華人數(shù)學(xué)教育的成果與反思

林情情

近年來(lái)，華人在一些國(guó)際性的教育評(píng)價(jià)項(xiàng)目，如TIMSS、PISA等的表現(xiàn)逐漸引起世人的關(guān)注，回顧和審視華人數(shù)學(xué)教育學(xué)術(shù)研究的發(fā)展歷程，對(duì)其所取得的成果以及存在的問(wèn)題進(jìn)行交流與反思，對(duì)華人數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域研究的問(wèn)題給予關(guān)注與探討，這是所有數(shù)學(xué)教育工作者關(guān)心的主要內(nèi)容之一。為此，美國(guó)特拉華大學(xué)蔡金法教授、澳大利亞莫納什大學(xué)佘偉忠教授、華東師范大學(xué)鮑建生教授、天津師范大學(xué)王光明教授、浙江師范大學(xué)張維忠教授等和眾多的數(shù)學(xué)教育工作者就華人數(shù)學(xué)教育的成果與反思進(jìn)行深度對(duì)話，以期凝聚華人數(shù)學(xué)教育的力量，分享華人數(shù)學(xué)教育的成果，并對(duì)當(dāng)前華人數(shù)學(xué)教育的發(fā)展情況進(jìn)行反思。

一、華人數(shù)學(xué)教育研究

中國(guó)的數(shù)學(xué)教育有什么優(yōu)勢(shì)，澳門(mén)大學(xué)助理教授孫旭花認(rèn)為系統(tǒng)變式是中國(guó)數(shù)學(xué)問(wèn)題設(shè)計(jì)中最寶貴的經(jīng)驗(yàn)，指出我國(guó)2011年的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)開(kāi)始效法美國(guó)的“條目并列型”課程標(biāo)準(zhǔn)，包括數(shù)和運(yùn)算、度量衡、代數(shù)、幾何、數(shù)據(jù)分析和概率、聯(lián)系、解決問(wèn)題、交流、推理與證明、表述等，但她認(rèn)為我們要有自己的理論，而螺旋變式是課程理論框架的基本精神，能夠以類(lèi)合類(lèi)，以不變以萬(wàn)變。同時(shí)，她指出西方哲學(xué)側(cè)重演繹邏輯，東方哲學(xué)則強(qiáng)調(diào)歸納邏輯，即“變中發(fā)現(xiàn)不變，以不變應(yīng)萬(wàn)變”等信念體系成為影響中國(guó)科學(xué)文化成為一個(gè)整體的基本思想。而且，她指出，漢語(yǔ)的構(gòu)造模式是“以類(lèi)合類(lèi)”的“系統(tǒng)變式”，中國(guó)人數(shù)系的最早構(gòu)造模式也是“以類(lèi)合類(lèi)”的“系統(tǒng)變式”，進(jìn)而出現(xiàn)“十進(jìn)制的位值數(shù)系”的概念，在中國(guó)古代《五曹算經(jīng)》與《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》中，其設(shè)計(jì)框架也體現(xiàn)“以類(lèi)合類(lèi)”的思想。此外，她還指出，不變?cè)兀p基）和變異元素（變式）是隱藏的“中國(guó)式”教學(xué)設(shè)計(jì)框架，雙基和變式這兩個(gè)術(shù)語(yǔ)運(yùn)用得較為頻繁。中國(guó)式的問(wèn)題設(shè)計(jì)主要是從單一問(wèn)題到一類(lèi)問(wèn)題，存在一題多解、一題多變、多題一解等問(wèn)題變式，而且螺旋變式的課程設(shè)計(jì)模型強(qiáng)調(diào)有系統(tǒng)的“變”，從而實(shí)現(xiàn)“以類(lèi)合類(lèi)”的概念連接，達(dá)成知識(shí)的“深、廣、遠(yuǎn)”。最后，她再次強(qiáng)調(diào)說(shuō)螺旋變式的課程設(shè)計(jì)模型在國(guó)際上產(chǎn)生了較大的影響，這一奠基于東方數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)和代數(shù)）的思維系統(tǒng)，植根于東方哲學(xué)起源，符合華人語(yǔ)言框架，強(qiáng)調(diào)“系統(tǒng)”變式，以不變應(yīng)萬(wàn)變的代數(shù)思維為發(fā)展目標(biāo)，超越了其他的西方代數(shù)思維的教育系統(tǒng)。

華人數(shù)學(xué)教育在西方人的眼中是什么樣子的，他們會(huì)研究哪些課題，會(huì)有哪些成果，來(lái)自澳大利亞莫納什大學(xué)的佘偉忠教授基于西方的視角來(lái)談華人數(shù)學(xué)教育的研究情況，他認(rèn)為要從文化維度理論與儒家理論對(duì)美國(guó)與中國(guó)大陸的文化及其人倫關(guān)系、教育與學(xué)習(xí)的關(guān)系進(jìn)行比較，指出文化分析法是其運(yùn)用的主要研究方法，并對(duì)華人學(xué)者的工作地區(qū)與課題研究分布給予統(tǒng)計(jì)，認(rèn)為大陸學(xué)者英文文章發(fā)表的代表性可以更大些，主要聚焦于三大主題，即理論性探討、課程標(biāo)準(zhǔn)或教學(xué)法分析及比較研究。理論性探討主要是自我的反思與經(jīng)驗(yàn)的分享，課程標(biāo)準(zhǔn)或教學(xué)法分析主要關(guān)注點(diǎn)在于教學(xué)方法，很少和學(xué)生的學(xué)習(xí)情境有關(guān)。此外，他也對(duì)自己的研究局限進(jìn)行反思，認(rèn)為中國(guó)大陸地廣人多，期刊選取的數(shù)量和年度有限，希望能夠采取日本的經(jīng)驗(yàn)，將日本書(shū)籍翻譯成英文，和國(guó)外學(xué)者交流、合作出版。同時(shí)，他認(rèn)為海外華人學(xué)者在促進(jìn)華人數(shù)學(xué)教育發(fā)展中應(yīng)有強(qiáng)有力的推動(dòng)作用，這也是他對(duì)華人數(shù)學(xué)教育發(fā)展的一個(gè)展望。

