由一道中考試題引出的幾個(gè)優(yōu)美性質(zhì)及其應(yīng)用

張樹(shù)芳+張寧

1試題及解答

如圖1，反比例函數(shù)y=kx（x>0）的圖像經(jīng)過(guò)矩形OABC對(duì)角線的交點(diǎn)M，分別與AB、BC交于點(diǎn)D、E，若四邊形ODBE的面積為9，則k的值為（）.

2由試題引出的幾個(gè)優(yōu)美性質(zhì)

性質(zhì)1如圖2，反比例函數(shù)y=kx（x>0）的圖像經(jīng)過(guò)矩形OABC對(duì)角線的交點(diǎn)M，分別與AB、BC交于點(diǎn)D、E，連接OD、OE、DE.則

3應(yīng)用例舉

利用以上性質(zhì)，可簡(jiǎn)解同類中考試題或競(jìng)賽試題.

例1（2013年四川省綿陽(yáng)市）如圖5，已知矩形OABC中，OA=2，AB=4，雙曲線y=kx（k>0）與矩形兩邊AB、BC分別交于E、F.

（1）若E是AB的中點(diǎn)，求F點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若將△BEF沿直線EF對(duì)折，B點(diǎn)落在x軸上的D點(diǎn)，作EG⊥OC，垂足為G，證明△EGD∽△DCF，并求k的值.

圖5解析（1）略.

（2）證明：因?yàn)椤鱀EF是由△BEF沿EF對(duì)折得到的，所以∠EDF=∠EBF=90°.因?yàn)辄c(diǎn)D在直線OC上，所以∠GDE+∠CDF=180°-∠EDF=180°-90°=90°.又因?yàn)椤螱DE+∠GED=90°，所以∠CDF=∠GED.所以△EGD∽△DCF；設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（a，2），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，b）.由性質(zhì)2知，AEAB=CFCB=a4=b2，所以k=2a=4b.所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2b，2）.所以AE=2b，DE=BE=4-2b，CF=b，DF=BF=2-b.所以DC=DF2-CF2=21-b.由△EGD∽△DCF知，DCDF=EGED，所以21-b2-b=24-2b，解得，b=34.所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，34），所以k=4×34=3.

點(diǎn)評(píng)本題主要考查反比例函數(shù)的性質(zhì)、對(duì)稱變換的性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì).作為一道中考試題，學(xué)生解題時(shí)可根據(jù)“點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)”求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后利用反比例函數(shù)的性質(zhì)得出點(diǎn)F的坐標(biāo).對(duì)于問(wèn)題（2），可利用反比例函數(shù)的性質(zhì)得出k=2a=4b，然后借助于相似三角形的性質(zhì)求出a或b的值.從而確定出點(diǎn)E或點(diǎn)F的坐標(biāo)，最后根據(jù)點(diǎn)E或點(diǎn)F的坐標(biāo)確定k的值.這里利用性質(zhì)2和性質(zhì)3來(lái)求解，只想借此說(shuō)明這幾條性質(zhì)有一定的用處，這兩條性質(zhì)雖然不要求學(xué)生能夠理解并運(yùn)用它解決問(wèn)題，但作為一線教師，應(yīng)當(dāng)知道并理解這幾條性質(zhì)的實(shí)質(zhì).

圖6例2（2013年河南省）如圖6，矩形OABC的頂點(diǎn)A，C分別在x軸和y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，3）.雙曲線y=kx（k>0）的圖像經(jīng)過(guò)BC的中點(diǎn)D，且與AB交于點(diǎn)E，連接DE.

（1）求k的值及點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)F是邊上一點(diǎn)，且△FBC∽△DEB，求直線FB的解析式.

解析（1）因?yàn)殡p曲線y=kx（k>0）的圖像經(jīng)過(guò)BC的中點(diǎn)D，由性質(zhì)3知，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn).

因?yàn)辄c(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，3），所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，32）.因?yàn)殡p曲線y=kx（k>0）的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，所以k=2×32=3.

（2）由（1）知，BD=1，BE=32，BC=2.

作者簡(jiǎn)介張樹(shù)芳，女，1986年生，寧夏海原人，中學(xué)二級(jí)教師，主要從事初等數(shù)學(xué)研究，自參加工作以來(lái)一直從事畢業(yè)班數(shù)學(xué)教學(xué)工作，有多名學(xué)生在全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中取得優(yōu)異的成績(jī)。張寧，男，1979年生，寧夏彭陽(yáng)人，中學(xué)一級(jí)教師，主要從事中考數(shù)學(xué)、競(jìng)賽數(shù)學(xué)和幾何不等式研究。endprint

1試題及解答

如圖1，反比例函數(shù)y=kx（x>0）的圖像經(jīng)過(guò)矩形OABC對(duì)角線的交點(diǎn)M，分別與AB、BC交于點(diǎn)D、E，若四邊形ODBE的面積為9，則k的值為（）.

