加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)

許婉如

摘 要： 數(shù)學(xué)思想方法是隱性的數(shù)學(xué)知識，是聯(lián)系顯性數(shù)學(xué)知識與學(xué)生數(shù)學(xué)能力的紐帶，是數(shù)學(xué)科學(xué)的靈魂.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重點應(yīng)放在數(shù)學(xué)思想方法上.作為一位數(shù)學(xué)老師，作者積極嘗試在教學(xué)中滲透以下數(shù)學(xué)思想方法：化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、統(tǒng)計思想、假設(shè)思想等.

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)思想方法 化歸 數(shù)形結(jié)合 統(tǒng)計 假設(shè)

小學(xué)數(shù)學(xué)新課標(biāo)指出：“數(shù)學(xué)思想方法是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識.學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，形成一定的數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)課程的一個重要目的，應(yīng)在教學(xué)中加強(qiáng)滲透.”數(shù)學(xué)思想方法是隱性的數(shù)學(xué)知識，是聯(lián)系顯性數(shù)學(xué)知識與學(xué)生數(shù)學(xué)能力的紐帶，是數(shù)學(xué)科學(xué)的靈魂.數(shù)學(xué)的精髓不在于知識本身，而在于數(shù)學(xué)知識中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法；數(shù)學(xué)教學(xué)的目的不在于學(xué)生掌握多少數(shù)學(xué)知識，而在于掌握和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決實際問題的能力.因此，數(shù)學(xué)教學(xué)的重點應(yīng)放在數(shù)學(xué)思想方法上.

一、滲透“化歸”的思想方法

所謂“化歸”可理解為“轉(zhuǎn)化”與“歸結(jié)”的意思，是指將有待解決或未解決的問題，通過轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或較易解決的問題，以求得解決.任何數(shù)學(xué)問題的解決過程，都是一個未知向已知轉(zhuǎn)化的過程，是一個等價轉(zhuǎn)化的過程.化歸是基本而典型的數(shù)學(xué)思想，教學(xué)時經(jīng)常用到它，如化難為易、化繁為簡、化曲為直等.正確運(yùn)用“化歸思想”進(jìn)行教學(xué)，可以促使學(xué)生把握事物的發(fā)展進(jìn)程，對事物內(nèi)部結(jié)構(gòu)、縱橫關(guān)系、數(shù)量特征等有較深刻的認(rèn)識.

例如，求多邊形的內(nèi)角和.學(xué)生在掌握三角形內(nèi)角和之后，要計算多邊形的內(nèi)角和，可以通過適當(dāng)添加輔助線，將四邊形分割成兩個三角形，這樣就把所求的多邊形內(nèi)角和的問題轉(zhuǎn)化為計算三角形內(nèi)角和的問題，四邊形內(nèi)角和=2×一個三角形內(nèi)角和（180°），五邊形內(nèi)角和=3×一個三角形內(nèi)角和（180°），六邊形內(nèi)角和=4×一個三角形內(nèi)角和（180°），n邊形內(nèi)角和=（n-2）×一個三角形內(nèi)角和（180°）……

又如，學(xué)校買了3只籃球和5只足球共付164元，已知買1只籃球和2只足球共需61.5元，問：買1只籃球和1只足球各需多少元？

解法一：以1只籃球和2只足球共需61.5元為化歸的對象，把1只籃球和2只足球作為1份數(shù)是實施化歸的途徑，3份數(shù)：3只籃球和6只足球的價格為（61.5×3）元是化歸的目標(biāo)，與3只籃球和5只足球的價格為164元進(jìn)行比較，相差數(shù)為1只足球，故得1只足球的價格為（61.5×3-164）元.

解法二：設(shè)1只足球價格為X元，則1只籃球價格為（61.5-2x）元

根據(jù)題意列方程得3×（61.5-2x）+5x=164

本題中未知數(shù)1只籃球價格為化歸的對象，方程3（61.5-2x）+5x=164是化歸的目標(biāo)，1只籃球的價格用61.5元減去2只足球的價格表示是實施化歸的途徑.

