關(guān)于一道全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題的思考

張立卓

(對(duì)外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院，北京100029)

第五屆(2013年)全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽題：設(shè)Σ是一個(gè)光滑封閉曲面，方向朝外，給定第二型曲面積分

試確定曲面Σ，使積分I的值最小，并求該最小值.

解記Σ圍成的立體為V，由高斯公式，

設(shè)橢球體V0:x2+2y2+3z2≤1，為使I的值最小，需討論V與V0的位置關(guān)系：

(i) 若V在V0外，則在積分域V上，被積函數(shù)f(x,y,z)=3(x2+2y2+3z2-1)≥0.又f(x，y，z)不恒為0，

(ii) 若V=V1+V2，其中V1在V0外，

V2在V0內(nèi)，在積分域V2上，被積函數(shù)f(x,y,z)=3(x2+2y2+3z2-1)≤0.又f(x,y,z)不恒為0，

(iii) 若V在V0內(nèi)，

(iv) 若V=V0，

據(jù)三重積分性質(zhì)，I4≤I3

作變換

積分域V0→V′0:μ2+υ2+ω2≤1，則依三重積分變換法及在球坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算方法[1]，有

下面考慮一般情形.設(shè)Σ是一個(gè)光滑封閉曲面，取外側(cè)，給定第二型曲面積分

其中F(x,y,z),G(x,y,z),H(x,y,z)為3元3次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，依高斯公式，

其中λ1,λ2,λ3為A的3個(gè)特征值.作正交變換

積分域Ω→Ω1.令正交矩陣P=(α1α2α3)，其中α1,α2,α3為P的列向量，則

令β=(bcd)，則

(1)

1.若A可逆，即A的3個(gè)特征值均不為零.不失一般性，設(shè)(1)式可化為

作變換

積分域Ω1→Ω2.

(i) 當(dāng)λ1>0,λ2>0,λ3>0,δ<0時(shí)，I有最小值.

但I(xiàn)沒(méi)有最大值.這是因?yàn)?/p>

(ii) 當(dāng)λ1>0,λ2>0,λ3>0,δ>0時(shí)，I沒(méi)有最大(或最小)值.這是因?yàn)椋?/p>

又令λ=max{λ1,λ2,λ3,δ}，則λ>0，于是

取球體Ω′4:τ2+s2+t2≤ε2，

但I(xiàn)≠0，所以I沒(méi)有最小值.

(iii) 當(dāng)λ1<0,λ2<0,λ3<0,δ>0時(shí)，I有最大值，但I(xiàn)沒(méi)有最小值.

(iv) 當(dāng)λ1<0,λ2<0,λ3<0,δ<0時(shí)，I沒(méi)有最小(或最大)值.證明方法同(ii).

(v) 當(dāng)λ1,λ2,λ3三者異號(hào)時(shí)，I沒(méi)有最大(或最小)值.不妨設(shè)λ1>0,λ2>0,λ3<0，令橢圓柱體Ω6:λ1τ2+λ2s2≤1，t∈[t1,t2]，則

(2)

對(duì)任意給定的正數(shù)M2，在(2)式中，固定t2，令t1充分大，注意λ3<0，則存在t′1，使

所以I沒(méi)有最大值.又固定t1，令t2充分大，則存在t′2，使

所以I沒(méi)有最小值.

2.若A不可逆，即A有零特征值.I沒(méi)有最大(或最小)值.不妨設(shè)λ1>0,λ2>0,λ3=0，不失一般性，設(shè)(1)式可化為

作變換

積分域Ω1→Ω7，則積分

令橢圓柱體Ω8:λ1τ2+λ2s2≤1，t∈[t1,t2]，則

與上述(v)同法可證，I沒(méi)有最大(或最小)值.

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系. 高等數(shù)學(xué)下冊(cè)[M]. 6版. 北京：高等教育出版社，2007:229-232.