二、有關(guān)數(shù)學(xué)課例、教學(xué)模式及數(shù)學(xué)史課程的研究

中國(guó)數(shù)學(xué)課程在很大程度上都會(huì)采用課例教學(xué)的方式，對(duì)數(shù)學(xué)課例教學(xué)的研究由來(lái)已久。上海教育科學(xué)研究院副研究員楊玉東以關(guān)鍵性教學(xué)事件分析來(lái)闡述中國(guó)式的數(shù)學(xué)課例研究。他指出，2003年，全國(guó)基礎(chǔ)教育課程改革工作會(huì)議中指出“建立以校為本的教研制度，是促進(jìn)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的必然要求，將有利于創(chuàng)造教師間相互關(guān)愛(ài)、相互幫助、相互切磋交流的學(xué)校文化，使學(xué)校不僅成為學(xué)生成長(zhǎng)的場(chǎng)所，同時(shí)也成為教師成就事業(yè)，不斷學(xué)習(xí)和提高的學(xué)習(xí)型組織”，而我國(guó)內(nèi)地的多級(jí)教研網(wǎng)，如省級(jí)教學(xué)研究室/教育學(xué)院、市級(jí)教學(xué)研究室/教育學(xué)院、區(qū)縣級(jí)教學(xué)研究室/教師進(jìn)修學(xué)校、各學(xué)校分學(xué)科的教研組、各學(xué)科分年級(jí)的備課組等已經(jīng)具有60多年的傳統(tǒng)。在教研活動(dòng)制度的保障下，教研文化也在與時(shí)俱進(jìn)。雖然教研流程與教研環(huán)節(jié)變動(dòng)不大，但其價(jià)值取向與內(nèi)涵卻發(fā)生了深刻的變化，逐漸地從熟練技術(shù)操作取向發(fā)展到實(shí)踐反思類(lèi)取向，從研究教材教法到全面研究學(xué)生、教師的行為。楊副研究員同時(shí)還指出，世界課例研究學(xué)會(huì)（WALS）也比較關(guān)注課堂教學(xué)的研究。在日本，大學(xué)教授會(huì)有和中小學(xué)合作的“授業(yè)研究”項(xiàng)目，讓教師走進(jìn)課堂和學(xué)生一起做研究，這是由大學(xué)教授與教師合作開(kāi)展、自愿組成的教學(xué)研究行動(dòng)。此外，“授業(yè)研究”的另一層內(nèi)涵，即“研究授業(yè)”，向社區(qū)開(kāi)放學(xué)校和課堂，公開(kāi)上研究課。此外，他認(rèn)為中國(guó)式課例研究所蘊(yùn)含的思路和方法和人們常常會(huì)引用的舒爾曼的教學(xué)內(nèi)容和知識(shí)框架相似，強(qiáng)調(diào)特定學(xué)科的教師必須要有效地掌握教授的知識(shí)，重點(diǎn)是聚焦學(xué)習(xí)內(nèi)容，難點(diǎn)是聚焦學(xué)生，關(guān)鍵點(diǎn)是聚焦教學(xué)法，最后形成的學(xué)習(xí)效果是聚焦學(xué)生掌握。他還指出，選擇案例研究可以放大展示教師是怎樣參與教研活動(dòng)的，并運(yùn)用一些關(guān)鍵性教學(xué)事件分析來(lái)改進(jìn)課堂教學(xué)，通過(guò)不斷的磨課，聚焦學(xué)生的概念性理解，讓教學(xué)在一些大問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)下更加結(jié)構(gòu)化。最后，楊副研究員認(rèn)為中國(guó)的教研活動(dòng)雖有制度保障的時(shí)間與空間，但仍然存在一些問(wèn)題，如教師間的合作和討論過(guò)多地依賴(lài)經(jīng)驗(yàn)，教研活動(dòng)的協(xié)作質(zhì)量常常取決于教研組長(zhǎng)的領(lǐng)導(dǎo)水平，學(xué)科內(nèi)容取向的教研組內(nèi)的協(xié)作可能會(huì)隔斷教師和其他學(xué)科、學(xué)段的聯(lián)系，但無(wú)論怎樣，課例研究會(huì)給數(shù)學(xué)教育工作者提供一種對(duì)中國(guó)式課例研究的理解。

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)具有啟發(fā)式教學(xué)的優(yōu)良傳統(tǒng)，可以進(jìn)行有意義的接受學(xué)習(xí)、學(xué)思結(jié)合，還能夠在較短的時(shí)間內(nèi)接受大劑量的系統(tǒng)化的知識(shí)，提升學(xué)生的計(jì)算、推理與解決問(wèn)題的能力，但傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)多地強(qiáng)調(diào)知識(shí)的單向灌輸，忽視引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題與提出問(wèn)題。臺(tái)灣嘉義大學(xué)教授楊德清與李茂能通過(guò)對(duì)比數(shù)字動(dòng)畫(huà)自學(xué)組與繪本學(xué)習(xí)組在數(shù)常識(shí)方面的表現(xiàn)，指出通過(guò)數(shù)字動(dòng)畫(huà)自學(xué)可以有效地提升學(xué)生的數(shù)常識(shí)能力，還認(rèn)為將科技融入數(shù)學(xué)的教與學(xué)中可以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)表現(xiàn)。

