基于單調(diào)遞增函數(shù)的新的強化緩沖算子的構造及其應用

韓然，吳正朋

(中國傳媒大學理學院，北京 100024)

1 引言

灰色系統(tǒng)的特點是研究小樣本和貧信息等不確定性問題，由于沖擊擾動系統(tǒng)的大量存在，導致了定量預測結果與人們直觀的定性分析結論大相徑庭的現(xiàn)象經(jīng)常發(fā)生。問題的癥結不在于模型的優(yōu)劣，而是由于系統(tǒng)數(shù)據(jù)因系統(tǒng)本身受到某種沖擊波的干擾而失真。因此，尋求定量預測與定性分析的結合點是擺在每一位預測工作者面前的一個首要問題?；疑到y(tǒng)的理論的主要任務之一就是根據(jù)社會、經(jīng)濟、生態(tài)等系統(tǒng)的行為特征，尋求不同系統(tǒng)變量之間或系統(tǒng)變量自身的數(shù)學關系和變化規(guī)律，其中的“新信息優(yōu)先原理”是灰色系統(tǒng)理論的信息觀，即認為新信息對認知的作用大于老信息，賦予新信息較大的權重可以提高灰色建模、灰色預測、灰色決策等的功效，其中的方法體系——灰色序列生成，是指通過信息覆蓋，選擇適當?shù)姆椒▽υ紨?shù)據(jù)進行挖掘、整理以尋求系統(tǒng)變化規(guī)律的技術，劉思峰教授在文獻[1-4]中提出了沖擊擾動緩沖算子的概念，并構造了若干強化緩沖算子。本文在上述研究的基礎上，引入了插值函數(shù)并提出了一類新的強化緩沖算子的構造，通過研究其特性和實例驗證了本文構造的強化緩沖算子的有效性，從而拓廣了灰色系統(tǒng)模型的應用范圍。

2 基本概念

定義1 設X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，若

①?k=2，3，…，n，x(k)-x(k-1)>0，則稱X為單調(diào)增長序列；

②?k=2，3，…，n，x(k)-x(k-1)<0，則稱X為單調(diào)衰減序列；

③若?k，k′{2，3，…，n}有

定義2 設X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，D為作用于X的算子，X經(jīng)算子D作用后所得到序列記為XD=(x(1)d，x(2)d，…，x(n)d)，則稱D為序列算子，稱XD為一階算子作用序列。

對序列連續(xù)作用，可得二階算子，一直可以作用到r階算子，分別記為XD2，…，XDr。

定義3 設X為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，D為序列算子，當X為單調(diào)增長(單調(diào)衰減或振蕩)序列，緩沖序列XD比行為數(shù)據(jù)序列X的增長速度(衰減速度)增強或振幅增大，則稱緩沖算子D為強化緩沖算子。

公理1(不動點公理)設X為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，D為序列算子，則D滿足x(n)d=x(n)。

公理2(信息充分利用公理)系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列X中的每一個數(shù)據(jù)x(k)(k=1，2，…，n)，都應充分參與算子作用的全過程。

公理3(解析化與規(guī)范化公理)任意的x(k)d(k=1，2，…，n)，都可以由一個統(tǒng)一的x(1)，…，x(n)的初等解析表達式表達。

滿足上述三公理的序列算子稱為緩沖算子，XD稱為緩沖序列。

由文獻[5]知，為了保證緩沖算子公理體系的嚴密性，我們認為緩沖算子還應滿足第四個公理。

公理4(單調(diào)性不變公理)設X為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，X經(jīng)序列算子D作用后所得數(shù)據(jù)序列為XD=(x(1)d，x(2)d，…，x(n)d)，則序列XD與序列X的單調(diào)性必須保持一致。

定理1(1)設X為單調(diào)增長序列，XD為緩沖序列，則D為強化緩沖算子?x(k)≥x(k)d，k=1，…，n；

(2)設X為單調(diào)衰減序列，XD為緩沖序列，則D為強化緩沖算子?x(k)≤x(k)d，k=1，…，n；

(3)設X為振蕩序列，XD為緩沖序列，D為強化緩沖算子，則

由定理1可知，單調(diào)增長序列在強化緩沖算子作用下，數(shù)據(jù)萎縮；單調(diào)衰減序列在強化緩沖算子作用下，數(shù)據(jù)膨脹。

3 新的強化緩沖算子的構造

定理2 設X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為非負的系統(tǒng)數(shù)據(jù)序列，x(k)>0，k=1，2，…，n，fi，i=1，…，n為嚴格單調(diào)遞增函數(shù)，fi>0，gi為fi的反函數(shù)，其緩沖序列為XD1=(x(1)d1，x(2)d1，…，x(n)dn)，其中

證明：容易驗證，D1滿足緩沖算子三公理。所以D1為緩沖算子。下面將證明D1為強化緩沖算子。

(1)當X為單調(diào)增長序列時，有

0

因為fi嚴格單調(diào)遞增，且fi>0則

又因為gi為fi的反函數(shù)，則

≤gi(fi(x(k)))=x(k)，

由定理1知D1為強化緩沖算子。

(2)當X為單調(diào)衰減序列時，有

x(k)≥…≥x(n)>0，

因為fi嚴格單調(diào)遞增，且fi>0則

“我是梅西，現(xiàn)在慌的一批”主要是因為俄羅斯世界杯比賽網(wǎng)友調(diào)侃梅西而誕生的梗?；诺靡慌蔷W(wǎng)絡用語，其含義為恐懼、不安的意思。2018年世界杯期間，作為五屆金球獎得主梅西0進球，又失點，導致最后阿根廷1:1平冰島。

