線性代數(shù)課程學(xué)時(shí)設(shè)置及考試命題技巧研究

張 慧

(陜西科技大學(xué)理學(xué)院，陜西710021))

線性代數(shù)是工科院校學(xué)生必修的一門公共基礎(chǔ)課，這門課的特點(diǎn)是：概念多、符號(hào)多、定理多、運(yùn)算規(guī)律多，具有較強(qiáng)的抽象性與邏輯性，初學(xué)者都會(huì)感覺到難以掌握.因此，教師必須從教學(xué)方法、課程設(shè)置、復(fù)習(xí)考試等各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)上狠下功夫，設(shè)法給予學(xué)生盡可能多的幫助，才能使學(xué)生在期末考試時(shí)過(guò)關(guān)，達(dá)到合格要求.

在全國(guó)一般工科院系數(shù)學(xué)教學(xué)中都采用同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編寫的《線性代數(shù)》教材(現(xiàn)在采用第五版，以下簡(jiǎn)稱線代教材)，注重講授前五章的內(nèi)容：行列式、矩陣及其運(yùn)算、矩陣的初等變換與線性方程組、向量組的線性相關(guān)性、相似矩陣及二次型[1].

1 學(xué)時(shí)設(shè)置

一般工科學(xué)生初學(xué)線性代數(shù)，由于首先遇到的行列式運(yùn)算和矩陣運(yùn)算是多方位的，遠(yuǎn)比中學(xué)時(shí)的單向運(yùn)算復(fù)雜得多，所以大部分學(xué)生都出現(xiàn)猶如墜入云里霧里的感覺，都會(huì)感到傾聽能力差、接受信息困難而導(dǎo)致課堂效果差，這種情形在國(guó)內(nèi)外皆然[2].

為了提高教學(xué)質(zhì)量，合理安排教學(xué)時(shí)間也是重要的.線代教材第一版是在1981年發(fā)行，其前言中寫明“前五章教學(xué)時(shí)數(shù)為34學(xué)時(shí)”，這是合理的.時(shí)跨30余年，該教材目前已出至第五版，內(nèi)容變化不大，但是教育形勢(shì)變化很大，特別是已從當(dāng)年的精英教育變?yōu)楫?dāng)今的大眾教育，逐年擴(kuò)招導(dǎo)致的大學(xué)門檻降低，學(xué)生入學(xué)水平整體下降，入校后的浮躁、加之當(dāng)今世界的豐富多彩，越來(lái)越多的學(xué)生抱怨傳統(tǒng)教學(xué)課堂的單調(diào)乏趣(這種認(rèn)識(shí)是片面的，甚至是錯(cuò)誤的，這是由于沒有學(xué)懂學(xué)通，而導(dǎo)致體會(huì)不到數(shù)學(xué)課程內(nèi)在的統(tǒng)一性、連貫性、和諧美、理論價(jià)值，外在的實(shí)用性，……)等等，34學(xué)時(shí)已不能夠使當(dāng)代大部分學(xué)生很好的掌握線性代數(shù)這門基礎(chǔ)課.增加10學(xué)時(shí)，多上些習(xí)題課，又不符合教育部的有關(guān)政策規(guī)定，那就只有減少內(nèi)容了.減掉一些抽象的理論性很強(qiáng)的內(nèi)容和難度太大的題目解答，比如關(guān)于矩陣秩的一些不等式的證明，關(guān)于向量組的線性相關(guān)性的一些證明題，等等，是比較好的對(duì)策.

