關(guān)于強(qiáng)化緩沖算子的研究

陳紅靜，于靜

(中國傳媒大學(xué) 理學(xué)院，北京 100024)

1 引言

灰色系統(tǒng)的特色是研究“小樣本”與“貧信息”等不確定性問題。因此充分開發(fā)利用已占有的信息來挖掘系統(tǒng)本身固有的規(guī)律是灰色系統(tǒng)理論的基本準(zhǔn)則。我們可以通過社會、經(jīng)濟(jì)、生態(tài)等系統(tǒng)的行為特征數(shù)據(jù)來尋求因素之間或自身的變化規(guī)律。灰色系統(tǒng)理論認(rèn)為，盡管客觀系統(tǒng)的表象復(fù)雜，數(shù)據(jù)離亂，但它們總有自身的整體功能，必然蘊(yùn)藏某種內(nèi)在的規(guī)律。關(guān)鍵是如何選擇適當(dāng)?shù)姆椒▉硗诰蚝屠盟Ｔ谖墨I(xiàn)[1，4，5，7]中，劉思峰教授提出了沖擊擾動緩沖算子的概念，并構(gòu)造出一種得到較廣泛應(yīng)用的緩沖算子。本文在上述工作的基礎(chǔ)上，構(gòu)造出若干新的強(qiáng)化緩沖算子，并研究了其特性及其內(nèi)在關(guān)系，從而使序列前一部分增長(遞減)速度過慢，而后一部分增長(遞減)速度過快的沖擊擾動系統(tǒng)數(shù)據(jù)序列在建模預(yù)測過程中常常出現(xiàn)的定量預(yù)測結(jié)果與定性分析結(jié)論不符的問題得到有效解決。

2 基本概念

定義1 設(shè)系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列為

X=(x(1)，x(2)，……，x(n))，如

(1)?k=2，3，……，nx(k)-x(k-1)>0

則稱X為單調(diào)增長序列。

(2)?k=2，3，……，nx(k)-x(k-1)<0

則稱X為單調(diào)衰減序列。

(3)若有k1，k2∈{2，3，…，n}

x(k1)-x(k1-1)>0

x(k2)-x(k2-1)<0

則稱X為振蕩序列。

定義2 設(shè)X為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，D為作用于X的算子，X經(jīng)算子D作用后所得到序列記為

XD=(x(1)d，x(2)d，……，x(n)d).

則稱D為序列算子。

對序列連續(xù)作用，可得二階算子，一直可以作用到r階算子。分別記為

XD2，…，XDr.

公理1(不動點公理) 設(shè)X為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，D為序列算子，則有

X(n)d=x(n).

公理2(信息充分利用公理) 系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列X中的每一個數(shù)據(jù)x(k)，k=1，2，…，n都應(yīng)充分地參與算子作用的整個過程。

公理3 設(shè)X為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，D為序列算子，當(dāng)X為單調(diào)增長序列，單調(diào)衰減序列或振蕩序列，緩沖序列XD比行為數(shù)據(jù)序列X的增長速度(或衰減速度)增強(qiáng)或振幅加大，則稱緩沖算子D為強(qiáng)化算子。

定理1 (1)設(shè)X為單調(diào)增長序列，XD為緩沖序列，則

D為強(qiáng)化緩沖算子?x(k)≥x(k)d，

(k=1，2，…，n).

(2)設(shè)X為單調(diào)衰減序列，XD為緩沖序列，則

D為強(qiáng)化緩沖算子?x(k)≤x(k)d，

(k=1，2，…，n).

