時(shí)多少。

解，由問題知，假設(shè)污水處理池的寬為x米，則長為35/x米。

則總造價(jià)f（x）=35*60+2*50*4x+2*50*4*35/x

=2100+400x+14000/x

≥2100+240=2340（元）

當(dāng)且僅當(dāng)x=5.9時(shí)取等號(hào)

∴當(dāng)長為5.9米，寬為5.9米時(shí)總造價(jià)最低，最低總造價(jià)為2340元。

對(duì)于數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)模型，教師需要結(jié)合所教內(nèi)容在課堂中合理切入、啟迪學(xué)生。這樣才能實(shí)現(xiàn)真正意義上的教學(xué)改革，為祖國培養(yǎng)一批批真正的杰出人才。

綜上所述，在新課改背景下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的建模學(xué)習(xí)方法的應(yīng)用是一個(gè)長期的過程。在以后的教學(xué)中，要注意解決好這幾個(gè)問題：首先要正確地分析出現(xiàn)的問題，其次要選取正確的方法去解決問題，最后要檢驗(yàn)問題是否真正地解決與是否真正起到了預(yù)期的作用。只有這樣，才可真正地適應(yīng)新課改的需要，提高我國數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量水平。

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【責(zé)任編輯 鄭雪凌】