線性代數(shù)課程學(xué)時(shí)分布也要科學(xué).現(xiàn)在許多學(xué)校給線性代數(shù)課程計(jì)劃學(xué)時(shí)為36—40學(xué)時(shí)，除去教學(xué)期間所巧遇的國(guó)家法定節(jié)假日，實(shí)際執(zhí)行學(xué)時(shí)也就是36學(xué)時(shí)左右.有些學(xué)校將此課程安排為周學(xué)時(shí)2，從開學(xué)第一周一直上到期末，戰(zhàn)線拉得很長(zhǎng).實(shí)踐證明，這樣做教學(xué)效果是比較差的，因?yàn)閮纱握n中間間隔時(shí)間太長(zhǎng)，等下一次上課時(shí)，上一次課講得什么內(nèi)容，有的學(xué)生都忘了，有的學(xué)生模糊不清，盡管教師強(qiáng)調(diào)“在上課之前1—2天，一定要將上一次課的內(nèi)容復(fù)習(xí)一下，獨(dú)立完成作業(yè)”，但是好多學(xué)生很難做到位，導(dǎo)致新舊內(nèi)容銜接不好，數(shù)學(xué)鏈條斷裂，這肯定就影響教學(xué)效果、影響教學(xué)質(zhì)量了.

如果將這些學(xué)時(shí)平均分配在10周之內(nèi)，即周學(xué)時(shí)為4，上午上課，并且每周的兩次課中間間隔1—2天，用于完成線性代數(shù)課程的教學(xué)、考試、成績(jī)?cè)u(píng)定等所有環(huán)節(jié)，那是最好的.

有的學(xué)校將線性代數(shù)課程安排在大一第一學(xué)期，有的學(xué)校安排在第二學(xué)期.筆者認(rèn)為安排在第二學(xué)期好一些.因?yàn)榈谝粚W(xué)期，是新生由高中到大學(xué)的轉(zhuǎn)型期，一下子就上高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)兩門數(shù)學(xué)課，許多學(xué)生難以適應(yīng)，壓力太大，學(xué)不好.

2 考試命題技巧

由于線性代數(shù)是比較難掌握的一門基礎(chǔ)課，所以很有必要進(jìn)行一次期中考試，也可以稱為診斷考試.期中考試題的難度大一些比較好，本意是借此給學(xué)生一些壓力，此“壓力”容易轉(zhuǎn)化為“動(dòng)力”而激勵(lì)學(xué)生努力學(xué)習(xí).經(jīng)過(guò)期中考試，診斷一下學(xué)生在學(xué)習(xí)上存在什么問(wèn)題、老師在教學(xué)上存在什么問(wèn)題；篩選出班上最差的學(xué)生，10名左右，以便在后半學(xué)期對(duì)他們進(jìn)行強(qiáng)化教學(xué)教育，使他們順利過(guò)關(guān)，達(dá)到合格標(biāo)準(zhǔn).期末考試的目的是檢查學(xué)生一學(xué)期來(lái)對(duì)所學(xué)課程內(nèi)容的掌握情況，界定是否達(dá)到合格，合到哪一格，優(yōu)秀、良好、還是剛剛及格.同時(shí)為給學(xué)生是否能拿到畢業(yè)證提供有效依據(jù).

考試題型不外乎：填空題、選擇題、判斷題、計(jì)算題、解答題、應(yīng)用題、證明題、討論題和開放題，這些也稱為數(shù)學(xué)考試指令詞，某些指令詞之間沒有嚴(yán)格的界限.閉卷考試常用前七種指令詞，而后兩種指令詞常用于開卷考試中.

2.1 各題型所占比例

填空題、選擇題、判斷題一般都是由小題構(gòu)成，每小題3分，占總分的30%左右，主要涉及一些概念容易模糊的題目、計(jì)算較簡(jiǎn)單但容易出錯(cuò)的的題目、具有一定的似真性和干擾性的題目，要用到逆向思維解決的題目，等等.

計(jì)算題等一般占55%左右，證明題可以較好的檢驗(yàn)學(xué)生的邏輯思維能力，一般占15%左右.

