關(guān)于多元函數(shù)極限的一點(diǎn)注記

蔡俊亮

(北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與復(fù)雜系統(tǒng)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100875)

1 引 言

眾所周知，微積分教學(xué)工作已從過去的精英教學(xué)模式逐步轉(zhuǎn)化為當(dāng)前大眾化教學(xué)模式. 即以前僅作為數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課的微積分教材，現(xiàn)已逐步變?yōu)橹T如數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)(講義,原理),高等數(shù)學(xué)(引論,基礎(chǔ),教程)及大學(xué)數(shù)學(xué)等不同形式滲透到大學(xué)教學(xué)各專業(yè)領(lǐng)域中,作為必修課或選修課. 而與此相關(guān)的教材也應(yīng)運(yùn)而生，并且種類繁多[1-10]. 顯然,作為這類教材內(nèi)容的一個(gè)重要概念,極限,必須要簡單明了、準(zhǔn)確無誤,更不能含糊不清甚至出現(xiàn)自相矛盾的現(xiàn)象. 然而，據(jù)作者多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并經(jīng)認(rèn)真思考與研究后發(fā)現(xiàn):一元函數(shù)極限概念相對標(biāo)準(zhǔn),但多元情形較亂,甚至自相矛盾.本文試圖就此問題展開研究,并以一元函數(shù)極限的概念為標(biāo)準(zhǔn)，給出多元情形一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)定義.

2 有關(guān)極限的概念

通常,在給出函數(shù)、極限和連續(xù)的概念之前,先要介紹一些相關(guān)的集合概念.這些概念較簡單,也易理解,但其表述方式有差異.為統(tǒng)一起見,盡量用標(biāo)準(zhǔn)語言和記號表述n-維空間的一些集合和函數(shù)的概念:全體實(shí)數(shù)集,自然數(shù)集(含0),整數(shù)集,正整數(shù)集+,有理數(shù)集等.

對于n∈+,n-維空間中全體點(diǎn)集稱為全集,記為n,即n={(x1,x2,…,xn)|?x1,x2,…,xn∈}. 空集記為?.設(shè)x=(x1,x2,…,xn)，y=(y1,y2,…,yn)∈n, 則x和y兩點(diǎn)之間的距離

具有某種性質(zhì)P的全體點(diǎn)為n的一個(gè)子集,記為E={x|x∈n.滿足性質(zhì)P}?n;Ec=nE稱為點(diǎn)集E的補(bǔ)集:如?c=n,(n)c=?. 另外, 點(diǎn)集有有限集,無限集等.

設(shè)x0∈n,δ為正數(shù), 以x0為中心,δ為半徑的開球稱為點(diǎn)x0的δ-鄰域, 記為

Uδ(x0)=U(x0,δ)={x|x-x0|<δ}.

點(diǎn)集U°δ(x0)=U°(x0,δ)={x|0<|x-x0|<δ}稱為x0的去心δ-鄰域.

設(shè)x0∈E?n. 若存在δ>0,使U(x0,δ)?E,則稱x0為E的內(nèi)點(diǎn);E的補(bǔ)集Ec的內(nèi)點(diǎn)稱為E的外點(diǎn);否則稱為E的界點(diǎn).E的界點(diǎn)的集合稱為E的邊界，記為?E.點(diǎn)集E?n，若存在某個(gè)正數(shù)M使得E?U(O,M),其中O為n-維空間的坐標(biāo)原點(diǎn),則稱E為有界點(diǎn)集. 否則無界點(diǎn)集. 若非空點(diǎn)集E的每個(gè)點(diǎn)都是E的內(nèi)點(diǎn),則稱E為開集. 若有界點(diǎn)集E的邊界?E?E,則稱E為閉集.一般地,點(diǎn)集E?n的閉集為?n.對非空點(diǎn)集Ω?n, 若其中任意兩點(diǎn)均可用Ω中的折線連接起來, 則稱Ω為連通集,簡稱區(qū)域；連通的開集稱為開區(qū)域；連通的閉集稱為閉區(qū)域.閉區(qū)域總有界.

設(shè)x0∈E?n,若存在δ>0使得U°(x0,δ)∩E=?，則稱x0為E的孤點(diǎn); 若任意δ>0,使得U°(x0,δ)∩E≠?，則稱x0為E的聚點(diǎn).

注意：點(diǎn)集E的孤點(diǎn)是界點(diǎn)，但非聚點(diǎn)；點(diǎn)集E的內(nèi)點(diǎn)為聚點(diǎn)，但聚點(diǎn)并非內(nèi)點(diǎn)；點(diǎn)集E的界點(diǎn)和聚點(diǎn)未必屬于E.

n-元函數(shù)的定義設(shè)非空點(diǎn)集Ω?n. 若對每個(gè)點(diǎn)x∈Ω,變量y都會按照一定的法則f唯一地確定中的一個(gè)值與其對應(yīng)，則稱變量y∈為變量x的n-元函數(shù)，記為y=f(x)， 其中點(diǎn)集Ω稱為函數(shù)y=f(x)的定義域(實(shí)為點(diǎn)集)，x稱為自變(向)量,y稱為因變(向)量. 數(shù)集{y|y=f(x),x∈Ω}稱為函數(shù)y=f(x)的值域, 簡記為

f(Ω)={y|y=f(x),x∈Ω}?.

由此定義的函數(shù)為“單值”函數(shù)，對所謂的“多值”函數(shù)可將其化為若干單值函數(shù)去研究.