二、體現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”的思想方法

“數(shù)形結(jié)合”就是通過數(shù)（數(shù)量關(guān)系）與形（空間形式）的相互轉(zhuǎn)化、互相利用來解決數(shù)學(xué)問題的一種思想方法.它既是一個重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種常用的數(shù)學(xué)方法.“數(shù)形結(jié)合”的思想方法，是理論與實際的有機(jī)聯(lián)系，是思維的起點，是學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的基本方法.“數(shù)形結(jié)合”可以借助簡單的圖形、符號和文字所作的示意圖，促進(jìn)學(xué)生形象思維與抽象思維的協(xié)調(diào)發(fā)展，溝通數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，從復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系中凸顯最本質(zhì)的特征.

例如，教學(xué)“植樹問題”.模擬植樹，得出線上植樹的三種情況.

師：“？搖？搖”代表一段路，用“/”代表一棵樹，畫“/”就表示種了一棵樹.請在這段路上種上四棵樹，想想、做做，你有幾種種法？學(xué)生操作，獨立完成后，在小組里交流說說你是怎么種的？教師反饋，實物投影學(xué)生擺的情況：

①＼？搖 ？搖＼？搖 ？搖＼？搖 ？搖＼兩端都種

②＼？搖 ？搖＼？搖 ？搖＼？搖 ？搖＼？搖 ？搖或？搖 ？搖＼？搖 ？搖＼？搖 ？搖＼？搖 ？搖＼一端栽種

③？搖 ？搖＼？搖 ？搖＼？搖 ？搖＼？搖 ？搖＼？搖 ？搖兩端都不種

師生共同小結(jié)得出：兩端都種：棵數(shù)=段數(shù)+1；一端栽種：棵數(shù)=段數(shù)；兩端都不種：棵數(shù)=段數(shù)-1.

又如，爸爸今年的年齡是小明的4倍，爸爸比小明大27歲，爸爸和小明各多少歲？這類題對于四年級學(xué)生來說，往往較難解決，但如果老師能夠充分重視引導(dǎo)學(xué)生在讀懂題目的基礎(chǔ)上，畫出線段圖，則大部分學(xué)生都能夠順利解決.

從線段圖中，我們可以形象地看出，小明今年的年齡用1份線段表示，爸爸的年齡就可以用這樣的4份表示，爸爸比小明大的27歲是這樣的3份，由此可以引導(dǎo)學(xué)生求出1份線段表示的年齡是：27÷3=9（歲），即小明今年的年齡是9歲，爸爸的年齡是：9×4=36（歲）.

教師巧妙利用線段圖幫助學(xué)生學(xué)習(xí)，讓學(xué)生有可以憑借的工具，借助“數(shù)形結(jié)合”將文字信息與學(xué)習(xí)基礎(chǔ)耦合，使得學(xué)習(xí)得以繼續(xù)，使得學(xué)生思維發(fā)展有了憑借，也使得“數(shù)形結(jié)合”的思想方法真正得以體現(xiàn).

三、完善“統(tǒng)計”的思想方法

“統(tǒng)計”的基本思想是：從局部觀測資料的統(tǒng)計特征推斷整個系統(tǒng)的狀態(tài)，或判斷某一論斷以多大的概率保證其正確性，或者算出發(fā)生錯誤判斷的概率.統(tǒng)計方法是由“局部到整體”、“由特殊到一般”的科學(xué)方法.小學(xué)數(shù)學(xué)中，安排了很多獨立的單元進(jìn)行統(tǒng)計知識的教學(xué)，在其他領(lǐng)域知識的學(xué)習(xí)中，都不同程度地應(yīng)用了統(tǒng)計知識，作為知識呈現(xiàn)的載體和解決問題的方法進(jìn)行教學(xué)[4].