2由試題引出的幾個(gè)優(yōu)美性質(zhì)

性質(zhì)1如圖2，反比例函數(shù)y=kx（x>0）的圖像經(jīng)過(guò)矩形OABC對(duì)角線的交點(diǎn)M，分別與AB、BC交于點(diǎn)D、E，連接OD、OE、DE.則

3應(yīng)用例舉

利用以上性質(zhì)，可簡(jiǎn)解同類中考試題或競(jìng)賽試題.

例1（2013年四川省綿陽(yáng)市）如圖5，已知矩形OABC中，OA=2，AB=4，雙曲線y=kx（k>0）與矩形兩邊AB、BC分別交于E、F.

（1）若E是AB的中點(diǎn)，求F點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若將△BEF沿直線EF對(duì)折，B點(diǎn)落在x軸上的D點(diǎn)，作EG⊥OC，垂足為G，證明△EGD∽△DCF，并求k的值.

圖5解析（1）略.

（2）證明：因?yàn)椤鱀EF是由△BEF沿EF對(duì)折得到的，所以∠EDF=∠EBF=90°.因?yàn)辄c(diǎn)D在直線OC上，所以∠GDE+∠CDF=180°-∠EDF=180°-90°=90°.又因?yàn)椤螱DE+∠GED=90°，所以∠CDF=∠GED.所以△EGD∽△DCF；設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（a，2），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，b）.由性質(zhì)2知，AEAB=CFCB=a4=b2，所以k=2a=4b.所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2b，2）.所以AE=2b，DE=BE=4-2b，CF=b，DF=BF=2-b.所以DC=DF2-CF2=21-b.由△EGD∽△DCF知，DCDF=EGED，所以21-b2-b=24-2b，解得，b=34.所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，34），所以k=4×34=3.

點(diǎn)評(píng)本題主要考查反比例函數(shù)的性質(zhì)、對(duì)稱變換的性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì).作為一道中考試題，學(xué)生解題時(shí)可根據(jù)“點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)”求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后利用反比例函數(shù)的性質(zhì)得出點(diǎn)F的坐標(biāo).對(duì)于問(wèn)題（2），可利用反比例函數(shù)的性質(zhì)得出k=2a=4b，然后借助于相似三角形的性質(zhì)求出a或b的值.從而確定出點(diǎn)E或點(diǎn)F的坐標(biāo)，最后根據(jù)點(diǎn)E或點(diǎn)F的坐標(biāo)確定k的值.這里利用性質(zhì)2和性質(zhì)3來(lái)求解，只想借此說(shuō)明這幾條性質(zhì)有一定的用處，這兩條性質(zhì)雖然不要求學(xué)生能夠理解并運(yùn)用它解決問(wèn)題，但作為一線教師，應(yīng)當(dāng)知道并理解這幾條性質(zhì)的實(shí)質(zhì).

圖6例2（2013年河南?。┤鐖D6，矩形OABC的頂點(diǎn)A，C分別在x軸和y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，3）.雙曲線y=kx（k>0）的圖像經(jīng)過(guò)BC的中點(diǎn)D，且與AB交于點(diǎn)E，連接DE.

（1）求k的值及點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)F是邊上一點(diǎn)，且△FBC∽△DEB，求直線FB的解析式.

解析（1）因?yàn)殡p曲線y=kx（k>0）的圖像經(jīng)過(guò)BC的中點(diǎn)D，由性質(zhì)3知，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn).

因?yàn)辄c(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，3），所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，32）.因?yàn)殡p曲線y=kx（k>0）的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，所以k=2×32=3.

（2）由（1）知，BD=1，BE=32，BC=2.

作者簡(jiǎn)介張樹(shù)芳，女，1986年生，寧夏海原人，中學(xué)二級(jí)教師，主要從事初等數(shù)學(xué)研究，自參加工作以來(lái)一直從事畢業(yè)班數(shù)學(xué)教學(xué)工作，有多名學(xué)生在全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中取得優(yōu)異的成績(jī)。張寧，男，1979年生，寧夏彭陽(yáng)人，中學(xué)一級(jí)教師，主要從事中考數(shù)學(xué)、競(jìng)賽數(shù)學(xué)和幾何不等式研究。endprint

1試題及解答

如圖1，反比例函數(shù)y=kx（x>0）的圖像經(jīng)過(guò)矩形OABC對(duì)角線的交點(diǎn)M，分別與AB、BC交于點(diǎn)D、E，若四邊形ODBE的面積為9，則k的值為（）.