此外，貴州師范大學(xué)呂傳漢教授根據(jù)其對(duì)我國(guó)課堂教學(xué)有關(guān)問(wèn)題的研討與反思提出了“數(shù)學(xué)情境與提出問(wèn)題”的教學(xué)模式，以培養(yǎng)創(chuàng)新型的數(shù)學(xué)人才。呂教授指出，在這一數(shù)學(xué)教學(xué)模式中，學(xué)生的學(xué)習(xí)方式以質(zhì)疑提問(wèn)、自主合作探索為主，教師導(dǎo)學(xué)的方法有啟發(fā)誘導(dǎo)、矯正解惑講授等，主要存在設(shè)置教學(xué)情境（觀察、分析）、提出數(shù)學(xué)問(wèn)題（探究、猜想）、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題（求解、反饋）、注重?cái)?shù)學(xué)應(yīng)用（學(xué)做、學(xué)用）等環(huán)節(jié)，核心是將質(zhì)疑提問(wèn)、培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)、提高學(xué)生提出問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力貫穿于教學(xué)的全過(guò)程，其中模式中各要素的內(nèi)在聯(lián)系是創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境的前提，核心是提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，目標(biāo)是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，歸宿是應(yīng)用數(shù)學(xué)問(wèn)題。也就是說(shuō)，“數(shù)學(xué)情境與提出問(wèn)題”的教學(xué)模式是以數(shù)學(xué)情境為基礎(chǔ)、以數(shù)學(xué)問(wèn)題為紐帶的啟發(fā)式教學(xué)。同時(shí)，呂教授還指出，在采用這一教學(xué)模式進(jìn)行教學(xué)操作時(shí)，要把握一些關(guān)鍵點(diǎn)，即創(chuàng)設(shè)與使用數(shù)學(xué)情境、發(fā)現(xiàn)與提出數(shù)學(xué)問(wèn)題、分析與解決數(shù)學(xué)問(wèn)題、注重?cái)?shù)學(xué)應(yīng)用、靈活運(yùn)用基本的教學(xué)理念。所謂數(shù)學(xué)情境，就是指從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的環(huán)境，我們不能“為情境而設(shè)置情境”，數(shù)學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)不要脫離課堂教學(xué)目標(biāo)，同時(shí)要恰當(dāng)?shù)靥幚怼扒榫皩?dǎo)學(xué)”與“棄情境”回歸數(shù)學(xué)的關(guān)系，注重“虛擬情境”中的數(shù)學(xué)信息探析。常用的提出數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法有歸納類(lèi)比法、比較分析法、因果聯(lián)想法、變化條件結(jié)合法、擴(kuò)大成果法以及特殊化方法等，教師要循序漸進(jìn)地訓(xùn)練學(xué)生提出問(wèn)題，也要注意自身角色的轉(zhuǎn)變，引導(dǎo)教學(xué)，鼓勵(lì)學(xué)生提出質(zhì)疑與進(jìn)行批判，培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑提問(wèn)能力。此外，呂教授認(rèn)為要注重創(chuàng)設(shè)與學(xué)生實(shí)際生活密切相關(guān)的應(yīng)用性數(shù)學(xué)情境，加強(qiáng)對(duì)應(yīng)用情境的因素與結(jié)構(gòu)的分析，重視提取應(yīng)用情境中的數(shù)學(xué)信息，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用的多樣化及在數(shù)學(xué)應(yīng)用的基礎(chǔ)上創(chuàng)設(shè)新的應(yīng)用性數(shù)學(xué)情境。但他同時(shí)也指出，數(shù)學(xué)課本中的一些知識(shí)背景遠(yuǎn)離農(nóng)村，按照這些知識(shí)背景創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境對(duì)偏遠(yuǎn)民族地區(qū)的學(xué)生來(lái)說(shuō)比較陌生，會(huì)成為他們認(rèn)知活動(dòng)不可逾越的障礙，所以如何發(fā)掘民族地區(qū)的民族數(shù)學(xué)文化，用之形成地方數(shù)學(xué)教材，補(bǔ)充國(guó)家統(tǒng)編教材的不足，應(yīng)成為民族地區(qū)基礎(chǔ)教育階段數(shù)學(xué)教育研究的一個(gè)特色話題，既注重知識(shí)的實(shí)際運(yùn)用，又能拓展應(yīng)用空間。

大多數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)者都是從義務(wù)教育階段或者是高中教育階段的數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)研究的，來(lái)自西北大學(xué)的曲安京教授則從大學(xué)數(shù)學(xué)史課程的教學(xué)談起，指出越來(lái)越多的大學(xué)數(shù)學(xué)系將數(shù)學(xué)史列為本專(zhuān)業(yè)的必修課或者是指定選修課，但偏重古典數(shù)學(xué)史，對(duì)1750年以后的數(shù)學(xué)進(jìn)展介紹的不多，而且對(duì)近代以來(lái)的數(shù)學(xué)史，主要是羅列一些歷史人物與事件，很少出現(xiàn)專(zhuān)題案例分析，在很大程度上會(huì)限制大學(xué)生的求知欲。因此，他以大學(xué)數(shù)學(xué)的一些核心內(nèi)容，如抽象代數(shù)、拓?fù)鋵W(xué)、微分幾何等的數(shù)學(xué)史為案例進(jìn)行介紹，提供一種可能有效的學(xué)習(xí)和研究方式，以期改進(jìn)目前大學(xué)數(shù)學(xué)史課程的教學(xué)。