例如，課程標(biāo)準(zhǔn)新增加了“統(tǒng)計與概率”的內(nèi)容，學(xué)習(xí)的核心目標(biāo)是發(fā)展學(xué)生的“統(tǒng)計觀念”和“隨機(jī)觀念”.學(xué)生在學(xué)習(xí)“統(tǒng)計與概率”的過程中，熟悉了它的基本思想方法，從而逐步形成統(tǒng)計觀念.有一位學(xué)生課后向教師質(zhì)疑問難：“經(jīng)?？吹竭@樣的敘述：中國13億人口.為什么不說：中國大約有13億人口？事實上，中國的人口不可能是完整的13億呀，零頭沒說明?。俊苯處熂皶r贊賞了這位學(xué)生的懷疑精神，舉例子說明并引導(dǎo)他明白：日常生活中我們經(jīng)常會聽到“某地區(qū)受災(zāi)面積達(dá)到60%”、“估計第三世界人口的增長率為每年4%”、“這場足球賽，巴西隊贏的可能性比較大”、“今天北京地區(qū)的降水概率為70%”等語言，這實際上就是人們對客觀世界某些現(xiàn)象的一種描述，其中涉及大量的數(shù)據(jù).學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，不僅整理和分析信息的能力得到了增強(qiáng)，而且隨著學(xué)習(xí)的深入，逐步形成了尊重事實，用數(shù)據(jù)說話的科學(xué)態(tài)度.

四、應(yīng)用“假設(shè)”的思想方法

“假設(shè)”思想是先對題目中的已知條件或問題作出某種假設(shè)，然后按照題中的已知條件進(jìn)行推算，根據(jù)數(shù)量出現(xiàn)的矛盾，加以適當(dāng)調(diào)整，最后找到正確答案的一種思想方法.假設(shè)法是小學(xué)數(shù)學(xué)中比較常用的方法，實際上也是轉(zhuǎn)化方法的一種.假設(shè)法實際上是根據(jù)原來的數(shù)據(jù)、數(shù)量關(guān)系和邏輯關(guān)系，做一些數(shù)據(jù)的改變，把原問題轉(zhuǎn)化成新的問題，而且新的問題易于理解和解決，是一種迂回戰(zhàn)術(shù)[5].

例如，小明有1角、5角的硬幣共35枚，一共是9元5角，問兩種硬幣各多少枚？這是一道“雞兔同籠”的數(shù)學(xué)問題.分析與解答：9元5角=95角，假設(shè)這35枚都是1角的，那么總錢數(shù)就應(yīng)該是：1×35=35（角），比實際95角少了：95-35=60（角），這是因為把其中5角的硬幣都當(dāng)成1角了.有一枚5角硬幣，少算了5-1=4（角），少算的60角中有幾個這樣的4角，就有幾個5角硬幣.60÷4=15（枚），1角硬幣：35-15=20（枚）.答：5角硬幣有15枚，1角硬幣有20枚.

假設(shè)都是5角硬幣，該怎樣解呢？學(xué)生自己嘗試解答：假設(shè)這35枚都是5角的，那么總錢數(shù)就應(yīng)該是：5×35=175（角），比實際95角多了：175-95=80（角）.這是因為把其中1角的硬幣都當(dāng)成5角了.有一枚1角硬幣，多算了5-1=4（角），多算的80角中有幾個這樣的4角，就有幾個1角硬幣.80÷4=20（枚），5角硬幣：35-20=15（枚）.答：5角硬幣有15枚，1角硬幣有20枚.

此外，在數(shù)學(xué)教學(xué)中還要注意有目的、有選擇、適時地滲透集合思想、符號化思想、模型思想等.小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是循環(huán)往復(fù)、螺旋上升的過程，往往是幾種數(shù)學(xué)思想方法交織在一起.教學(xué)實踐表明，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)對于提高教學(xué)質(zhì)量，改變“重結(jié)論、輕過程，重形式、輕思想”的現(xiàn)狀，培養(yǎng)高素質(zhì)人才有著深遠(yuǎn)而重大的現(xiàn)實意義.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部.小學(xué)數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]王嘉年.淺談數(shù)學(xué)中的化歸思想[J].山東教育，2002（35）.

[3]袁桂珍.數(shù)形結(jié)合思想方法及其運(yùn)用[J].廣西教育，2004（15）.

[4]范文正.幾種基本統(tǒng)計思想的現(xiàn)實意義[J].統(tǒng)計與決策，2002（8）.

[5]徐遠(yuǎn)親.用假設(shè)法解應(yīng)用題[J].小學(xué)生之友，2002（2）.