在一元函數(shù)微積分的教材中，與極限有關(guān)的概念和內(nèi)容基本上是正確的，且比較統(tǒng)一. 雖然在不同教材中的表述形式略有不同，甚至有些不夠準(zhǔn)確，但并不存在原則上的錯(cuò)誤[1-10].既然一元函數(shù)的這套極限的定義是公認(rèn)的“標(biāo)準(zhǔn)”，那么多元情形就應(yīng)當(dāng)以一元函數(shù)的情形為“標(biāo)準(zhǔn)”進(jìn)行相應(yīng)的推廣. 本文的目的就是要給出多(n-)元函數(shù)極限的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)定義.

3 多元函數(shù)極限定義中的問題

在此首先要對已經(jīng)出現(xiàn)在各類微積分教材中的多元函數(shù)極限的定義進(jìn)行一次普查,并對這些定義進(jìn)行仔細(xì)分析和研究. 為簡單計(jì),我們主要對二元函數(shù)極限的定義進(jìn)行普查. 縱覽有關(guān)微積分教材(共調(diào)研了100余套教材,本文挑選了其中有代表性的10套作為參考文獻(xiàn))中的二元函數(shù)極限的定義，沒有發(fā)現(xiàn)一個(gè)定義是標(biāo)準(zhǔn)的、全面的. 不妨具體分析如下：

在所研究的這些微積分教材中，無論二元函數(shù)極限的定義形式如何變化，但究其實(shí)質(zhì)而言可歸結(jié)為下面的三種形式：

二元函數(shù)極限定義3.1[1,2]設(shè)函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)處的某去心鄰域U°(P0)內(nèi)有定義，A為一個(gè)確定的常數(shù). 若對任意給定的正數(shù)ε, 總存在正數(shù)δ,使得當(dāng)P(x,y)∈U°(P0,δ)時(shí)，恒有|f(x,y)-A|<ε成立，則稱函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P0處的極限存在(收斂)，該常數(shù)A稱為函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P0處的極限. 否則，稱函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P0處的極限不存在(發(fā)散).

定義3.1的缺陷是沒有給出函數(shù)在區(qū)域界點(diǎn)處的極限定義，從而無法討論函數(shù)在閉區(qū)域上的相關(guān)性質(zhì). 另外，按此定義許多函數(shù)的極限問題將無法討論. 如，常見的函數(shù)

(1)

等在原點(diǎn)O(0,0)處的極限就沒有定義,由于這些函數(shù)不滿足定義的前提條件：函數(shù)“在U°(O)內(nèi)有定義”.

二元函數(shù)極限定義3.2[3-7]設(shè)函數(shù)f(x,y)的定義域?yàn)镈，P0(x0,y0)為D的一個(gè)聚點(diǎn)，A為一個(gè)確定的常數(shù). 若對任意給定的正數(shù)ε, 總存在正數(shù)δ,使得當(dāng)P(x,y)∈U°(P0,δ)∩D時(shí)，恒有|f(x,y)-A|<ε成立，則稱函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P0處的極限存在(收斂)，該常數(shù)A稱為函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P0處的極限. 否則，稱函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P0處的極限不存在(發(fā)散).

定義3.2比定義3.1的適應(yīng)范圍要廣泛一些. 如，按照定義3.2，(1)式中的4個(gè)函數(shù)在原點(diǎn)處的極限均存在且為0,即當(dāng)(x,y)→(0,0)時(shí)，

(2)

但定義3.2也有漏洞，如考察函數(shù)

f(x,y)=1, (x,y)∈{(x,y)|x,y∈}=2.

(3)

定義3.3的適應(yīng)范圍更為廣泛些. 這個(gè)定義雖然在某種程度上克服了前兩個(gè)極限定義中的缺陷與不足，但此定義自相矛盾.因?yàn)樗押瘮?shù)在區(qū)域“界點(diǎn)”處的“極限”等同于函數(shù)在“內(nèi)點(diǎn)”處的極限，正如在一元函數(shù)的情形把左、右極限等同于極限的錯(cuò)誤一樣. 我們認(rèn)為這個(gè)定義對于一元函數(shù)情形是“不可兼容”的.

顯然這是不合理的,因?yàn)楹秃瘮?shù)g(x,y)在整個(gè)平面上根本就沒有定義.

以上論證表明:當(dāng)前多元函數(shù)極限的定義均有缺陷和漏洞，需要修正.下面提供一種修改的建議，以供參考.

4 多元函數(shù)極限的標(biāo)準(zhǔn)化定義

當(dāng)n-元函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的極限不存在時(shí)，我們給出一種單側(cè)極限的定義.

多(n-)元函數(shù)側(cè)極限的定義4.2設(shè)函數(shù)f(x)在某區(qū)域Ω上有定義,A為一個(gè)常數(shù),且x0∈?Ω. 若對于任意的正數(shù)ε, 總存在正數(shù)δ，使得當(dāng)x∈U°(x0,δ)∩Ω時(shí),恒有|f(x)-A|<ε成立，則稱n-元函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的側(cè)極限存在，該常數(shù)A稱為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的側(cè)極限, 記為

否則稱f(x)在點(diǎn)x0處的側(cè)極限不存在.

注意：(i)通常把多元函數(shù)的極限和側(cè)極限統(tǒng)稱為“極限”，具體的存在性須按定義考察.

(ii)無限遠(yuǎn)點(diǎn)處的極限可作類似定義，或用倒代換化為有限點(diǎn)情形討論.

(iii)凡與極限有關(guān)的概念可作類似處理.

[參 考 文 獻(xiàn)]

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