分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散O-U過(guò)程下冪型期權(quán)定價(jià)

符 雙，薛 紅

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院，西安 710048)

期權(quán)定價(jià)問(wèn)題是金融數(shù)學(xué)和金融工程學(xué)的核心問(wèn)題之一.文獻(xiàn)[1]假設(shè)股票價(jià)格服從布朗運(yùn)動(dòng)，得到了著名的Black-Scholes公式.文獻(xiàn)[2]首次提出期權(quán)定價(jià)的保險(xiǎn)精算方法，將期權(quán)定價(jià)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等價(jià)的公平保費(fèi)確定問(wèn)題，它不僅對(duì)于無(wú)套利、均衡、完備的市場(chǎng)有效，且對(duì)于有套利、非均衡、不完備的市場(chǎng)也有效.文獻(xiàn)[3]利用保險(xiǎn)精算方法得到了歐式期權(quán)的定價(jià)公式.

近年來(lái)，國(guó)際金融市場(chǎng)涌現(xiàn)了大量由標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)變化、組合、派生而來(lái)的新品種，即新型期權(quán).冪型期權(quán)是新型期權(quán)中的一種，它允許持有人得到一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)的損益，但標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)值被提高到它的q次冪，它與標(biāo)準(zhǔn)歐式期權(quán)的區(qū)別在于在期權(quán)到期日，當(dāng)期權(quán)處于實(shí)值狀態(tài)時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)歐式看漲(跌)期權(quán)的支付函數(shù)為標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的線性函數(shù)，而冪型期權(quán)的支付函數(shù)為標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格冪函數(shù)的線性函數(shù).目前已有不少學(xué)者對(duì)冪型期權(quán)的定價(jià)進(jìn)行了研究，文獻(xiàn)[4]研究了幾何布朗運(yùn)動(dòng)下冪型期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題.由于股票價(jià)格對(duì)過(guò)去價(jià)格具有依賴性，而分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)具有的長(zhǎng)程依賴性和自相似性，彌補(bǔ)了幾何布朗運(yùn)動(dòng)描述標(biāo)的資產(chǎn)的不足，一些學(xué)者考慮用分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)刻畫股票價(jià)格的變化[5-7]，在現(xiàn)實(shí)資本市場(chǎng)中，因突發(fā)事件的影響，股票價(jià)格會(huì)發(fā)生跳變.許多學(xué)者用Possion過(guò)程和分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程來(lái)描述股票價(jià)格的變化[8-10].研究發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散Ornstein-Uhlenback 模型能更好地描述股票價(jià)格的運(yùn)動(dòng)變化，一些學(xué)者討論了分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散Ornstein-Uhlenback 模型的歐式期權(quán)和歐式雙向期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題[11-12].

本文在文獻(xiàn)[11-12]基礎(chǔ)上，假定股票價(jià)格服從分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散Ornstein-Uhlenback過(guò)程，且無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率和股票波動(dòng)率均為時(shí)間的確定性函數(shù)，利用保險(xiǎn)精算方法，討論冪型期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題.

1 金融市場(chǎng)數(shù)學(xué)模型

假設(shè)金融市場(chǎng)中，有兩類可交易的資產(chǎn)：一種是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(如債券)，其價(jià)格過(guò)程記為Pt，t≥0，滿足如下常微分方程

dPt=r(t)Ptdt,

(1)

其中:r(t)為時(shí)刻t的函數(shù)，稱其為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率.另一種是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(如股票)，其價(jià)格過(guò)程記為St，t≥0，它滿足如下隨機(jī)微分方程

dSt=St[μ(t)-αlnSt-λθ)dt+σ(t)dBH(t)+dJ(t)],

(2)

其中:μ(t)為股票的預(yù)期收益率，σ(t)為股票的波動(dòng)率，μ(t)和σ(t)均為確定性的函數(shù)，α>0且為常數(shù).{BH(t),t≥0}是定義在概率空間(Ω,F,P)上Hurst參數(shù)為H(0

{N(t),t≥0}表示強(qiáng)度為λ的泊松過(guò)程，Ui表示第i次跳躍幅度(無(wú)跳躍發(fā)生時(shí)U0=0)，{Ui,i≥0}為一列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，并且θ=E[Ui]，Ui>-1(i=1,2…).假定{BH(t),t≥0}，{N(t),t≥0}和{Ui,i≥0}相互獨(dú)立.{*t≥0}是由{BH(t),t≥0}，{N(t),t≥0}和{Ui,i=1,2,…}生成的σ-代數(shù)流.

定理1 隨機(jī)微分方程(2)的解為

證明假定[0-,t]之間沒(méi)有跳發(fā)生，根據(jù)分?jǐn)?shù)型Ito公式及(2)可知

那么

假定只在時(shí)刻T1∈[0,t] 發(fā)生一次跳, 則

由式(2)有

當(dāng)n→∞時(shí)，可得

ST1-ST1-=ST1-U1.

所以

σ(τ)dBH(τ)]}.

當(dāng)跳的次數(shù)服從Possion過(guò)程時(shí)，則有

定理證畢.

證明

由于

從而完成定理證明.

定義2 冪型期權(quán)的保險(xiǎn)精算價(jià)值定義為：當(dāng)期權(quán)被執(zhí)行時(shí)，在[t,T]內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)q的次冪的折現(xiàn)值與敲定價(jià)格的折現(xiàn)值之差，在股票價(jià)格實(shí)際分布的概率測(cè)度下的數(shù)學(xué)期望值.資產(chǎn)折現(xiàn)值的計(jì)算方法按如下計(jì)算：風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(如股票)按期望收益率折現(xiàn)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(如債券或銀行存款)按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率折現(xiàn).用公式表示為

其中ST為標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格，K為敲定價(jià)格，T為到期日，且

ds})q},

C(t,K,T)和P(t,K,T)分別表示到期日為T，敲定價(jià)格為K，在時(shí)刻t的歐式冪型看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價(jià)值.

2 歐式冪型期權(quán)的定價(jià)

其中Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù),且

證明由定理1和定理2可知

從而

從而

注1：當(dāng)a→0時(shí)，可得分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散環(huán)境下歐式冪型期權(quán)的價(jià)格.特別地，當(dāng)σ為常數(shù)時(shí)，即為文獻(xiàn)[10]的相應(yīng)結(jié)果.

注2：當(dāng)λ=0,Ui=0,i=0,1,2,…時(shí)，可得分?jǐn)?shù)O-U過(guò)程下的歐式冪型期權(quán)的價(jià)格.特別地，當(dāng)a→0，σ為常數(shù)時(shí)，即為文獻(xiàn)[7]的相應(yīng)結(jié)果.

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