如何基于國(guó)際視角來(lái)看中國(guó)數(shù)學(xué)課程與美國(guó)數(shù)學(xué)課程之間的差異，來(lái)自美國(guó)普渡大學(xué)的忻燕蘋(píng)教授等基于“乘除法的關(guān)系”對(duì)中國(guó)數(shù)學(xué)教材與美國(guó)數(shù)學(xué)教材進(jìn)行了跨文化的比較研究。她以4套美國(guó)常用的系列教材、2套基于改革的美國(guó)教材與1套中國(guó)教材中有關(guān)“乘除法的關(guān)系”的內(nèi)容設(shè)計(jì)進(jìn)行比較分析，考察不同的國(guó)家文化對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的影響。她指出，和美國(guó)學(xué)生相比，中國(guó)學(xué)生更善于解答常規(guī)問(wèn)題和一些類(lèi)型的非常規(guī)問(wèn)題。同時(shí)，她還對(duì)教學(xué)模塊進(jìn)行了定量與定性的分析，從問(wèn)題圖式、答題要求、代數(shù)準(zhǔn)備三個(gè)維度對(duì)練習(xí)模塊進(jìn)行分析，從而指出在教學(xué)部分與練習(xí)部分，和美國(guó)教材相比，中國(guó)教材明顯含有較多的例題與習(xí)題，但比較集中，而美國(guó)常用的4套教材的重點(diǎn)并不是很明確，各個(gè)部分所占的篇幅差別不大。此外，忻教授指出，這一跨文化的研究也表明了美國(guó)學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)還可能和其教材的設(shè)計(jì)有直接的關(guān)系。因此，基于改革的教學(xué)，要強(qiáng)調(diào)學(xué)生能夠在一定的指導(dǎo)下自行建構(gòu)知識(shí)。就乘除法互為逆運(yùn)算而言，中、美兩國(guó)教材的一個(gè)比較顯著的差異是中國(guó)教材通過(guò)圖式獲得講授乘法推理，利用一組窮盡的例題在具體水平和符號(hào)水平上明確地定義乘除法運(yùn)算的互逆關(guān)系，而一些美國(guó)教材會(huì)試圖將代數(shù)引入小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，并不重視和強(qiáng)調(diào)向?qū)W生講授符號(hào)表征和代數(shù)思維。

三、清末中學(xué)的數(shù)學(xué)教科書(shū)

1904年，《奏定學(xué)堂章程》頒布實(shí)施，為清末中學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)的發(fā)展起到承前啟后的作用，不僅體現(xiàn)出自身特征，也反映了國(guó)人追求西方新數(shù)學(xué)教育的夢(mèng)想以及接受新事物的矛盾心態(tài)。來(lái)自內(nèi)蒙古師范大學(xué)的代欽教授從清末中學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)及其發(fā)展特點(diǎn)講起，指出《奏定學(xué)堂章程》（癸卯學(xué)制）的實(shí)施改變了中國(guó)長(zhǎng)期封建制的官學(xué)、私學(xué)、書(shū)院等學(xué)校形式，為中國(guó)建立現(xiàn)代形式的學(xué)校制度奠定了基礎(chǔ)，開(kāi)始以算術(shù)、代數(shù)、幾何和三角等進(jìn)行分支分科設(shè)置，進(jìn)行分科教學(xué)。代教授指出，清末中學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)發(fā)端于《奏定學(xué)堂章程》頒布之前，在清末已經(jīng)出現(xiàn)了中學(xué)堂水平的數(shù)學(xué)教科書(shū)，盡管還不成體系，但為今后數(shù)學(xué)教科書(shū)的翻譯、編譯和編寫(xiě)奠定了基礎(chǔ)，尤其是基督教士對(duì)新式數(shù)學(xué)教科書(shū)的肇始與發(fā)展產(chǎn)生關(guān)鍵性的作用，出現(xiàn)了《數(shù)學(xué)啟蒙》二卷本（1853）、《幾何原本》十五卷本（1857）、《算學(xué)入門(mén)》（1898）等。

此外，代教授指出，在清末數(shù)學(xué)教科書(shū)的建設(shè)方面，小學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)由國(guó)人自編的居多，中學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)幾乎是從日本、美國(guó)與歐洲等國(guó)教科書(shū)翻譯或者編譯過(guò)來(lái)的，認(rèn)為清末是中國(guó)傳統(tǒng)文化和西方現(xiàn)代文化碰撞與交融的大變革時(shí)期，也是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育走向近代化的轉(zhuǎn)型時(shí)期，其中學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)具有以下的一些特點(diǎn)：從宏觀層面上看，具有新穎性、多元性、滯后性與合作性；從微觀層面來(lái)看，主要體現(xiàn)在編排與符號(hào)的使用方面，大多時(shí)候仍使用豎排形式，不利于數(shù)學(xué)或自然科學(xué)書(shū)籍的編寫(xiě)，而且在內(nèi)容取舍方面，會(huì)在翻譯時(shí)刪減外國(guó)原著中某些命題證明、例題解答等不適合中國(guó)國(guó)情的內(nèi)容。因此，代教授指出，清末中學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)似乎更突顯了一些形式方面的內(nèi)容，但其背后卻體現(xiàn)著教科書(shū)編譯者對(duì)中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的迷戀和對(duì)西方數(shù)學(xué)文化的追求之間復(fù)雜而尖銳的矛盾心態(tài)。

伴隨華人數(shù)學(xué)教育學(xué)者水平的不斷提升，華人數(shù)學(xué)教育的研究成果不斷顯現(xiàn)，在國(guó)際數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域也占據(jù)重要的位置，發(fā)揮著重要的角色，但是我們不應(yīng)止足不前，要有創(chuàng)新與反思的精神，以期攀登科學(xué)高峰。

