遲滯非線性系統(tǒng)辨識(shí)與補(bǔ)償控制研究*

陽 丹，王湘江

(南華大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，湖南衡陽421001)

0 引 言

磁致伸縮材料、壓電陶瓷等智能材料均存在遲滯非線性現(xiàn)象。非線性特性的存在使智能材料重復(fù)性降低，瞬態(tài)位置響應(yīng)速度變慢，可控性變差。為減小這種非線性特性所造成的不良影響，更好地發(fā)揮智能材料的性能，很多科研機(jī)構(gòu)和研究人員正在從事遲滯非線性系統(tǒng)建模及控制方法等方面的相關(guān)研究，因此，許多遲滯建模方法和控制技術(shù)應(yīng)運(yùn)而生，并日趨成熟、完善［1］。在遲滯建模方面，Preisach模型是應(yīng)用最廣的一類遲滯模型［2-4］，1935年 Preisach等人建立了比較完善的遲滯模型—Preisach模型。1997年P(guān)ingGe為了適應(yīng)遲滯補(bǔ)償?shù)男枰?，建立了改進(jìn)的Preisach模型。并用該模型大幅提高了遲滯系統(tǒng)的跟蹤精度。壓電陶瓷等智能材料的遲滯系統(tǒng)可以通過串聯(lián)Preisach模型和系統(tǒng)傳遞函數(shù)準(zhǔn)確反映其遲滯特性。在非線性遲滯模型辨識(shí)方面［5］，可以通過最小二乘法進(jìn)行離線辨識(shí)，最小二乘思想最早于1975年由高斯(K.F.Gauss)提出來，被廣泛應(yīng)用于系統(tǒng)辨識(shí)和參數(shù)估計(jì)，甚至在許多辨識(shí)方法失效的情況下，最小二乘法卻可以提供對(duì)問題的有效解決辦法［6］。也可以依據(jù)對(duì)象的輸入/輸出數(shù)據(jù)，不斷地辨識(shí)模型參數(shù)以進(jìn)行在線辨識(shí)，隨著科學(xué)研究的不斷進(jìn)行，通過在線辯識(shí)，模型會(huì)變得越來越準(zhǔn)確，越來越接近于實(shí)際，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［7-8］是20世紀(jì)末迅速發(fā)展起來的一門高等技術(shù)。已經(jīng)在各個(gè)領(lǐng)域得到了廣泛地應(yīng)用，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識(shí)為解決未知不確定非線性系統(tǒng)的辨識(shí)問題提供了一條新的思路。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識(shí)方法可以精確地模擬出遲滯系統(tǒng)。在辨識(shí)模型不斷的改進(jìn)下，基于辨識(shí)模型綜合出來的控制方法也將隨之不斷的改進(jìn)。

本研究通過辨識(shí)的傳遞函數(shù)建立其逆模型控制系統(tǒng)，根據(jù)對(duì)遲滯逆模型是否進(jìn)行在線調(diào)整，可將控制方案分為動(dòng)態(tài)控制和靜態(tài)控制方案。本研究屬于靜態(tài)控制。靜態(tài)補(bǔ)償方案以 Ping Ge，Samir Mittal，Sumiko Majima等為代表［9］。筆者在逆模型控制過程中加入PID控制器［10］，通過調(diào)節(jié)PID參數(shù)，使控制系統(tǒng)逐漸適應(yīng)誤差變化，最終將遲滯系統(tǒng)調(diào)整到一個(gè)滿意的工作狀態(tài)。本研究針對(duì)智能材料遲滯非線性現(xiàn)象，進(jìn)行遲滯系統(tǒng)建模;然后，對(duì)遲滯系統(tǒng)進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí);最后，對(duì)辨識(shí)系統(tǒng)進(jìn)行控制研究。

1 遲滯系統(tǒng)的建立

通過研究得出將Preisach模型和系統(tǒng)傳遞函數(shù)串聯(lián)得到的遲滯系統(tǒng)能夠達(dá)到比較理想的遲滯效果，遲滯系統(tǒng)能夠準(zhǔn)確地反應(yīng)壓電陶瓷等智能材料的遲滯特性。在相關(guān)的研究中已經(jīng)得到論證［11］。遲滯系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 遲滯系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