(3)設(shè)X為振蕩序列，XD為緩沖序列，D為強(qiáng)化緩沖算子，則

由定理1可知，單調(diào)增長序列在強(qiáng)化緩沖算子作用下，數(shù)據(jù)萎縮。單調(diào)衰減序列在強(qiáng)化緩沖算子作用下，數(shù)據(jù)膨脹。

3 強(qiáng)化緩沖算子的構(gòu)造

劉思峰教授在文獻(xiàn)[2]中構(gòu)造了弱化緩沖算子，設(shè)X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，令

XD1=(x(1)d1，x(2)d1，…，x(n)d1)，

其中

則當(dāng)X為單調(diào)增長序列，單調(diào)衰減序列或振蕩序列時，D1皆為強(qiáng)化緩沖算子。

在此我們稱強(qiáng)化緩沖算子D1為平均強(qiáng)化緩沖算子，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)造若干其它形式的緩沖算子。

定理2 設(shè)X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為非負(fù)的系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，即x(i)>0，其中

exp(x)=ex，

XD2=(x(1)d2，x(2)d2，…，x(n)d2)，

(k=1，2，……，n).

則當(dāng)X為單調(diào)增長序列，單調(diào)衰減序列或振蕩序列時，D2皆為強(qiáng)化緩沖算子。

證明：容易驗證，D2滿足緩沖算子三公理，因而D2為緩沖算子。

下證當(dāng)X為單調(diào)增長序列時，D2為強(qiáng)化緩沖算子。

因為x(k)≤x(k+1)≤……≤x(n)，得

lnx(k)≤lnx(k+1)≤…≤lnx(n)，

lnx(k)+lnx(k+1)+…+lnx(n)

≥(n-k+1)lnx(k)，

同理可證，當(dāng)X為單調(diào)衰減序列或振蕩序列時，D2皆為強(qiáng)化緩沖算子。

定理3 設(shè)X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為非負(fù)的系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，即x(i)>0，其中

exp(x)=ex

令XD3=(x(1)d3，x(2)d3，…，x(n)d3)，

(k=1，2，…，n).

則當(dāng)X為單調(diào)增長序列，單調(diào)衰減序列或振蕩序列時，D3皆為強(qiáng)化緩沖算子。

證明：(略)

定理4 設(shè)X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為非負(fù)的系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，即x(i)>0，其中

exp(x)=ex

令XD4=(x(1)d4，x(2)d4，…，x(n)d4)，

(k=1，2，…，n).

則當(dāng)X為單調(diào)增長序列，單調(diào)衰減序列或振蕩序列時，D4皆為強(qiáng)化緩沖算子。

證明：類似于定理2。

4 實例分析

生命周期是用來描述某類模式的演化，此模式可以使用于產(chǎn)業(yè)部門、產(chǎn)品、技術(shù)等。Levitt(1965)最早描述生命周期，也是用的最廣的，即隨時間遷移，銷售量的變化情形。一般來說，產(chǎn)品生命周期可以劃分為四個階段：即投入期、成長期、成熟期和衰退期，呈現(xiàn)為一條對稱的S形曲線。投入期的主要特征是生產(chǎn)成本高、投入流動資金多，產(chǎn)品銷售量增長緩慢，企業(yè)獲利極少甚至為負(fù)數(shù)。產(chǎn)品從投入期轉(zhuǎn)入成長期的標(biāo)志是銷售量迅速增長、利潤額迅速上升，競爭者紛紛涌入。第三階段成熟期是產(chǎn)品在市場上基本飽和，市場競爭日益激烈，銷售量基本區(qū)域穩(wěn)定，利潤開始減少。最后，由于成本回升、需求減少、競爭者減少和其它因素的影響，導(dǎo)致產(chǎn)品銷售量減少，利潤額也明顯下降，產(chǎn)品普及率迅速降低。產(chǎn)品生命周期理論是制定產(chǎn)品在市場上不同時期營銷戰(zhàn)略及策略的基礎(chǔ)。根據(jù)產(chǎn)品生命周期曲線我們可以得知從投入期到成長期呈現(xiàn)出一條S型曲線，本文嘗試以Linux系統(tǒng)安裝估算數(shù)值為依據(jù)，采用不同強(qiáng)化緩沖算子進(jìn)行數(shù)據(jù)處理并對Linux的S曲線進(jìn)行預(yù)測。