2.2 拆大題為小題

計(jì)算題中每小題最好不要超過(guò)10分. 對(duì)于利用相似變換，將矩陣對(duì)角化這樣的大型題目，即包含知識(shí)點(diǎn)較多的題目，最好將其拆分成2—3個(gè)小題，以免源于大型題目本身計(jì)算前后緊密的關(guān)聯(lián)性，使得學(xué)生在答題時(shí)，僅僅由于開始犯了的小錯(cuò)誤而導(dǎo)致后面的大錯(cuò)誤，失分較多.因?yàn)殚_始計(jì)算錯(cuò)了，后面的題解可能就與正確答案大相徑庭了.但是后面所涉及的知識(shí)點(diǎn)(正是教師要考的知識(shí)點(diǎn))，學(xué)生掌握了，解題方法是對(duì)的，這種情況下，教師怎么給評(píng)分，給分多少就看閱卷老師自己了，隨意性較大，也有不給分的，不給分也是對(duì)的，因?yàn)轭}目做錯(cuò)了，就應(yīng)該不給分，但是這肯定影響學(xué)生的成績(jī)，甚至使學(xué)生因此而掛科.從考試就是考知識(shí)點(diǎn)，只要卷面上能反映出所考的知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生掌握了，就可以得分的意義上來(lái)講，還是給分好一些.下面舉例說(shuō)明(所舉例子都是某校期末試題)：

例1(16分題) 設(shè)矩陣

(i)(6分)當(dāng)k為何值時(shí)，矩陣A可以相似對(duì)角化？

(ii)(10分)求可逆矩陣P，使得P-1AP為對(duì)角陣.

解(i)時(shí)，必須計(jì)算一個(gè)帶有參數(shù)k,λ的三階行列式，容易出錯(cuò)(按說(shuō)計(jì)算三階行列式，是最基本的知識(shí)點(diǎn)，不該出錯(cuò)，但實(shí)際上可多學(xué)生就是算錯(cuò)了).如果算錯(cuò)了，得出錯(cuò)誤的k,λ值，就給下面解(ii)時(shí)埋下隱患，接著解(ii)的方法即便是再對(duì)，結(jié)果都是錯(cuò)的.

例2(16分題) 設(shè)矩陣

(i)(12分)求矩陣A的特征值與特征向量；

(ii)(2分)問(wèn)矩陣A是否能對(duì)角化？并說(shuō)明理由；

(iii)(2分)如果矩陣A能對(duì)角化，就寫出相似變換矩陣P，使得P-1AP為對(duì)角陣.

這道題中，第(ii)個(gè)問(wèn)題的解決既可以從解第(i)個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中擷取依據(jù)，得出答案；又可以另辟路徑(完全不受第(i)個(gè)問(wèn)題的解題過(guò)程及結(jié)論的影響)來(lái)回答：由于A是實(shí)對(duì)稱矩陣，所以能對(duì)角化.這相對(duì)于例1來(lái)說(shuō)，好一些；第(iii)個(gè)問(wèn)題的解決雖然要用到第(i)個(gè)問(wèn)題的結(jié)果，但是不做進(jìn)一步的運(yùn)算，因此無(wú)論學(xué)生把第(i)個(gè)問(wèn)題答得怎么樣，只要掌握了寫相似變換矩陣P和對(duì)應(yīng)的對(duì)角陣的方法，都會(huì)得到1—2分.

當(dāng)然，如果將第(i)個(gè)問(wèn)題拆分成兩個(gè)問(wèn)題來(lái)考學(xué)生就更好了.因?yàn)榈?i)個(gè)問(wèn)題就是考兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)：一是求三階方陣的特征值，二是求三階方陣的特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量，只要達(dá)到目的就行了.所以可以考慮這樣出題：

①(4分題)給出一個(gè)三階方陣B，求B的特征值.注意只要B≠A就行.這樣既考了求三階方陣的特征值這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，又可以避免出現(xiàn)由于求錯(cuò)了矩陣的特征值而導(dǎo)致求錯(cuò)特征向量的“一錯(cuò)再錯(cuò)”連續(xù)失分.

②(12分題)已知矩陣A的特征值是λ1=-1，λ2=0，λ3=9，

(i)(8分)求矩陣A的全部的特征向量；

(ii)(2分)問(wèn)矩陣A是否能對(duì)角化？并說(shuō)明理由；

(iii)(2分)如果矩陣A能對(duì)角化，就寫出相似變換矩陣P，使得P-1AP為對(duì)角陣.

