淺析古諾雙寡頭模型的實際應用

陳迪輝 唐 杰 李博超

（河海大學，江蘇 南京210000）

納什均衡是一種策略組合，使得每個參與人的策略是對其他參與人策略的最優(yōu)反應。 假設有n 個局中人參與博弈，給定其他人策略的條件下，每個局中人選擇自己的最優(yōu)策略（個人最優(yōu)策略可能依賴于也可能不依賴于他人的戰(zhàn)略），從而使自己利益最大化。所有局中人策略構成一個策略組合。 如果在一個策略組合上，當所有其他人都不改變策略時，沒有人會改變自己的策略，則該策略組合就是一個納什均衡。

古諾模型是一個簡單模型， 假定一種產品僅由兩家公司生產，且產品相同。 兩家企業(yè)相互間沒有任何勾結行為，但相互間都知道對方將怎樣行動，從而各自確定最優(yōu)的產量來實現(xiàn)利潤最大化。

在古諾模型的基本假定：兩家企業(yè)各自生產商品產量為q1和q2，商品的價格相同且不變，表示為p=a-b*(q1+q2)，其中a，b 為常數(shù)。 商品的生產成本為邊際成本，每生產1 個單位的商品成本為c。

基于上述假定， 企業(yè)1 的利潤u1=（p-c）*q1=a*q1-b*-b*q*1q2-c*q1，企業(yè)2 的利潤u2=（p-c）*q2=a*q2-b*q1*q2-b*q22-c*q2。

對企業(yè)1 的利潤u1進行分析。由于要求q1產量下的最大利潤，對q1求導，可得極值點為q1=（a-c）/2b-q2/2。 再次求導，可知該點為極大值點，故在q2下企業(yè)1 的最佳策略q1=（a-c）/2b-q2/2。 同理，在q1下企業(yè)2 的最佳策略q2=（a-c）/2b-q1/2。

對于q1有，q2=（a-c）/b 時， 可理解為市場已飽和，q1=0， 即公司1的最佳對策為停止生產，若繼續(xù)生產，會導致產品價格低于成本價導致虧本。 當q2=0，即企業(yè)1 壟斷該產品時，q1=（a-c）/2b，此時企業(yè)1 利潤最大，稱此時的q1為壟斷產出。

考慮到兩家企業(yè)相互間知道對方將怎樣行動，企業(yè)2 的商品產量為q2，由于q1=（a-c）/2b-q2/2，可知企業(yè)1 應生產q1，企業(yè)2 知道在自己生產q2的條件下，企業(yè)1 會生產的商品產量為q1，則為了利潤最大化，企業(yè)2 應生產=（a-c）/2b-q1/2，同理，企業(yè)1 知道企業(yè)2 的想法，知道企業(yè)2 的產量為q2’，則企業(yè)1 會生產商品=（a-c）/2b-q2’/2，如此循環(huán)，可以證明，直線q1=（a-c）/2b-q2/2 與q2=（a-c）/2b-q1/2 的交點對應的商品產量即為納什均衡。 對于有，q2=（a-c）/2b-即為最佳對策，對于有，q1=（a-c）/2b-。故交點為納什均衡點。

事實上， 寡頭壟斷廠商經常發(fā)現(xiàn)它們自己處于一種囚徒的困境。當寡頭廠商選擇產量時，選擇壟斷利潤最大化產量，如果寡頭廠商們聯(lián)合起來形成卡特爾?？ㄌ貭柺侵笍S商之間為了合謀而簽訂公開和正式協(xié)議這樣一種市場結構形態(tài)。也可以說卡特爾是一種正式的串謀行為，它能使一個競爭性市場變成一個壟斷市場，每個廠商都可以得到更多的利潤。 卡特爾以擴大整體利益作為它的主要目標，為了達到這一目的，在卡特爾內部將訂立一系列的協(xié)議，來確定整個卡特爾的產量、產品價格，指定各企業(yè)的銷售額及銷售區(qū)域等。但卡特爾協(xié)定不是一個納什均衡，因為給定雙方遵守協(xié)議的情況下，每個廠商都想增加生產，以期增加自己的利潤，最后導致市場總產量增加，處于納什均衡。 結果是每個廠商都只得到納什均衡產量的利潤，而這遠小于卡特爾產量下的利潤。

上面的這個過程，與囚徒困境十分相似。 囚徒困境是兩個被捕的囚徒甲和乙之間的一種特殊博弈， 說明為什么在合作對雙方都有利時，保持合作也是困難的。 如果兩人都抵賴，各判刑一年；如果兩人都坦白，各判八年；如果兩人中一個坦白而另一個抵賴，坦白的放出去，抵賴的判十年。在這個博弈中，雙方都坦白不僅是納什均衡，而且是一個嚴格優(yōu)勢對策，即不論對方如何選擇，個人的最優(yōu)選擇是坦白。因為如果乙不坦白，甲坦白的話就釋放，不坦白的話就判一年，坦白比不坦白要好；如果乙坦白，甲坦白的話判八年，不坦白的話判十年，坦白仍然比不坦白要好。 這樣，坦白就是甲的上策，當然也是乙的上策。 其結果是雙方都坦白。

其實，如果甲乙都不坦白，比他們都坦白要好，誠如上面的例子，企業(yè)1 和企業(yè)2 采用卡特爾的產量比采用納什均衡點的產量總利潤要高，但這不符合個人理性，對自己不利，或者改變策略能夠獲得更大的好處，即使甲與乙、企業(yè)1 和企業(yè)2 互相協(xié)議，考慮各自的利益，也不會遵守協(xié)議。

綜上，本文以市場生產為例介紹分析了古諾雙寡頭模型，并求出了在古諾模型下的納什均衡點及最佳對策，為市場商品生產提供了依據(jù)。最后，將古諾雙寡頭模型與囚徒困境相比較，得出了古諾模型在實際生活中具有的指導意義。

［1］阿維納什·K·迪克西特,巴里·J·奈爾伯夫.策略思維[M].中國人民大學出版社,2013.

［2］阿維納什·K·迪克西特,蘇珊·斯克絲.策略博弈[M].中國人民大學出版社,2009.

［3］阿維納什·K·迪克西特.妙趣橫生博弈論[M].機械工業(yè)出版社,2009.