2由試題引出的幾個(gè)優(yōu)美性質(zhì)

性質(zhì)1如圖2，反比例函數(shù)y=kx（x>0）的圖像經(jīng)過(guò)矩形OABC對(duì)角線的交點(diǎn)M，分別與AB、BC交于點(diǎn)D、E，連接OD、OE、DE.則

3應(yīng)用例舉

利用以上性質(zhì)，可簡(jiǎn)解同類中考試題或競(jìng)賽試題.

例1（2013年四川省綿陽(yáng)市）如圖5，已知矩形OABC中，OA=2，AB=4，雙曲線y=kx（k>0）與矩形兩邊AB、BC分別交于E、F.

（1）若E是AB的中點(diǎn)，求F點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若將△BEF沿直線EF對(duì)折，B點(diǎn)落在x軸上的D點(diǎn)，作EG⊥OC，垂足為G，證明△EGD∽△DCF，并求k的值.

圖5解析（1）略.

（2）證明：因?yàn)椤鱀EF是由△BEF沿EF對(duì)折得到的，所以∠EDF=∠EBF=90°.因?yàn)辄c(diǎn)D在直線OC上，所以∠GDE+∠CDF=180°-∠EDF=180°-90°=90°.又因?yàn)椤螱DE+∠GED=90°，所以∠CDF=∠GED.所以△EGD∽△DCF；設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（a，2），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，b）.由性質(zhì)2知，AEAB=CFCB=a4=b2，所以k=2a=4b.所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2b，2）.所以AE=2b，DE=BE=4-2b，CF=b，DF=BF=2-b.所以DC=DF2-CF2=21-b.由△EGD∽△DCF知，DCDF=EGED，所以21-b2-b=24-2b，解得，b=34.所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，34），所以k=4×34=3.

點(diǎn)評(píng)本題主要考查反比例函數(shù)的性質(zhì)、對(duì)稱變換的性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì).作為一道中考試題，學(xué)生解題時(shí)可根據(jù)“點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)”求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后利用反比例函數(shù)的性質(zhì)得出點(diǎn)F的坐標(biāo).對(duì)于問(wèn)題（2），可利用反比例函數(shù)的性質(zhì)得出k=2a=4b，然后借助于相似三角形的性質(zhì)求出a或b的值.從而確定出點(diǎn)E或點(diǎn)F的坐標(biāo)，最后根據(jù)點(diǎn)E或點(diǎn)F的坐標(biāo)確定k的值.這里利用性質(zhì)2和性質(zhì)3來(lái)求解，只想借此說(shuō)明這幾條性質(zhì)有一定的用處，這兩條性質(zhì)雖然不要求學(xué)生能夠理解并運(yùn)用它解決問(wèn)題，但作為一線教師，應(yīng)當(dāng)知道并理解這幾條性質(zhì)的實(shí)質(zhì).

圖6例2（2013年河南?。┤鐖D6，矩形OABC的頂點(diǎn)A，C分別在x軸和y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，3）.雙曲線y=kx（k>0）的圖像經(jīng)過(guò)BC的中點(diǎn)D，且與AB交于點(diǎn)E，連接DE.

（1）求k的值及點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)F是邊上一點(diǎn)，且△FBC∽△DEB，求直線FB的解析式.

解析（1）因?yàn)殡p曲線y=kx（k>0）的圖像經(jīng)過(guò)BC的中點(diǎn)D，由性質(zhì)3知，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn).

因?yàn)辄c(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，3），所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，32）.因?yàn)殡p曲線y=kx（k>0）的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，所以k=2×32=3.

（2）由（1）知，BD=1，BE=32，BC=2.

作者簡(jiǎn)介張樹(shù)芳，女，1986年生，寧夏海原人，中學(xué)二級(jí)教師，主要從事初等數(shù)學(xué)研究，自參加工作以來(lái)一直從事畢業(yè)班數(shù)學(xué)教學(xué)工作，有多名學(xué)生在全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中取得優(yōu)異的成績(jī)。張寧，男，1979年生，寧夏彭陽(yáng)人，中學(xué)一級(jí)教師，主要從事中考數(shù)學(xué)、競(jìng)賽數(shù)學(xué)和幾何不等式研究。endprint