商業(yè)折扣下批量訂購優(yōu)化模型的修訂與應(yīng)用

胡 平

(淮陰工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院 江蘇 淮安 223003)

0 引言

商家為了促銷某種產(chǎn)品，一般采用商業(yè)折扣的優(yōu)惠政策，購價為每次訂貨量Q的分段函數(shù)K(Q)：

(1)

其中，k1>k2>…>kn，0

購貨企業(yè)為了得到商家的折扣優(yōu)惠價格，必須加大購貨量，從而增加了購貨企業(yè)的商品儲存成本。購貨企業(yè)每次購貨量為多少，才能使購貨總成本最低？目前，解決這類問題的方法是比較選擇法[1-3]：分別計算購貨量為Q∈[ai-1,ai)時單位時間內(nèi)購貨總成本fi，從{fi}中選擇最小的fmin，fmin所對應(yīng)的Q就為最佳的訂貨量Q*。

這種比較選擇方法計算麻煩，所以我們對這種商業(yè)折扣下的訂購模型進行修訂，引用0-1變量，構(gòu)建了帶有約束條件的非線性規(guī)劃模型，由模型可直接解得最佳訂貨量Q*，并給出范例，以幫助大家理解與使用這種決策模型。

1 模型的修訂

1.1 問題的描述

假設(shè)商家能夠及時供貨，有商業(yè)折扣；購貨企業(yè)在單位時間內(nèi)某種產(chǎn)品的需求量R為已知常數(shù)；該產(chǎn)品單位儲存成本以及缺貨成本，為已知常數(shù)(分別為C1、C2)，或與貨價(成本)K(Q)有關(guān)；每次訂貨成本C3為已知常數(shù)；我們要建立一個綜合的數(shù)學(xué)模型，以確定購貨企業(yè)的最佳訂貨量Q*，或最大缺貨量S。

1.2 模型的修訂

單位時間內(nèi)購貨總成本f(Q)為：

f(Q)=儲存成本+缺貨成本+訂貨成本+購貨費

(2)

如果單位時間內(nèi)每件貨物存儲費為價格的u%，則單位時間內(nèi)每件存儲費為u%×K(Q)。一般地，可設(shè)單位時間內(nèi)每件存儲費為：

C1=(1-α)c1+α×u%×K(Q)

其中，存儲費與貨價無關(guān)時α=0，存儲費與貨價有關(guān)時α=1。

(3)

如果單位時間內(nèi)每件缺貨費為價格的v%，則單位時間內(nèi)每件缺貨費為v%×K(Q)，所以，單位時間內(nèi)每件缺貨費C2=(1-β)c2+β×v%×K(Q)，其中，缺貨費與貨價無關(guān)時β=0，缺貨費與貨價有關(guān)時β=1。

(4)

(5)

若單位時間內(nèi)貨物的需求量為R，則

單位時間內(nèi)購貨費=R×K(Q)

(6)

將式(3)、(4)、(5)和(6)代入式(2)得到：

由于K(Q)為分段函數(shù)，對f(Q)求極值較困難，所以我們引入0-1變量：

則式(1)可以表示為：

K(Q)=k1y1+k2y2+…+knyn

(7)

其中，滿足以下約束條件：

(8)

M為比an-1充分大的常數(shù)。

在式(8)中，假如y2=1，由第1等式可得y1=y3=…=yn=0，由第2不等式Q-a1<(1-y1)M，得Q-a1

綜上所述，我們得到了購貨企業(yè)確定訂貨量Q的優(yōu)化模型，見模型1。

模型1:

當(dāng)S=0，α=0時，模型1屬于不準(zhǔn)缺貨，C1為常量的情形1；

當(dāng)S=0，α=1時，模型1屬于不準(zhǔn)缺貨，C1與貨價有關(guān)的情形2；

當(dāng)S>0，α=0,β=0時，模型1屬于允許缺貨，C1、C2與貨價無關(guān)情形3；

當(dāng)S>0，α=1,β=0時，模型1屬于允許缺貨，C1與貨價有關(guān)、C2與貨價無關(guān)情形4；

當(dāng)S>0，α=0,β=1時，模型1屬于允許缺貨，C1與貨價無關(guān)、C2與貨價有關(guān)情形5；

當(dāng)S>0，α=1,β=1時，模型1屬于允許缺貨，C1、C2與貨價都有關(guān)情形6。

2 實例

例1：某公司全年需用某種配件1200 件，每次訂貨成本 400 元，每件年存儲成本 6 元，每件配件10元，如果訂貨批量在 600 件以上(含600件)，則有2%的價格折扣，那么該公司的最佳經(jīng)濟批量是多少？

依題意知此問題屬于情形1。

依模型1，得到具體的規(guī)劃模型2：

利用LINGO軟件編程解得：按價格K=9.8元批量進貨600 件，全年進貨總成本為14360 元。此結(jié)果與文獻[1]的結(jié)論一致。

例2：某公司全年需用一批外購件 8000 件，每次訂貨成本100元，每件年存儲成本率25% ，訂購時如果一次購進量不小于850 件時，單價8元；如果一次購進量小于850 件時，單價10元，那么該公司的最佳訂購批量是多少？

依題意知此問題屬于情形2。

構(gòu)建規(guī)劃模型3：

利用LINGO軟件編程解得：按價格K=8元批量進貨894.4272件，全年進貨總費用為65788.85 元。此結(jié)果與文獻[1]的結(jié)論一致。

例3：某公司全年需用一批外購件300件用于維修設(shè)備，每次訂貨成本200元，每件年存儲成本率20% ，如果一次購進量小于50件時，單價為500元；如果一次購進量小于100件時，打九六折，單價為480元；如果一次購進量達到或超過100件時，打九五折，單價為475元。每件年缺貨成本率為60% ，那么該公司的最佳訂購批量和最大缺貨量是多少？

依題意知此問題屬于情形6。

構(gòu)建規(guī)劃模型4：

利用LINGO軟件編程解得：按價格K =475元批量進貨100件，最大缺貨量25件，全年進貨總費用為146662.5 元。

如果不允許缺貨，例3就為文獻[2]中的例題，在模型4中，增加條件，利用LINGO軟件編程解得：按價格K =480元批量進貨50件，全年進貨總費用為147600 元。此結(jié)果與文獻[2]的結(jié)論一致。

3 結(jié)論

針對商業(yè)折扣條件下的存儲問題，我們引入0-1變量，建立了的批量訂購優(yōu)化模型，該模型適用于多種情形下，具有一定的通用性。由實例說明了我們建立的非線性規(guī)劃模型，不但便于理解與構(gòu)建，而且求解方便。如將此購貨模型融入到運籌學(xué)教材中，將起到承上的作用，使學(xué)生更易理解與掌握。此規(guī)劃模型可為企業(yè)經(jīng)營管理者提供購貨決策借鑒。

參考文獻：

[1] 譚麗娜.不同折扣條件下存貨經(jīng)濟批量研究[J].商業(yè)時代，2012(32): 20-21.

[2] 韓伯棠.管理運籌學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2008.

[3] 田世海.管理運籌學(xué)[M].北京：科學(xué)出版社，2011.