（作者單位：北京師范大學(xué)教育學(xué)部）

（責(zé)任編輯：孫建輝）

此外，貴州師范大學(xué)呂傳漢教授根據(jù)其對(duì)我國(guó)課堂教學(xué)有關(guān)問(wèn)題的研討與反思提出了“數(shù)學(xué)情境與提出問(wèn)題”的教學(xué)模式，以培養(yǎng)創(chuàng)新型的數(shù)學(xué)人才。呂教授指出，在這一數(shù)學(xué)教學(xué)模式中，學(xué)生的學(xué)習(xí)方式以質(zhì)疑提問(wèn)、自主合作探索為主，教師導(dǎo)學(xué)的方法有啟發(fā)誘導(dǎo)、矯正解惑講授等，主要存在設(shè)置教學(xué)情境（觀察、分析）、提出數(shù)學(xué)問(wèn)題（探究、猜想）、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題（求解、反饋）、注重?cái)?shù)學(xué)應(yīng)用（學(xué)做、學(xué)用）等環(huán)節(jié)，核心是將質(zhì)疑提問(wèn)、培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)、提高學(xué)生提出問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力貫穿于教學(xué)的全過(guò)程，其中模式中各要素的內(nèi)在聯(lián)系是創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境的前提，核心是提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，目標(biāo)是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，歸宿是應(yīng)用數(shù)學(xué)問(wèn)題。也就是說(shuō)，“數(shù)學(xué)情境與提出問(wèn)題”的教學(xué)模式是以數(shù)學(xué)情境為基礎(chǔ)、以數(shù)學(xué)問(wèn)題為紐帶的啟發(fā)式教學(xué)。同時(shí)，呂教授還指出，在采用這一教學(xué)模式進(jìn)行教學(xué)操作時(shí)，要把握一些關(guān)鍵點(diǎn)，即創(chuàng)設(shè)與使用數(shù)學(xué)情境、發(fā)現(xiàn)與提出數(shù)學(xué)問(wèn)題、分析與解決數(shù)學(xué)問(wèn)題、注重?cái)?shù)學(xué)應(yīng)用、靈活運(yùn)用基本的教學(xué)理念。所謂數(shù)學(xué)情境，就是指從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的環(huán)境，我們不能“為情境而設(shè)置情境”，數(shù)學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)不要脫離課堂教學(xué)目標(biāo)，同時(shí)要恰當(dāng)?shù)靥幚怼扒榫皩?dǎo)學(xué)”與“棄情境”回歸數(shù)學(xué)的關(guān)系，注重“虛擬情境”中的數(shù)學(xué)信息探析。常用的提出數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法有歸納類(lèi)比法、比較分析法、因果聯(lián)想法、變化條件結(jié)合法、擴(kuò)大成果法以及特殊化方法等，教師要循序漸進(jìn)地訓(xùn)練學(xué)生提出問(wèn)題，也要注意自身角色的轉(zhuǎn)變，引導(dǎo)教學(xué)，鼓勵(lì)學(xué)生提出質(zhì)疑與進(jìn)行批判，培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑提問(wèn)能力。此外，呂教授認(rèn)為要注重創(chuàng)設(shè)與學(xué)生實(shí)際生活密切相關(guān)的應(yīng)用性數(shù)學(xué)情境，加強(qiáng)對(duì)應(yīng)用情境的因素與結(jié)構(gòu)的分析，重視提取應(yīng)用情境中的數(shù)學(xué)信息，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用的多樣化及在數(shù)學(xué)應(yīng)用的基礎(chǔ)上創(chuàng)設(shè)新的應(yīng)用性數(shù)學(xué)情境。但他同時(shí)也指出，數(shù)學(xué)課本中的一些知識(shí)背景遠(yuǎn)離農(nóng)村，按照這些知識(shí)背景創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境對(duì)偏遠(yuǎn)民族地區(qū)的學(xué)生來(lái)說(shuō)比較陌生，會(huì)成為他們認(rèn)知活動(dòng)不可逾越的障礙，所以如何發(fā)掘民族地區(qū)的民族數(shù)學(xué)文化，用之形成地方數(shù)學(xué)教材，補(bǔ)充國(guó)家統(tǒng)編教材的不足，應(yīng)成為民族地區(qū)基礎(chǔ)教育階段數(shù)學(xué)教育研究的一個(gè)特色話題，既注重知識(shí)的實(shí)際運(yùn)用，又能拓展應(yīng)用空間。

大多數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)者都是從義務(wù)教育階段或者是高中教育階段的數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)研究的，來(lái)自西北大學(xué)的曲安京教授則從大學(xué)數(shù)學(xué)史課程的教學(xué)談起，指出越來(lái)越多的大學(xué)數(shù)學(xué)系將數(shù)學(xué)史列為本專(zhuān)業(yè)的必修課或者是指定選修課，但偏重古典數(shù)學(xué)史，對(duì)1750年以后的數(shù)學(xué)進(jìn)展介紹的不多，而且對(duì)近代以來(lái)的數(shù)學(xué)史，主要是羅列一些歷史人物與事件，很少出現(xiàn)專(zhuān)題案例分析，在很大程度上會(huì)限制大學(xué)生的求知欲。因此，他以大學(xué)數(shù)學(xué)的一些核心內(nèi)容，如抽象代數(shù)、拓?fù)鋵W(xué)、微分幾何等的數(shù)學(xué)史為案例進(jìn)行介紹，提供一種可能有效的學(xué)習(xí)和研究方式，以期改進(jìn)目前大學(xué)數(shù)學(xué)史課程的教學(xué)。

