加權(quán)Markov鏈權(quán)重計算及其應(yīng)用

周慶欣，吳玉東，范紅霞，王 旭，孫李紅，王樹忠

(哈爾濱商業(yè)大學(xué) 基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院， 哈爾濱 150028)

股票市場是一個國家的晴雨表，它充分反映著一個國家的經(jīng)濟運行狀況.股票價格的聯(lián)動效益在世界各市場中日益表現(xiàn)出來，也反映出了市場的資本價格.股票價格隨時間的變化一直對預(yù)測者有巨大的吸引力，也是各種預(yù)測方法應(yīng)用的熱門領(lǐng)域.

Markov是享譽世界的著名數(shù)學(xué)家，在1906～1912年期間，他提出并研究了一種能用數(shù)學(xué)分析方法研究自然過程的一般圖式，后人把這種圖式以他的姓氏命名為Markov鏈.Markov鏈?zhǔn)且环N特殊的隨機過程，它具有Markov性，即未來狀態(tài)不受過去狀態(tài)影響.Markov性所表達的是在已知“現(xiàn)在”的條件下，“將來”與“過去”是獨立的，這種性質(zhì)也稱“無后效性”[1].

加權(quán)Markov鏈在Markov鏈基礎(chǔ)上在權(quán)重方面進行了改進.國內(nèi)各行業(yè)的科技工作者都在運用加權(quán)馬氏鏈理論結(jié)合實際情況進行預(yù)測.從預(yù)測的方法上來看，有直接用加權(quán)Markov鏈轉(zhuǎn)移概率來做預(yù)測的；有結(jié)合模糊數(shù)學(xué)利用Markov鏈來預(yù)測的；有結(jié)合時間序列線性模型利用Markov鏈來預(yù)測的；還有各種利用加權(quán)Markov鏈來預(yù)測的[2-4].從預(yù)測的結(jié)果看，加權(quán)Markov鏈的實用性和準(zhǔn)確性較高，思路清晰.客觀易懂、計算簡便、準(zhǔn)確可靠值得我們進行研究和推廣.

1 加權(quán)Markov鏈基本理論

1.1 隨機過程的“馬氏性”檢驗

檢驗隨機變量序列是否具有“馬氏性”，是應(yīng)用加權(quán)Markov鏈模型分析和解決實際問題的必要前提.對于離散序列的加權(quán)Markov鏈，一般用χ2統(tǒng)計量來檢驗.具體方法如下：

1.2 加權(quán)Markov鏈進行預(yù)測的基本步驟

股票收盤價是隨時間的變化而變化的隨機序列，所以我們可以對股票的收盤價進行分析，并預(yù)測下一狀態(tài)股票收盤價的變化區(qū)間.現(xiàn)以股票市場股票價格變化Xn(元)為隨機序列，搜集按時間序列排序的股票收盤價構(gòu)成隨機序列Xn，根據(jù)加權(quán)馬爾可夫預(yù)測的基本思想，按如下步驟進行[6]：

3)依據(jù)第二步的分級標(biāo)準(zhǔn)，分別確定不同時間段的股票價格的狀態(tài)值.

4)對已知序列指標(biāo)值進行“馬氏性”檢驗.通常χ2用統(tǒng)計量來檢驗：當(dāng)統(tǒng)計量

服從自由度為(m-1)2的χ2分布時，該序列具有馬氏性.其中fij為從狀態(tài)i到狀態(tài)j的頻數(shù)，m為序列狀態(tài)數(shù)，pij為從狀態(tài)i到狀態(tài)j的一步轉(zhuǎn)移概率，pkj為j狀態(tài)的邊際概率.

5)計算序列指標(biāo)值的各階自相關(guān)系數(shù)rk以及各種步長的馬爾可夫鏈權(quán)重wk.

(1)

(2)

6)根據(jù)第三步所確定的序列狀態(tài)值，統(tǒng)計步長分別1，2，…，6的轉(zhuǎn)移概率矩陣.

8)根據(jù)不同步長將同一狀態(tài)的各預(yù)測概率加權(quán)和作為指標(biāo)值處于該狀態(tài)的預(yù)測概率，則該時刻指標(biāo)值所對應(yīng)的預(yù)測狀態(tài)j應(yīng)滿足：pj=max{pi,i∈E}.

將同一狀態(tài)的各預(yù)測概率加權(quán)和作為指標(biāo)值處于該狀態(tài)的預(yù)測概率，即

9)對該馬爾可夫鏈其他特征進行分析.

2 加權(quán)Markov鏈預(yù)測的實證分析

2.1 實例中的“馬氏性”檢驗

針對中體股價為研究對象，若要使用加權(quán)Markov鏈對股票收盤價進行預(yù)測，必須首先對其“馬氏性”進行檢驗.現(xiàn)以中體產(chǎn)業(yè)2009年2月6日～2010年6月11日70個交易周的股價變動情況為例，運用加權(quán)Markov鏈模型進行預(yù)測.

通過大智慧行情軟件采集到的中體產(chǎn)業(yè)在2009年2月6日～2010年6月11日的70個周的股票周收盤價，我們利用Excel軟件對采集的數(shù)據(jù)進行分析.

現(xiàn)在以樣本均方差為標(biāo)準(zhǔn)，將中體產(chǎn)業(yè)股票的收盤價的變動分為大跌、平跌、平下、平上、上漲和大漲等6個狀態(tài)區(qū)間，對應(yīng)的狀態(tài)空間E={1,2,3,4,5,6}.