2.3 考慮周全避免遺漏

命題教師不僅要對(duì)試題反復(fù)檢查，仔細(xì)解答，在解答中再體會(huì)：選題是否合適，試題份量、難易程度、各知識(shí)點(diǎn)包容程度等等是否合適，若不盡人意就給予改進(jìn).切忌出現(xiàn)錯(cuò)題、病題，并給出試題所有正確解法.

此題有兩種解法.無(wú)論是哪一種解法，首先都要寫出“因?yàn)锳B=A+B，所以AB-B=A，即(A-E)B=A. 寫到此，是正確的，可得2分，標(biāo)準(zhǔn)答案是這么規(guī)定的.但是往往有學(xué)生在此寫出B(A-E)=A，由于標(biāo)準(zhǔn)答案上沒有顯示這樣寫是正確的，便被閱卷老師扣了2分(這里指只按標(biāo)準(zhǔn)答案改卷的教師)，這是學(xué)生和教師共同粗心大意所導(dǎo)致的結(jié)果.學(xué)生是忘記了矩陣的乘積不符合交換律，教師是沒有考慮周全，沒有想到在本題中有(A-E)B=B(A-E). 也就是說(shuō)，由AB-B=A到B(A-E)=A，表面上看是錯(cuò)誤的，應(yīng)該扣分. 實(shí)際上B(A-E)=A這個(gè)等式是正確的，扣分又不合適，兩難呀，為了避免這種“難”，只要改動(dòng)原題中矩陣A的某些元素就可以了，關(guān)鍵是命題教師在命題時(shí)要意識(shí)到(A-E)B=B(A-E).

至于完整的題解過(guò)程，就不在此展現(xiàn)了.

2.4 巧設(shè)參數(shù)，考察學(xué)生的應(yīng)變能力

求解純數(shù)字系數(shù)的線性方程組，是一個(gè)綜合性比較強(qiáng)的試題，求解過(guò)程會(huì)涉及到計(jì)算行列式，矩陣的初等行變換，判斷矩陣的秩等知識(shí)點(diǎn)；求解帶有參數(shù)的線性方程組，綜合性就更強(qiáng)了.例如當(dāng)a,b(a,b∈)為何值時(shí)，線性方程組

有唯一解？無(wú)解？有無(wú)窮多解？并在有無(wú)窮多解時(shí)求出其通解.

解這題的一般步驟為：① 寫出增廣矩陣B，并利用矩陣的初等行變換將其化為行最簡(jiǎn)型矩陣，記為C；② 觀察矩陣C可知當(dāng)a≠1時(shí)，系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩都等于4，等于未知量的個(gè)數(shù)，此時(shí)線性方程組有唯一解；當(dāng)a=1且b≠-1時(shí)，系數(shù)矩陣的秩為2，而增廣矩陣的秩為3，兩者不相等，線性方程組無(wú)解；當(dāng)a=1且b=-1時(shí)，系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩都等于3，小于未知量的個(gè)數(shù)，此時(shí)線性方程組有無(wú)窮多解；③ 寫岀與矩陣C相應(yīng)的線性方程組，再將a=1,b=-1代入，進(jìn)行整理，得到與原線性方程組同解的方程組

(1)

改寫成矩陣形式

這便是所求通解[3].

注 手寫方程組(1)時(shí)，就不必將系數(shù)1和為0的項(xiàng)寫出來(lái)，這里寫只是為了整齊.

這個(gè)題目，由于巧妙地設(shè)計(jì)了參數(shù)a,b，而使學(xué)生在答題時(shí)不得不對(duì)參數(shù)a,b進(jìn)行討論，從而在一道試題中可以考察到線性方程組求解理論的所有知識(shí)點(diǎn)，且沒有繁瑣的低級(jí)數(shù)字計(jì)算，最后的答案也整齊簡(jiǎn)單.因此，這是一道很好的試題.當(dāng)然，命題教師不可能每次都原題照搬，只要能借鑒這道題目的美妙和諧，悟出一些門道，繁衍出更好的試題便是進(jìn)步.