如何基于國(guó)際視角來(lái)看中國(guó)數(shù)學(xué)課程與美國(guó)數(shù)學(xué)課程之間的差異，來(lái)自美國(guó)普渡大學(xué)的忻燕蘋(píng)教授等基于“乘除法的關(guān)系”對(duì)中國(guó)數(shù)學(xué)教材與美國(guó)數(shù)學(xué)教材進(jìn)行了跨文化的比較研究。她以4套美國(guó)常用的系列教材、2套基于改革的美國(guó)教材與1套中國(guó)教材中有關(guān)“乘除法的關(guān)系”的內(nèi)容設(shè)計(jì)進(jìn)行比較分析，考察不同的國(guó)家文化對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的影響。她指出，和美國(guó)學(xué)生相比，中國(guó)學(xué)生更善于解答常規(guī)問(wèn)題和一些類(lèi)型的非常規(guī)問(wèn)題。同時(shí)，她還對(duì)教學(xué)模塊進(jìn)行了定量與定性的分析，從問(wèn)題圖式、答題要求、代數(shù)準(zhǔn)備三個(gè)維度對(duì)練習(xí)模塊進(jìn)行分析，從而指出在教學(xué)部分與練習(xí)部分，和美國(guó)教材相比，中國(guó)教材明顯含有較多的例題與習(xí)題，但比較集中，而美國(guó)常用的4套教材的重點(diǎn)并不是很明確，各個(gè)部分所占的篇幅差別不大。此外，忻教授指出，這一跨文化的研究也表明了美國(guó)學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)還可能和其教材的設(shè)計(jì)有直接的關(guān)系。因此，基于改革的教學(xué)，要強(qiáng)調(diào)學(xué)生能夠在一定的指導(dǎo)下自行建構(gòu)知識(shí)。就乘除法互為逆運(yùn)算而言，中、美兩國(guó)教材的一個(gè)比較顯著的差異是中國(guó)教材通過(guò)圖式獲得講授乘法推理，利用一組窮盡的例題在具體水平和符號(hào)水平上明確地定義乘除法運(yùn)算的互逆關(guān)系，而一些美國(guó)教材會(huì)試圖將代數(shù)引入小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，并不重視和強(qiáng)調(diào)向?qū)W生講授符號(hào)表征和代數(shù)思維。

三、清末中學(xué)的數(shù)學(xué)教科書(shū)

1904年，《奏定學(xué)堂章程》頒布實(shí)施，為清末中學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)的發(fā)展起到承前啟后的作用，不僅體現(xiàn)出自身特征，也反映了國(guó)人追求西方新數(shù)學(xué)教育的夢(mèng)想以及接受新事物的矛盾心態(tài)。來(lái)自內(nèi)蒙古師范大學(xué)的代欽教授從清末中學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)及其發(fā)展特點(diǎn)講起，指出《奏定學(xué)堂章程》（癸卯學(xué)制）的實(shí)施改變了中國(guó)長(zhǎng)期封建制的官學(xué)、私學(xué)、書(shū)院等學(xué)校形式，為中國(guó)建立現(xiàn)代形式的學(xué)校制度奠定了基礎(chǔ)，開(kāi)始以算術(shù)、代數(shù)、幾何和三角等進(jìn)行分支分科設(shè)置，進(jìn)行分科教學(xué)。代教授指出，清末中學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)發(fā)端于《奏定學(xué)堂章程》頒布之前，在清末已經(jīng)出現(xiàn)了中學(xué)堂水平的數(shù)學(xué)教科書(shū)，盡管還不成體系，但為今后數(shù)學(xué)教科書(shū)的翻譯、編譯和編寫(xiě)奠定了基礎(chǔ)，尤其是基督教士對(duì)新式數(shù)學(xué)教科書(shū)的肇始與發(fā)展產(chǎn)生關(guān)鍵性的作用，出現(xiàn)了《數(shù)學(xué)啟蒙》二卷本（1853）、《幾何原本》十五卷本（1857）、《算學(xué)入門(mén)》（1898）等。

此外，代教授指出，在清末數(shù)學(xué)教科書(shū)的建設(shè)方面，小學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)由國(guó)人自編的居多，中學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)幾乎是從日本、美國(guó)與歐洲等國(guó)教科書(shū)翻譯或者編譯過(guò)來(lái)的，認(rèn)為清末是中國(guó)傳統(tǒng)文化和西方現(xiàn)代文化碰撞與交融的大變革時(shí)期，也是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育走向近代化的轉(zhuǎn)型時(shí)期，其中學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)具有以下的一些特點(diǎn)：從宏觀層面上看，具有新穎性、多元性、滯后性與合作性；從微觀層面來(lái)看，主要體現(xiàn)在編排與符號(hào)的使用方面，大多時(shí)候仍使用豎排形式，不利于數(shù)學(xué)或自然科學(xué)書(shū)籍的編寫(xiě)，而且在內(nèi)容取舍方面，會(huì)在翻譯時(shí)刪減外國(guó)原著中某些命題證明、例題解答等不適合中國(guó)國(guó)情的內(nèi)容。因此，代教授指出，清末中學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)似乎更突顯了一些形式方面的內(nèi)容，但其背后卻體現(xiàn)著教科書(shū)編譯者對(duì)中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的迷戀和對(duì)西方數(shù)學(xué)文化的追求之間復(fù)雜而尖銳的矛盾心態(tài)。

伴隨華人數(shù)學(xué)教育學(xué)者水平的不斷提升，華人數(shù)學(xué)教育的研究成果不斷顯現(xiàn)，在國(guó)際數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域也占據(jù)重要的位置，發(fā)揮著重要的角色，但是我們不應(yīng)止足不前，要有創(chuàng)新與反思的精神，以期攀登科學(xué)高峰。

