勒貝格積分在數(shù)學(xué)分析中的一些應(yīng)用

胡紹宗

(阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,安徽阜陽236041)

我們知道，數(shù)學(xué)分析中有些問題，單從黎曼積分(R積分)理論本身是看不清楚的，很難解決，但若用勒貝格積分(L積分)理論就可比較方便地處理了.

勒貝格(Lebesgue)定理 設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上有界，則f(x)在[a,b]上黎曼可積的充要條件是：f(x)在[a,b]上的不連續(xù)點集為零測度集(或f(x)在[a,b]上幾乎處處連續(xù)).

這個定理是研究函數(shù)黎曼可積(R可積)性的重要工具，但由于數(shù)學(xué)分析中沒有勒貝格測度概念，單用R積分理論很難講清楚，因而必須借助L積分理論去證明它(參見胡紹宗《勒貝格定理有趣證明與函數(shù)黎曼可積性》，阜陽師范學(xué)院學(xué)報(自然版)第17卷第1期，2000).

例1下列各函數(shù)在其定義區(qū)間上是否R可積？若R可積，試求R積分.

(ii) 設(shè)p0為康托(Contor)三分集，在[0，1]上定義函數(shù)

解(i)雖然在[0，1]上|φ(x)|≤1，即φ(x)有界，且φ(x)在x=0處右連續(xù)，但φ(x)在(0,1]上的一切點處都不連續(xù). 而m(0,1]=1，故由勒貝格定理，φ(x)在(0,1]上不是R可積.

設(shè)f(x)在 [a,b]上R可積，則必L可積(勒貝格可積)，且有相同的積分值,

于是

證據(jù)題設(shè)f(x)在 [a,b]上有界，由勒貝格定理，要證f(x)在 [a,b]上R可積，只要再證f(x)在 [a,b]上的不連續(xù)點集為零測度集即可.

例3證明 [a,b]上的R可積函數(shù)所組成的一致收斂序列的極限為[a,b]上的R可積函數(shù).

證設(shè)φn(x)在[a,b]上R可積，且序列{φn(x)}在[a,b]上一致收斂于f(x).現(xiàn)在要證f(x)在[a,b]上R可積.

(i)f(x)在[a,b]上有界.事實上，因φn(x)一致收斂于f(x)，故對?ε>0，特別地，對ε=1，?N，使當(dāng)n≥N時，有|f(x)-φn(x)|<1. 特別地，當(dāng)n=N時，有|f(x)-φN(x)|<1或φN(x)-1

由(i)，(ii)，依勒貝格定理，f(x)在[a,b]上R可積.

證因為fn(x),f(x),F(x)皆在[a,b]上R可積，故皆在[a,b]上L可積，且其積分值相等，即

所以

此定理就是R積分的控制收斂定理，完全用R積分理論去證明，是十分繁瑣的.參見克萊鮑爾著《數(shù)學(xué)分析》(上?？萍汲霭嫔?.

對R積分列求極限的問題，經(jīng)常要求函數(shù)序列一致收斂(當(dāng)然這是充分條件)，極限方可以通過積分號，這從運算的角度看來不僅不方便，限制也過強.若用此定理去處理R積分列的極限問題，將會簡便得多.

顯然{fn(x)},f(x),F(x)皆在[0，1]上連續(xù)，從而皆R可積，由阿爾采拉定理，

(1)

其中C為一個和n無關(guān)的常數(shù).

(2)

α=α·0.

再結(jié)合(1)式，有

綜上可知

(i) {fn(x)},f(x),CF(x)皆在[0,a]上R可積；

(ii) |fn(x)|≤CF(x)；

由阿爾采拉定理

證由數(shù)學(xué)分析中已知

從而

[參 考 文 獻]

[1] 程其襄，張奠宙，魏國強,等.實變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)[M]. 北京：高等教育出版社，1983：69.

[2] 鄭維行，王聲望. 實變函數(shù)與泛函分析概要(第一冊)[M]. 北京：人民教育出版社，1980：111.

[3] 朱育揩，薛峰. 實變函數(shù)入門(高師交流講義)[M]. 1984：155-156.