2.5 出一道附加題

附加題，也稱之為機(jī)動(dòng)題，地位處于正式試題之后，該題較其前面的正式試題難度要大一些，技巧性要高一些，但是賦分不多，最多賦予6分. 這6分是額外的，也就是說(shuō)，卷面總分為(100+6)分.附加題賦分不能太多，以免吸引一般學(xué)生的注意力而影響完成前面正式試題的解答. 附加題是用來(lái)檢驗(yàn)學(xué)生是否拔尖的題目，是給一部分水平高的學(xué)生在考試中能夠充分發(fā)揮和展示其能力而創(chuàng)造的一個(gè)機(jī)會(huì)，同時(shí)也不影響另外一部分學(xué)生的成績(jī).這一點(diǎn)，教師最好在考試之前就給學(xué)生講清楚，以免占用有效考試時(shí)間.

2.6 檢查試題版樣

印試卷是試題出籠的最后一個(gè)環(huán)節(jié)，命題教師不可忽視.因?yàn)槌?huì)發(fā)生計(jì)算機(jī)對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)識(shí)別錯(cuò)誤，而印刷工人又不懂線性代數(shù)，導(dǎo)致幾千份試卷印出來(lái)了，甚至都送到考場(chǎng)去了，才發(fā)現(xiàn)有多處錯(cuò)誤的問(wèn)題.因此，在批量印刷試題之前，命題教師或?qū)I(yè)人員一定要對(duì)試題版樣進(jìn)行仔細(xì)校對(duì)，以免引起大麻煩[4].

由于學(xué)生的成績(jī)高低主要由期末考試決定，期末試卷的命題設(shè)計(jì)便非常重要.一套質(zhì)量高的線性代數(shù)考試試題是一個(gè)有機(jī)的整體，不能是零散的單個(gè)試題的機(jī)械堆砌，是需要認(rèn)真思考和精心打造的，既要凸顯學(xué)生在能力和投入上的差別，激勵(lì)優(yōu)秀人才，又要讓不及格率控制在一個(gè)適當(dāng)?shù)闹笜?biāo)之下，也要在整體上盡量避免知識(shí)點(diǎn)、計(jì)算方法與計(jì)算技巧的重復(fù)，把握好難度系數(shù)分布和試題區(qū)分度[5].還要從整體上考慮：是否命題涵蓋主要教學(xué)內(nèi)容，是否可以測(cè)量到學(xué)生不同層次的能力狀況，是否與本校的級(jí)別相配，等等[6,7].

線性代數(shù)命題技巧不止這些，應(yīng)該不斷探索和總結(jié)，以便給出精品試題奠定基礎(chǔ).

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系. 線性代數(shù)[M]. 5版. 北京. 高等教育出版社，2010.

[2] 劉敏捷. 大學(xué)生傾聽能力的缺失及其提高對(duì)策[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012，21(2)：95—98.

[3] 張小向，陳建龍. 線性代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)[M]. 北京. 科學(xué)出版社，2010.

[4] 張慧，侯再恩，等. 對(duì)高等數(shù)學(xué)課教考分離的研究[J]. 價(jià)值工程，2011，30(7)：163—164.

[5] 龍飛，肖勁松. 高等數(shù)學(xué)考試命題科學(xué)性問(wèn)題探討[J]. 實(shí)踐與探索，2012，26(9)：304.

[6] 謝啟鴻. 淺談高等代數(shù)命題中的若干技巧[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué)，2013，29(3)：127—130.

[7] 王映學(xué)，段寶軍，等. 大學(xué)考試命題質(zhì)量的質(zhì)性研究[J]. 河西學(xué)院學(xué)報(bào)，2012, 28(1)：114—120.