（作者單位：北京師范大學(xué)教育學(xué)部）

（責(zé)任編輯：孫建輝）

此外，貴州師范大學(xué)呂傳漢教授根據(jù)其對(duì)我國(guó)課堂教學(xué)有關(guān)問(wèn)題的研討與反思提出了“數(shù)學(xué)情境與提出問(wèn)題”的教學(xué)模式，以培養(yǎng)創(chuàng)新型的數(shù)學(xué)人才。呂教授指出，在這一數(shù)學(xué)教學(xué)模式中，學(xué)生的學(xué)習(xí)方式以質(zhì)疑提問(wèn)、自主合作探索為主，教師導(dǎo)學(xué)的方法有啟發(fā)誘導(dǎo)、矯正解惑講授等，主要存在設(shè)置教學(xué)情境（觀察、分析）、提出數(shù)學(xué)問(wèn)題（探究、猜想）、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題（求解、反饋）、注重?cái)?shù)學(xué)應(yīng)用（學(xué)做、學(xué)用）等環(huán)節(jié)，核心是將質(zhì)疑提問(wèn)、培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)、提高學(xué)生提出問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力貫穿于教學(xué)的全過(guò)程，其中模式中各要素的內(nèi)在聯(lián)系是創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境的前提，核心是提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，目標(biāo)是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，歸宿是應(yīng)用數(shù)學(xué)問(wèn)題。也就是說(shuō)，“數(shù)學(xué)情境與提出問(wèn)題”的教學(xué)模式是以數(shù)學(xué)情境為基礎(chǔ)、以數(shù)學(xué)問(wèn)題為紐帶的啟發(fā)式教學(xué)。同時(shí)，呂教授還指出，在采用這一教學(xué)模式進(jìn)行教學(xué)操作時(shí)，要把握一些關(guān)鍵點(diǎn)，即創(chuàng)設(shè)與使用數(shù)學(xué)情境、發(fā)現(xiàn)與提出數(shù)學(xué)問(wèn)題、分析與解決數(shù)學(xué)問(wèn)題、注重?cái)?shù)學(xué)應(yīng)用、靈活運(yùn)用基本的教學(xué)理念。所謂數(shù)學(xué)情境，就是指從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的環(huán)境，我們不能“為情境而設(shè)置情境”，數(shù)學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)不要脫離課堂教學(xué)目標(biāo)，同時(shí)要恰當(dāng)?shù)靥幚怼扒榫皩?dǎo)學(xué)”與“棄情境”回歸數(shù)學(xué)的關(guān)系，注重“虛擬情境”中的數(shù)學(xué)信息探析。常用的提出數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法有歸納類(lèi)比法、比較分析法、因果聯(lián)想法、變化條件結(jié)合法、擴(kuò)大成果法以及特殊化方法等，教師要循序漸進(jìn)地訓(xùn)練學(xué)生提出問(wèn)題，也要注意自身角色的轉(zhuǎn)變，引導(dǎo)教學(xué)，鼓勵(lì)學(xué)生提出質(zhì)疑與進(jìn)行批判，培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑提問(wèn)能力。此外，呂教授認(rèn)為要注重創(chuàng)設(shè)與學(xué)生實(shí)際生活密切相關(guān)的應(yīng)用性數(shù)學(xué)情境，加強(qiáng)對(duì)應(yīng)用情境的因素與結(jié)構(gòu)的分析，重視提取應(yīng)用情境中的數(shù)學(xué)信息，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用的多樣化及在數(shù)學(xué)應(yīng)用的基礎(chǔ)上創(chuàng)設(shè)新的應(yīng)用性數(shù)學(xué)情境。但他同時(shí)也指出，數(shù)學(xué)課本中的一些知識(shí)背景遠(yuǎn)離農(nóng)村，按照這些知識(shí)背景創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境對(duì)偏遠(yuǎn)民族地區(qū)的學(xué)生來(lái)說(shuō)比較陌生，會(huì)成為他們認(rèn)知活動(dòng)不可逾越的障礙，所以如何發(fā)掘民族地區(qū)的民族數(shù)學(xué)文化，用之形成地方數(shù)學(xué)教材，補(bǔ)充國(guó)家統(tǒng)編教材的不足，應(yīng)成為民族地區(qū)基礎(chǔ)教育階段數(shù)學(xué)教育研究的一個(gè)特色話題，既注重知識(shí)的實(shí)際運(yùn)用，又能拓展應(yīng)用空間。

大多數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)者都是從義務(wù)教育階段或者是高中教育階段的數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)研究的，來(lái)自西北大學(xué)的曲安京教授則從大學(xué)數(shù)學(xué)史課程的教學(xué)談起，指出越來(lái)越多的大學(xué)數(shù)學(xué)系將數(shù)學(xué)史列為本專(zhuān)業(yè)的必修課或者是指定選修課，但偏重古典數(shù)學(xué)史，對(duì)1750年以后的數(shù)學(xué)進(jìn)展介紹的不多，而且對(duì)近代以來(lái)的數(shù)學(xué)史，主要是羅列一些歷史人物與事件，很少出現(xiàn)專(zhuān)題案例分析，在很大程度上會(huì)限制大學(xué)生的求知欲。因此，他以大學(xué)數(shù)學(xué)的一些核心內(nèi)容，如抽象代數(shù)、拓?fù)鋵W(xué)、微分幾何等的數(shù)學(xué)史為案例進(jìn)行介紹，提供一種可能有效的學(xué)習(xí)和研究方式，以期改進(jìn)目前大學(xué)數(shù)學(xué)史課程的教學(xué)。