表1 中體產(chǎn)業(yè)股票收盤價狀態(tài)劃分表

由股票收盤價劃分表及股價歷史數(shù)據(jù)可將可以得出股票六大區(qū)域劃分圖，見圖1.

圖1 中體股票收盤價依六類區(qū)間劃分圖

圖1中，橫軸代表時間，縱軸代表股價，系列i即為狀態(tài)i,i=1,2,……6.圖1更清晰的反映出了股票收盤價的劃分區(qū)域.各步長的轉(zhuǎn)移概率矩陣為：

(3)

由式(3)可計算得各步長的轉(zhuǎn)移概率矩陣pij(k) ，式中fij(k)表示從狀態(tài)經(jīng)過步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)的頻數(shù).

為了利用加權(quán)Markov鏈對股價進行預(yù)測，現(xiàn)對過程進行“馬氏性”檢驗.針對2009年2月6日～2010年6月11日期間的70個周的收盤價數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，得出股價各狀態(tài)間的頻數(shù)矩陣fij如下：

2.2 權(quán)重的計算

加權(quán)Markov鏈預(yù)測方法和Markov鏈預(yù)測方法的主要區(qū)別就在于初始狀態(tài)的權(quán)重.加權(quán)Markov鏈預(yù)測得初始狀態(tài)的權(quán)重不簡單的只為1或0，而是根據(jù)合理的計算公式對每一狀態(tài)進行分析，重新計算權(quán)重.現(xiàn)在將權(quán)重的計算方法示例介紹如下[7-8].

根據(jù)前面介紹的加權(quán)馬爾可夫鏈模型在股價預(yù)測中的預(yù)測方法，由公式，計算各階自相關(guān)系數(shù)和各步長的權(quán)重，見表2.

表2 各階自相關(guān)系數(shù)和各步長的權(quán)重

表2中的各階自相關(guān)系數(shù)和各步長的權(quán)重都是式(1)、(2)計算出來的，以方便下面對價格區(qū)間的預(yù)測.其中k表示自相關(guān)階數(shù)，rk表示各階自相關(guān)系數(shù)，wk表示各步長的馬爾可夫鏈的權(quán)重，從而可以為后面求取各狀態(tài)的預(yù)測概率做好準(zhǔn)備.

2.3 價格區(qū)間的預(yù)測

我們對未來股價所處的狀態(tài)進行預(yù)測，如果依據(jù)第66，67，68，69，70周的股票收盤價為初始狀態(tài)及其相應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣對第71周股票的收盤價進行預(yù)測，由公式

可得表3.

由表3知，max{pi,i∈E}=0.4414，此時i=3，即第71周中體產(chǎn)業(yè)股票的收盤價狀態(tài)為3(即為平下)，收盤價滿足區(qū)間8.70≤x<9.39，概率為44.14%.由歷史記錄的資料知，第71周的實際收盤價為8.70，與預(yù)測區(qū)間相符.

表3 第71周股票收盤價狀態(tài)預(yù)測表

接下來將第71周的狀態(tài)加入初始狀態(tài)，也就是以67，68，69，70，71周的狀態(tài)作為初始狀態(tài)對第72周的股票收盤價狀態(tài)進行預(yù)測.利用上面的方法可以依次預(yù)測出第72，73，74，周的股票收盤價，分別為滿足8.70≤x<9.39，第75，76周的股票收盤價，分別為滿足9.39≤x<10.07.而實際收盤價分別8.9，9.20，9.38，9.43，9.63，預(yù)測結(jié)果與實際結(jié)果相符.

3 模型的評價

另一方面，我們利用Markov鏈預(yù)測方法對未來幾周的股票收盤價進行預(yù)測，預(yù)測結(jié)果表明，加權(quán)Markov鏈的預(yù)測結(jié)果更接近實際值，而Markov鏈預(yù)測的誤差相對較大.下面用這兩種預(yù)測方法對股票收盤價的預(yù)測誤差進行比較(股價實際值為8.70).見表4.

表4 第71周預(yù)測中兩種預(yù)測方法結(jié)果的比較

在Markov鏈進行預(yù)測的工程中，一般假定外部經(jīng)濟條件比較穩(wěn)定，也就是所要預(yù)測的區(qū)間不會出現(xiàn)利好或者利空的消息使股票價格暴漲和暴跌.但是在實際股價市場中，這完全是可能的，所以這兩種方法較適用于短期的預(yù)測，對于中長期的預(yù)測結(jié)果不是很理想.

本文在應(yīng)用模型時只是選取了70個數(shù)據(jù)，對于更高精確度上的預(yù)測來說還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠.另外，如何更好的劃分各狀態(tài)區(qū)間以提高預(yù)測精度，也值得進一步的深入研究.

4 結(jié) 語

本文基于股票價格和期權(quán)價格序列的馬氏性，用加權(quán)馬爾科夫模型預(yù)測股票價格變化區(qū)間、運行周期和期權(quán)價格的變化，為個人或集體進行個人投資提供一定的參考價值. 由于股票和期權(quán)投資風(fēng)險較大，影響投資回收期的因素也比較復(fù)雜，在積累了足夠多的股票價格、期權(quán)價格數(shù)據(jù)后可以對股票價格、股票回收期以及期權(quán)價格的變化進一步豐富和完善，發(fā)現(xiàn)分析結(jié)果與實際數(shù)據(jù)一致.而且資料的代表性日益增強，自相關(guān)系數(shù)、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣、權(quán)重將會發(fā)生一定的變化，而這種變化將使得預(yù)測更加完善，進一步提高預(yù)測的精度.

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