根據(jù)表1，我們可以計算出LINUX USER使用人數(shù)的年度倍增數(shù)分別為1900%，400%，400%，200%，133%，114%，380%，由于1994年該軟件剛投入使用不久，開始兩年內(nèi)由于基數(shù)小數(shù)據(jù)非常敏感，年度增長率相當(dāng)驚人，之后1995—1997的三個年度期間使用人數(shù)高速增長，1998—2000年期間使用者仍在快速增加，但是增幅有所減緩，從2001年開始使用者數(shù)量急劇遞增。根據(jù)產(chǎn)品生命周期理論，我們可以初步判定在2000年左右，LINUX系統(tǒng)進(jìn)入產(chǎn)品成長期，這在LINUX USER使用人數(shù)的趨勢圖中表現(xiàn)尤為明顯。進(jìn)入產(chǎn)品成熟期后，LINUX USER的使用者人數(shù)還會快速增加，因而可以用強(qiáng)化緩沖算子對原始數(shù)據(jù)序列進(jìn)行作用來有效消除原始序列沖擊擾動因素的干擾。由于該數(shù)據(jù)跨越投入期和成長期而呈現(xiàn)出S曲線，我們采用前四年數(shù)據(jù)來模擬1998—2001年度的使用者人數(shù)作為原始序列，進(jìn)而探索不同強(qiáng)化緩沖算子的精度以及適用條件。

表1 LINUX USER使用人數(shù)

備注：以上資料來源于http：//counter.li.org/estimates.html.

首先我們利用原始序列數(shù)據(jù)建立灰色GM(1，1)模型進(jìn)行預(yù)測，以新的強(qiáng)化緩沖算子XD2為例對原始序列進(jìn)行強(qiáng)化，令

表2 不同強(qiáng)化緩沖算子處理后的預(yù)測結(jié)果比較

由表2我們可以得知對于新的強(qiáng)化緩沖算子而言，1998—2001期間的年度誤差分別為80.06%，55.35%，8.90%，18.57%，對于劉氏強(qiáng)化緩沖算子而言，該期間年度誤差分別為37.32%，54.85%，316.54%，400.23%。若數(shù)據(jù)未經(jīng)處理，則誤差分別為0.71%，64.75%，192.48%，133.39%。相對于其它兩種方法，新的緩沖算子處理后的預(yù)測值在1998年的預(yù)測誤差較大，但是在S型曲線的轉(zhuǎn)彎后即從投入期演變?yōu)槌砷L期后的預(yù)測較為準(zhǔn)確，與實際使用情況最為吻合。

5 結(jié)束語

本文研究了緩沖算子，構(gòu)造了幾類強(qiáng)化緩沖算子，并研究了它們的一些特性與它們之間的內(nèi)在關(guān)系，該算子具有實用方便，易于在計算機(jī)上實現(xiàn)。因此利用所構(gòu)造的強(qiáng)化緩沖算子首先對原始數(shù)據(jù)序列進(jìn)行作用，然后再進(jìn)行建模，它能有效地消除沖擊擾動系統(tǒng)數(shù)據(jù)序列在建模預(yù)測過程的干擾。

[1]Liu S F.The Three Axioms of Buffer Operator and Their Application [J].The journal of Grey system，1991，3(1)：39-48.

[2]劉思峰，黨耀國，方志耕. 灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用(第三版)[M]. 北京：科學(xué)出版社，2005.

[3]鄧聚龍.灰色理論基礎(chǔ) [M]. 武漢：華中科技大學(xué)出版社，2002.

[4]鄧聚龍.累加生成灰指數(shù)律 [J]. 華中理工大學(xué)學(xué)報，1987，15(5)：7-12.

[5]劉思峰.沖擊擾動系統(tǒng)預(yù)測陷阱與緩沖算子 [J]. 華中理工大學(xué)學(xué)報，1997，25(1)：25-27.

[6]劉思峰.緩沖算子及其應(yīng)用 [J]. 灰色系統(tǒng)理論與實踐，1992，2(1)：45-50.

[7]黨耀國，劉思峰，劉斌，唐學(xué)文. 關(guān)于弱化緩沖算子的研究 [J]. 中國管理科學(xué)，2004，12(2)：108-111.