如何基于國(guó)際視角來(lái)看中國(guó)數(shù)學(xué)課程與美國(guó)數(shù)學(xué)課程之間的差異，來(lái)自美國(guó)普渡大學(xué)的忻燕蘋(píng)教授等基于“乘除法的關(guān)系”對(duì)中國(guó)數(shù)學(xué)教材與美國(guó)數(shù)學(xué)教材進(jìn)行了跨文化的比較研究。她以4套美國(guó)常用的系列教材、2套基于改革的美國(guó)教材與1套中國(guó)教材中有關(guān)“乘除法的關(guān)系”的內(nèi)容設(shè)計(jì)進(jìn)行比較分析，考察不同的國(guó)家文化對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的影響。她指出，和美國(guó)學(xué)生相比，中國(guó)學(xué)生更善于解答常規(guī)問(wèn)題和一些類(lèi)型的非常規(guī)問(wèn)題。同時(shí)，她還對(duì)教學(xué)模塊進(jìn)行了定量與定性的分析，從問(wèn)題圖式、答題要求、代數(shù)準(zhǔn)備三個(gè)維度對(duì)練習(xí)模塊進(jìn)行分析，從而指出在教學(xué)部分與練習(xí)部分，和美國(guó)教材相比，中國(guó)教材明顯含有較多的例題與習(xí)題，但比較集中，而美國(guó)常用的4套教材的重點(diǎn)并不是很明確，各個(gè)部分所占的篇幅差別不大。此外，忻教授指出，這一跨文化的研究也表明了美國(guó)學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)還可能和其教材的設(shè)計(jì)有直接的關(guān)系。因此，基于改革的教學(xué)，要強(qiáng)調(diào)學(xué)生能夠在一定的指導(dǎo)下自行建構(gòu)知識(shí)。就乘除法互為逆運(yùn)算而言，中、美兩國(guó)教材的一個(gè)比較顯著的差異是中國(guó)教材通過(guò)圖式獲得講授乘法推理，利用一組窮盡的例題在具體水平和符號(hào)水平上明確地定義乘除法運(yùn)算的互逆關(guān)系，而一些美國(guó)教材會(huì)試圖將代數(shù)引入小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，并不重視和強(qiáng)調(diào)向?qū)W生講授符號(hào)表征和代數(shù)思維。

三、清末中學(xué)的數(shù)學(xué)教科書(shū)

1904年，《奏定學(xué)堂章程》頒布實(shí)施，為清末中學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)的發(fā)展起到承前啟后的作用，不僅體現(xiàn)出自身特征，也反映了國(guó)人追求西方新數(shù)學(xué)教育的夢(mèng)想以及接受新事物的矛盾心態(tài)。來(lái)自內(nèi)蒙古師范大學(xué)的代欽教授從清末中學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)及其發(fā)展特點(diǎn)講起，指出《奏定學(xué)堂章程》（癸卯學(xué)制）的實(shí)施改變了中國(guó)長(zhǎng)期封建制的官學(xué)、私學(xué)、書(shū)院等學(xué)校形式，為中國(guó)建立現(xiàn)代形式的學(xué)校制度奠定了基礎(chǔ)，開(kāi)始以算術(shù)、代數(shù)、幾何和三角等進(jìn)行分支分科設(shè)置，進(jìn)行分科教學(xué)。代教授指出，清末中學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)發(fā)端于《奏定學(xué)堂章程》頒布之前，在清末已經(jīng)出現(xiàn)了中學(xué)堂水平的數(shù)學(xué)教科書(shū)，盡管還不成體系，但為今后數(shù)學(xué)教科書(shū)的翻譯、編譯和編寫(xiě)奠定了基礎(chǔ)，尤其是基督教士對(duì)新式數(shù)學(xué)教科書(shū)的肇始與發(fā)展產(chǎn)生關(guān)鍵性的作用，出現(xiàn)了《數(shù)學(xué)啟蒙》二卷本（1853）、《幾何原本》十五卷本（1857）、《算學(xué)入門(mén)》（1898）等。

此外，代教授指出，在清末數(shù)學(xué)教科書(shū)的建設(shè)方面，小學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)由國(guó)人自編的居多，中學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)幾乎是從日本、美國(guó)與歐洲等國(guó)教科書(shū)翻譯或者編譯過(guò)來(lái)的，認(rèn)為清末是中國(guó)傳統(tǒng)文化和西方現(xiàn)代文化碰撞與交融的大變革時(shí)期，也是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育走向近代化的轉(zhuǎn)型時(shí)期，其中學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)具有以下的一些特點(diǎn)：從宏觀層面上看，具有新穎性、多元性、滯后性與合作性；從微觀層面來(lái)看，主要體現(xiàn)在編排與符號(hào)的使用方面，大多時(shí)候仍使用豎排形式，不利于數(shù)學(xué)或自然科學(xué)書(shū)籍的編寫(xiě)，而且在內(nèi)容取舍方面，會(huì)在翻譯時(shí)刪減外國(guó)原著中某些命題證明、例題解答等不適合中國(guó)國(guó)情的內(nèi)容。因此，代教授指出，清末中學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)似乎更突顯了一些形式方面的內(nèi)容，但其背后卻體現(xiàn)著教科書(shū)編譯者對(duì)中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的迷戀和對(duì)西方數(shù)學(xué)文化的追求之間復(fù)雜而尖銳的矛盾心態(tài)。

伴隨華人數(shù)學(xué)教育學(xué)者水平的不斷提升，華人數(shù)學(xué)教育的研究成果不斷顯現(xiàn)，在國(guó)際數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域也占據(jù)重要的位置，發(fā)揮著重要的角色，但是我們不應(yīng)止足不前，要有創(chuàng)新與反思的精神，以期攀登科學(xué)高峰。

（作者單位：北京師范大學(xué)教育學(xué)部）

（責(zé)任編輯：孫建輝）