閉連續(xù)函數(shù)的數(shù)列逆保持性

葛 洵， 葛恒武

(蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇蘇州215006)

在文[1,2,3] 中, 我們有下述熟知的結(jié)論.

命題1設(shè)D?R,f(x) 是D上連續(xù)函數(shù). 如果{xn} 是D中收斂數(shù)列, 則 {f(xn)}是f(D)中收斂數(shù)列.

作為上述命題的進(jìn)一步討論, 一個(gè)有趣的問(wèn)題就是: 命題1是否可逆. 更精確地, 我們有下述問(wèn)題.

問(wèn)題1設(shè)D?R,f(x)是D上的連續(xù)函數(shù), 考慮下述性質(zhì).

A 對(duì)于f(D) 中任一收斂數(shù)列 {yn}, 存在D中收斂數(shù)列{xn}, 使得{f(xn)}={yn}.

B 對(duì)于f(D)中任一收斂數(shù)列{yn}, 存在D中收斂數(shù)列{xn}, 使得{f(xn)} 是{yn}的子數(shù)列.

(i)f(x) 是否具有性質(zhì)A?

(ii) 更弱一些,f(x) 是否具有性質(zhì)B?

下面我們首先給出一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明問(wèn)題1(i), (ii)的回答都是否定的.

例1設(shè)D={0}∪. 定義D上函數(shù)f(x)為

則f(x)是D上的連續(xù)函數(shù), 且性質(zhì)A,B均不成立.

(i) 首先證明f(x)是D上的連續(xù)函數(shù).因?yàn)镈中每一點(diǎn)都是孤立點(diǎn)，而任一函數(shù)在孤立點(diǎn)處總是連續(xù)的, 所以f(x)是D上的連續(xù)函數(shù).

現(xiàn)在我們感興趣于何種連續(xù)映射具有收斂數(shù)列的某種逆保持性. 考慮到"閉"與"收斂"的密切聯(lián)系. 討論閉連續(xù)映射是很自然的. 下述引理是已知的, 見(jiàn)[4, 定理 1.4.13].

引理1設(shè)D?,f(x) 是D上連續(xù)函數(shù), 則f(x) 是閉函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于每一y∈f(D)及任一D中包含f-1(y) 的開(kāi)子集U, 存在f(D) 中包含y的開(kāi)子集V, 使得f-1(V)?U.

下面給出的例子說(shuō)明D對(duì)于閉連續(xù)函數(shù), 性質(zhì)A不成立.

例2設(shè)

定義D上的函數(shù)f(x)為

則f(x)是D上的閉連續(xù)函數(shù), 但不具有問(wèn)題1的性質(zhì)A.

由引理1,f(x)是D上的閉函數(shù).

現(xiàn)在我們給出本文的主要定理.

定理1設(shè)D?.如果f(x)是D上閉連續(xù)函數(shù), 則f(x)具有性質(zhì)B.

證設(shè)f(x)是D上的閉連續(xù)函數(shù), 任給{yn}為f(D)中收斂于y的數(shù)列.

(i) 如果存在無(wú)限個(gè)n∈, 使得yn=y.這樣存在{yn} 的一個(gè)子數(shù)列{ynk},使得任給k∈,ynk=y. 取x∈f-1(y), 對(duì)每一k∈, 令xk=x, 則{xk} 是D中收斂數(shù)列, 且{f(xk)}={ynk} 是{yn} 的子數(shù)列.

(ii) 如果僅存在有限個(gè)n∈, 使得yn=y.不妨設(shè)任給n∈,yn≠y，令F={yn:n∈}, 則F不是f(D)中的閉子集. 因?yàn)閒(x)是閉函數(shù), 所以f-1(F) 不是D中閉子集, 從而存在f-1(F) 在D中的聚點(diǎn)x?f-1(F). 對(duì)每一k∈, 令Fk={yn:n>k}. 下面首先證明, 任給D中包含x的開(kāi)子集U, 有

U∩f-1(Fk)≠?.

令Ek={yn:n≤k}, 則f-1(F)=f-1(Fk)∪f(wàn)-1(Ek). 因?yàn)镋k是f(D)中的有限集, 所以Ek是f(D) 中閉子集. 注意到f(x)是連續(xù)函數(shù), 且對(duì)于連續(xù)函數(shù), 值域中閉子集的逆象是定義域中閉子集, 所以f-1(Ek)是D中閉子集且x?f-1(Ek)?f-1(F). 這樣對(duì)于D中包含x的開(kāi)子集U,U-f-1(Ek) 仍然是D中包含x的開(kāi)子集, 所以U-f-1(Ek)∩f-1(F)≠?.由此得到

U∩f-1(Fk)?U∩(f-1(F)-f-1(Ek))=(U-f-1(Ek))∩f-1(F)≠?.

現(xiàn)在利用歸納法構(gòu)造收斂于x的數(shù)列{xk}. 對(duì)每一k∈, 令則Uk是D中包含x的開(kāi)子集. 因?yàn)閁1∩f-1(F1)≠?, 所以存在n1∈, 使得U1∩f-1(yn1)≠?. 取x1∈U1∩f-1(yn1). 假設(shè)已經(jīng)得到x1,x2,…,xk, 使得對(duì)于每一i=1,2,…,k,xi∈Ui∩f-1(yni), 且n1nk,使得Uk+1∩f-1(Fnk+1)≠?. 取xk+1∈Uk+1∩f-1(Fnk+1). 這樣由歸納法, 得到了一個(gè)數(shù)列{xk}. 顯然對(duì)每一k∈,f(xk)=ynk, 所以{f(xk)}={ynk}是{yn}的子數(shù)列. 此外由于每一xk∈Uk以及由Uk的構(gòu)造, 容易看出數(shù)列{xk}收斂于x.

綜上, 我們證明了f(x) 具有性質(zhì)B.

由定理1的證明可知閉連續(xù)映射具有收斂數(shù)列性質(zhì)B的逆保持性. 然而, 我們不知道何種連續(xù)映射具有收斂數(shù)列性質(zhì)A的逆保持性. 這仍然是一個(gè)值得研究的后續(xù)課題.

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 菲赫金哥爾茨.微積分學(xué)教程第一卷第一分冊(cè)[M].北京: 人民教育出版社,1959.

[2] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))[M].3版.北京: 高等教育出版社, 2001.

[3] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(上冊(cè))[M].6版.北京: 高等教育出版社, 2007.

[4] Engelking R. General topology[M]. Berlin: Heldermann,1989.