又因為gi為fi的反函數(shù)，則

由定理1知D1為強化緩沖算子。

在這里，稱D1為廣義平均強化緩沖算子。

定理3 設X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為非負的系統(tǒng)數(shù)據(jù)序列，x(k)>0，k=1，2，…，n，fi，i=1，…，n為嚴格單調(diào)遞增函數(shù)，fi>0，gi為fi的反函數(shù)，其緩沖序列為XD2=(x(1)d2，x(2)d2，…，x(n)dn)，其中

k=1，…，n。則當X為單調(diào)增長序列、單調(diào)衰減序列時，D2為強化緩沖算子。

證明：容易驗證，D2滿足緩沖算子三公理。所以D2為緩沖算子。下面將證明D2為強化緩沖算子。

(1)當X為單調(diào)增長序列時，有

0

因為fi嚴格單調(diào)遞增，且fi>0則

0

又因為gi為fi的反函數(shù)，則

x(k)d2=gi

≤gi(fi(x(k)))=x(k)

由定理1知D2為強化緩沖算子。

可仿定理2證明當X為單調(diào)衰減序列時，D2為強化緩沖算子。這里稱D2為廣義加權平均強化緩沖算子。

定理4 設X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為非負的系統(tǒng)數(shù)據(jù)序列，x(k)>0，k=1，2，…，n，fi，i=1，…，n為嚴格單調(diào)遞增函數(shù)，fi>0，gi為fi的反函數(shù)，其緩沖序列為XD3=(x(1)d3，x(2)d3，…，x(n)d)，其中

k=1，…，n。則當X為單調(diào)增長序列、單調(diào)衰減序列時，D3為強化緩沖算子。

證明：容易驗證，D3滿足緩沖算子三公理。所以D3為緩沖算子。下面將證明D3為強化緩沖算子。

(1)當X為單調(diào)增長序列時，有

0

因為fi嚴格單調(diào)遞增，且fi>0則

又因為gi為fi的反函數(shù)，則

≤gi(fi(x(k)))=x(k)，

由定理1知D3為強化緩沖算子。

可仿定理2證明當X為單調(diào)衰減序列時，D3為強化緩沖算子。這里稱D3為廣義幾何平均強化緩沖算子。

4 實例分析

引用文獻[2]中的實例來驗證本文強化緩沖算子在GM(1，1)預測過程中的作用。選取2000-2006年中國人均電力消費量作為原始數(shù)據(jù)序列，見表1。

表1 中國人均電力消費量 單位：kwh

(其中P代表人均電力消費量)

目前，中國處在經(jīng)濟發(fā)展的工業(yè)化進程中，經(jīng)濟的發(fā)展對電力的依賴比較大。本文以2000-2005年中國人均電力消費量的原始數(shù)據(jù)序列作為建模數(shù)據(jù)，2006年數(shù)據(jù)作為模型檢驗數(shù)據(jù)。技術人均電力消費量環(huán)比增長依次為：9.125%，8.091%，11.132%，9.499%，13.933%，15.09%，年平均增長率為9.468%。對原始數(shù)據(jù)序列進行準光滑性檢驗，可以計算當t≥2003時，光滑比分別為：0.401、0.313、0.272、0.246，均在(0，0.5)內(nèi)，且光滑比遞減，滿足準光滑性條件，因此原始序列的一次累加生成序列具有準指數(shù)規(guī)律[1]。但是明顯看出，原始序列前半部分增長速度有點慢，后半部分增長速度較快，因此，最好要對原始數(shù)據(jù)序列進行平滑，以削弱沖擊擾動因素的干擾，凸現(xiàn)數(shù)據(jù)的規(guī)律性。

為此，取fi(x)=x2，gi(x)=x0.5，i=1，…，n來構造緩沖算子，以本文構造的緩沖算子對原始數(shù)據(jù)進行二階強化處理，建立預測模型，并和原始數(shù)據(jù)序列直接建模進行比較，如表2可見：

表2 GM(1，1)模型

由表2可知，原始數(shù)據(jù)序列經(jīng)過強化緩沖算子D1、D2、D3二次作用后，預測相對誤差分別為3.28%，3.84%，1.36%，所得到的強化緩沖序列都比原始數(shù)據(jù)序列直接建模的預測相對誤差5.04%要小，其中D3作用后得到強化緩沖序列的誤差最小，預測值為252.78，比較接近觀測值249.4，預測精度最高。并且本文構造的強化緩沖算子的一步預測精度都比文獻[2]中的精度要高。

5 結論

本文在已有的文獻基礎上，根據(jù)嚴格單調(diào)遞增函數(shù)和時間序列的平均發(fā)展速度的思想構造了一類新的強化緩沖算子，用所構造的緩沖算子對具有前半部分增長速度較慢，而后半部分增長速度較快特征的原始數(shù)據(jù)序列與二階強化緩沖序列分別進行了預測精度比較。實例結果表明：(1)用D1、D2和D3強化緩沖算子處理的緩沖序列預測精度比原始數(shù)據(jù)序列有顯著提高；(2)通過比較3個新的強化緩沖算子作用后的強化緩沖序列的預測值可以發(fā)現(xiàn)，D1、D2和D3作用的強化緩沖序列預測值逐漸逼近觀測值，其中原始序列經(jīng)過D3作用后，預測相對誤差最小。D3強化緩沖算子能夠充分有效地消除原始數(shù)據(jù)序列中的沖擊擾動因素的干擾，顯現(xiàn)數(shù)據(jù)的規(guī)律性。且顯示可通過選擇不同的嚴格單調(diào)函數(shù)f，g來提高預測精度。因此，對于具體的數(shù)據(jù)，如何選擇嚴格單調(diào)函數(shù)f，g是接下來研究的重點。

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