原型啟發(fā)——對2011年江蘇高考物理第9題的分析

平功遠

(深圳市光明新區(qū)高級中學,廣東深圳 518106)

2011年江蘇高考物理第9題,是一道選擇題,物理情景新穎,覺得很陌生,又似曾相識,分析時有一定難度,很容易得到錯誤的答案.如果能巧妙地借鑒熟悉的物理情景,化陌生為熟悉,就能使人有柳暗花明又一村的感覺.

圖1

題目.如圖1所示,傾角為α的等腰三角形斜面固定在水平面上,一足夠長的輕質綢帶跨過斜面的頂端鋪放在斜面的兩側,綢帶與斜面間無摩擦.現(xiàn)將質量分別為M、m(M＞m)的小物塊同時輕放在斜面兩側的綢帶上.兩物塊與綢帶間的動摩擦因數(shù)相等,且最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小相等.在α角取不同值的情況下,下列說法正確的有

(A)兩物塊所受摩擦力的大小總是相等.

(B)兩物塊不可能同時相對綢帶靜止.

(C)M不可能相對綢帶發(fā)生滑動.

(D)m不可能相對斜面向上滑動.

1 初解遇阻

設兩物塊與綢帶間的動摩擦因數(shù)為 μ,假想先將綢帶按住,在 mgsinα＜μ mgcosα,即 α＜tan-1μ的條件下,有 M與綢帶間的靜摩擦力為 f1=Mgsinα,m與綢帶間的靜摩擦力為f2=mgsinα.

將綢帶放開后,因為靜摩擦力與重力沿斜面的分力平衡,M、m都將處于平衡狀態(tài),又 f1、f2都小于各自的最大靜摩擦力,所以 M、m都將與綢帶保持相對靜止.

對綢帶,由于 f1＞f2,放手后,綢帶將沿斜面向左側加速滑動.

上面的分析得到了3個結論:(1)M、m都將處于平衡狀態(tài);(2)M、m都將與綢帶保持相對靜止;(3)綢帶將沿斜面向左側加速滑動.但這幾個結論是矛盾的,顯然上面的分析存在問題.這種分析錯在哪里,應該怎樣分析呢?

2 原型啟發(fā)

圖2

M、m與綢帶間的摩擦力大小是否相等?M、m與綢帶間的相對運動是怎樣的?M、m相對斜面的運動又是怎樣的?下面,我們來看一個熟悉的物理情景.

如圖2所示,輕繩跨過定滑輪兩端,質量分別為 M、m(M＞m)的甲、乙兩人用力握住繩,他們與繩間的最大靜摩擦力與他們的重力成正比,且最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小相等.滑輪質量、滑輪與繩之間的摩擦忽略不計.

由于是輕繩,繩中張力處處相等,繩兩端受到的力總是大小相等,即兩人與繩子之間的摩擦力總是大小相等.

甲與繩間的最大靜摩擦力為 fm甲=kMg,乙與繩間的最大靜摩擦力為 fm乙=kmg.

(1)假設 k＜1,則乙與繩間的摩擦力 f＜mg.

此時,繩中的張力 F=f＜mg,乙將加速下降,甲與繩一起加速下降,因此,乙相對于繩加速下滑.

(2)假設 k=1,則乙與繩間的摩擦力 f=mg.

此時,繩中的張力 F=f=mg,乙將靜止在空中,甲與繩一起加速下降,因此,乙相對于繩加速下滑.

(3)假設k＞1,設乙與繩間的摩擦力為 f,則繩中的張力F=f.

對乙:由牛頓第二定律有kmg-mg=ma1.

對甲:由牛頓第二定律有Mg-kmg=Ma2.

從上面的分析,可以得到以下幾個結論:

(1)兩人與繩之間的摩擦力總是大小相等,且等于乙與繩之間的摩擦力;

(2)甲與繩一定保持相對靜止,且一定是加速下降;

(3)乙可能與繩保持相對靜止,此時乙加速上升;也可能相對繩加速下滑,此時乙可能靜止、可能加速上升、也可能加速下降.

3 原型過渡

受到上面原型的啟發(fā),可以將原型進一步轉化,接近原題的模型.

如圖3所示,傾角為α的等腰三角形光滑斜面固定在水平面上,斜面頂端有一個定滑輪,一根足夠長的輕繩跨過定滑輪,質量分別為 M、m(M＞m)的甲、乙兩人站在斜面兩側,都緊握著繩,甲與繩間的最大靜摩擦力 fm1=μ Mgcosα,乙與繩間的最大靜摩擦力 fm2=μ mgcosα,且最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小相等.

圖3

這里,人與繩之間的摩擦力相當于原題中物體與綢帶間的摩擦力,人與繩之間的相對運動相當于物體與綢帶間的相對運動.

從上面的分析知道,兩人與繩之間的摩擦力總是大小相等,且等于乙與繩之間的摩擦力.由此得到結論,M、m與綢帶間的摩擦力大小總是相等,且等于 m與綢帶間的摩擦力.故原題選項(A)正確.

4 問題解決

通過上面的原型啟發(fā)和原型過渡,下面來分析原題的情景.

設兩物塊與綢帶間的摩擦力大小為 f,下面分3種情況來討論.

(1)mgsinα=μ mgcosα,即 α=tan-1μ.

m將靜止在右側斜面上,物塊與綢帶間的摩擦力大小為 f=mgsinα.

對 M,由牛頓第二定律有 Mgsinα-f=Ma,得到

此時,M將與綢帶保持相對靜止,一起沿左側斜面加速下滑,m將靜止在右側斜面上,相對綢帶加速下滑.

(2)mgsinα＜μ mgcosα,即 α＜tan-1μ

假設m沿右側斜面以加速度a上滑,M沿左側斜面以加速度a下滑,設物塊與綢帶間的摩擦力大小為 f.

對 m,由牛頓第二定律有 f-mgsinα=ma.

(3)mgsinα＞μ mgcosα,即 α＞tan-1μ

物塊與綢帶間的摩擦力大小為 f=μ mgcosα,m將沿右側斜面以加速度a1下滑,M沿左側斜面以加速度a2下滑.

對 m,由牛頓第二定律有 mgsinα-f=ma1,解得 a1=g(sinα-μ cosα).

此時,M與綢帶保持相對靜止,沿左側斜面加速下滑;m沿右側斜面加速下滑,相對綢帶加速下滑.

從以上分析可知,M總是與綢帶保持相對靜止,故選項(C)正確.

綜上所述,本題答案是(A)、(C).

本題給我們的啟示是,在碰到陌生的物理情景時,可以根據(jù)頭腦中熟悉的物理模型,通過類比和適當?shù)哪Ｐ娃D換,建立類似的物理情景,從而取得突破,達到求解的目的.