本研究采用Preisach模型做為純遲滯模型，具有普遍意義。Preisach模型由最簡(jiǎn)單的滯回發(fā)生器γαβ疊加構(gòu)造而成。盡管每個(gè)發(fā)生器僅能表現(xiàn)出一個(gè)局部記憶滯回，但疊加在一起就表現(xiàn)為全局記憶性。給定這一族發(fā)生器任意的權(quán)重函數(shù)μ(α，β)(該函數(shù)具體數(shù)值的選用取決于Preisach函數(shù)的構(gòu)造)。其函數(shù)式為:

式中:x(t)—驅(qū)動(dòng)器的輸出，u(t)—輸入。

由式(1)可知，Preisach模型函數(shù)為連續(xù)的雙重積分函數(shù)，所以不便于模擬仿真，于是把積分模型離散處理，將Preisach模型采用 Matlab/Simulink中的43個(gè)backlash算子疊加形成。通過設(shè)置backlash中deadband width參數(shù)達(dá)到疊加效果。每個(gè)算子的deadband width為1/7，這樣得到的Preisach模型遲滯特性能夠滿足研究需求。輸入信號(hào)通過多個(gè)遲滯算子疊加在一起得到遲滯輸出信號(hào)。本研究采用u(t)=sin(πt)作為輸入信號(hào)，得到的遲滯模型如圖2所示。

圖2 控制信號(hào)的遲滯模型

然后本研究將得到的Preisach模型和系統(tǒng)傳遞函數(shù)串聯(lián)起來，二階傳遞函數(shù)作為系統(tǒng)傳遞函數(shù)在壓電陶瓷等智能材料具有一般代表性，如超磁致伸縮微位移驅(qū)動(dòng)器(GMA)中，根據(jù)GMA機(jī)電系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型和牛頓第二定律可知GMA系統(tǒng)傳遞函數(shù)為二階傳遞函數(shù)［12］，在Matlab中通過模型轉(zhuǎn)化命令可以實(shí)現(xiàn)離散傳遞函數(shù)和連續(xù)傳遞函數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)換［13］。所以本研究采用離散二階傳遞函數(shù)作為系統(tǒng)傳遞函數(shù)具有一般代表性，選用傳遞函數(shù)為G(z)=(-0.2z+0.2)/(z2-1.1z+0.1)，輸入信號(hào)通過遲滯系統(tǒng)得到輸出y(t)如圖3所示。

2 遲滯模型的系統(tǒng)辨識(shí)

圖3 通過遲滯模型的輸出信號(hào)

通過輸入信號(hào)u(t)和遲滯系統(tǒng)得到輸出數(shù)據(jù)y(t)進(jìn)行模型的參數(shù)辨識(shí)。根據(jù)辨識(shí)方法和精度不一樣，系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)可以分為離線辨識(shí)和在線辨識(shí)。離線辨識(shí)常用的辨識(shí)方法為最小二乘法。在線辨識(shí)方法比較廣泛，本研究主要采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識(shí)方法。

本研究通過分析最小二乘法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識(shí)原理，然后對(duì)遲滯系統(tǒng)進(jìn)行辨識(shí)，再比較離線辨識(shí)和在線辨識(shí)的辨識(shí)結(jié)果。

2.1 最小二乘法辨識(shí)

離散系統(tǒng)函數(shù)表達(dá)式為:

本研究采用最小二乘法來確定模型參數(shù)，待估參數(shù)向量θ為:

式中:φ—數(shù)據(jù)向量。

對(duì)象式(2)可以寫成如下最小二乘形式:

利用最小二乘法得到系統(tǒng)辨識(shí)參數(shù)θ為:

通過遲滯系統(tǒng)輸入信號(hào)u(t)和輸出數(shù)據(jù)y(t)得到最小二乘法辨識(shí)參數(shù)為:

式(2)在零初始條件下，取Z變換:

得到的辨識(shí)傳遞函數(shù)為:

辨識(shí)原理圖如圖4所示。實(shí)際輸出和最小二乘法辨識(shí)輸出以及比較誤差如圖5所示，輸入信號(hào)y(t)和辨識(shí)系統(tǒng)輸出信號(hào)yG(t)之間誤差e(t)是比較小的，從而確認(rèn)式(7)二階模型的有效性。

圖4 辨識(shí)原理示意圖

圖5 實(shí)際輸出和最小二乘法辨識(shí)輸出以及比較誤差

2.2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識(shí)

由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)越的自調(diào)整和自適應(yīng)性，本研究采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識(shí)方法進(jìn)行遲滯模型參數(shù)辨識(shí)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的辨識(shí)方法如圖6所示。

圖6 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識(shí)方法示意圖

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識(shí)原理為:

令θ為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值w:

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練規(guī)則為:

其中:

式中:ci—加權(quán)因子，0 ＜ci＜1，ci=μi，0 ＜ μ ＜1。

圖7 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識(shí)模型參數(shù)

本研究使用離線辨識(shí)二階模型估計(jì)參數(shù)作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線辨識(shí)加權(quán)系數(shù)的初始值。這將減少在線辨識(shí)的計(jì)算時(shí)間。根據(jù)式(11)和式(12)，得到遲滯系統(tǒng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識(shí)模型。二階模型辨識(shí)參數(shù)結(jié)果如圖7所示。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識(shí)模型輸出和遲滯模型實(shí)際輸出以及相關(guān)的誤差如圖8所示。因?yàn)檎`差很小，辨識(shí)輸出和實(shí)際輸出幾乎重疊。

圖8 實(shí)際輸出和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出以及比較誤差

根據(jù)圖8得到遲滯系統(tǒng)輸出和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識(shí)輸出誤差已經(jīng)非常小，可以得出Matlab/Simulink搭建的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識(shí)模型能夠準(zhǔn)確地辨識(shí)出遲滯系統(tǒng)的模型參數(shù)，從而說明神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識(shí)方法的有效性。

通過觀察比較離線和在線辨識(shí)，離線最小二乘法每次的辨識(shí)結(jié)果只能得到一組參數(shù)，這樣的辨識(shí)程序運(yùn)行速度快，但是得到的參數(shù)誤差相對(duì)比較大。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識(shí)采用在線辨識(shí)，對(duì)參數(shù)進(jìn)行實(shí)時(shí)調(diào)整，程序運(yùn)行速度比離散有所減慢，但使得辨識(shí)參數(shù)和傳遞函數(shù)系數(shù)之間誤差最小化，能找到最優(yōu)辨識(shí)參數(shù)。

3 控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和執(zhí)行

通過系統(tǒng)辨識(shí)得到辨識(shí)傳遞函數(shù)模型，本研究針對(duì)辨識(shí)傳遞函數(shù)模型提供了兩種控制方法:一種是逆模型控制系統(tǒng)，這是一種完全的開環(huán)控制系統(tǒng)，不需要任何反饋數(shù)據(jù)的控制器;另一種是前饋逆模型PID控制系統(tǒng)，這是一種閉環(huán)反饋系統(tǒng)，能夠?qū)崟r(shí)調(diào)整參數(shù)達(dá)到最佳控制效果。

3.1 建立逆模型控制系統(tǒng)

逆模型控制系統(tǒng)原理如圖9所示。

圖9 逆模型控制器示意圖

如果傳遞函數(shù)不穩(wěn)定，那么式(7)不能直接用作建立逆模型控制系統(tǒng)，需要構(gòu)建逆模型G-1(z)，逆模型有點(diǎn)滯后于遲滯系統(tǒng)，通過之前設(shè)計(jì)好的函數(shù)模型G1(z)和最優(yōu)函數(shù)模型G2(z)來設(shè)計(jì)逆模型。即:

其中，之前設(shè)計(jì)好的函數(shù)模型為:

最后，得到輸出y(k)為:

逆模型穩(wěn)定的前提是辨識(shí)得到傳遞函數(shù)必須穩(wěn)定，根據(jù)離散傳遞函數(shù)穩(wěn)定條件，傳遞函數(shù)必須是最小相位系統(tǒng)，其零點(diǎn)必須在z平面的單位圓里。如果傳遞函數(shù)是穩(wěn)定的，那么直接用傳遞函數(shù)倒數(shù)可以得到系統(tǒng)的逆模型。即:

最優(yōu)函數(shù)模型為:

其中:Δ≥1。

最優(yōu)函數(shù)模型是不穩(wěn)定的，因?yàn)樗臉O點(diǎn)不在z平面單位圓里面，所以G2(z)可以擴(kuò)展為:

由于辨識(shí)傳遞函數(shù)是穩(wěn)定的，直接通過式(17)可以得到逆模型。通過逆模型控制得到補(bǔ)償效果如圖10所示。

圖10 輸入信號(hào)和逆模型控制輸出以及比較誤差

3.2 建立前饋逆模型PID控制

為了提高系統(tǒng)的魯棒性，更好操作參數(shù)變化。本研究設(shè)計(jì)一種前饋逆模型PID控制方法。其原理如圖11所示。

圖11 前饋逆模型PID控制器示意圖

前饋逆模型PID控制數(shù)學(xué)模型為:

其中:

前饋逆模型PID控制器的控制結(jié)果如圖12所示，通過圖12得出:輸入信號(hào)與前饋逆模型PID控制的輸出信號(hào)已經(jīng)很接近，兩者之間誤差已經(jīng)很小。為了更好說明前饋逆模型PID控制器的有效性，測(cè)試前饋PID控制器的控制能力，可以在不同頻率下進(jìn)行控制。本研究還采用u(t)=2sin(2πt)+10sin(0.5πt)作為輸入信號(hào)，得到控制結(jié)果如圖13所示。圖12、圖13結(jié)果說明控制器可以有效跟蹤動(dòng)態(tài)輸入信號(hào)，實(shí)現(xiàn)對(duì)遲滯系統(tǒng)有效補(bǔ)償控制。

圖12 輸入信號(hào)為u(t)=sin(πt)控制結(jié)果

圖13 輸入信號(hào)為u(t)=2sin(2πt)+10sin(0.5πt)控制結(jié)果

通過相同輸入信號(hào)u(t)=sin(πt)作用，逆模型控制方法和前饋逆模型PID控制方法的補(bǔ)償結(jié)果如圖10、圖12所示。為了更直觀地比較兩種控制方法的控制效果，本研究采用均方根誤差來比較。其計(jì)算公式為:

得到的比較結(jié)果如表1所示。最后可以得到前饋逆模型PID控制方法能更有效進(jìn)行遲滯補(bǔ)償。

表1 兩種控制方法的RMS誤差

4 結(jié)束語

本研究運(yùn)用Preisach模型和系統(tǒng)傳遞函數(shù)建立了遲滯系統(tǒng)，通過辨識(shí)結(jié)果說明離線和在線辨識(shí)方法都能有效辨識(shí)遲滯系統(tǒng)，從辨識(shí)誤差分析結(jié)果可以看出，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線辨識(shí)方法能非常精確地辨識(shí)遲滯系統(tǒng)。由遲滯系統(tǒng)補(bǔ)償結(jié)果來看，遲滯非線性已基本得到消除。該結(jié)果說明所提出的前饋逆模型PID控制是可行的，但此時(shí)要注意PID參數(shù)的選取，避免出現(xiàn)飽和、振蕩等情況的發(fā)生。

本研究采用的辨識(shí)方法和控制技術(shù)能夠有效地降低智能材料中遲滯現(xiàn)象的影響。其辨識(shí)和控制方法具有普遍意義，可以推廣到其他系統(tǒng)中的遲滯非線性補(bǔ)償控制中。

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