促進(jìn)數(shù)學(xué)理解，提高高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性

高黎明

一、現(xiàn)狀

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師經(jīng)常會(huì)遭遇“上課熱鬧下課冷，課上點(diǎn)頭課后忘，作業(yè)難交更正?！钡膶擂尉置?，其原因歸咎為兩個(gè)方面：一方面由于高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容跨度大，抽象性強(qiáng)。另一方面由于許多學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)只是淺嘗輒止，不夠深入，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)浮而不實(shí)，要想改變現(xiàn)狀，只有促進(jìn)高中學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深刻理解，才能達(dá)到掌握和靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的目的。

二、對(duì)策

理解一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)，就是調(diào)動(dòng)已有的恰當(dāng)?shù)闹R(shí)同化它，把它與原有的知識(shí)合理地、本質(zhì)地聯(lián)系起來(lái)。數(shù)學(xué)理解的形式必須以學(xué)生的主動(dòng)建構(gòu)為基礎(chǔ)，充分參與為手段，提高能力為目的，但由于部分學(xué)生缺乏學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自覺(jué)性和主動(dòng)性，對(duì)問(wèn)題的研究不夠深入，對(duì)問(wèn)題的理解一直徘徊在低層次，因此數(shù)學(xué)教學(xué)必須改善學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，使之口動(dòng)，手動(dòng)，心動(dòng)，情動(dòng)，使之沉浸在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)動(dòng)良好氛圍中，體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的美好，從而加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解。下面我結(jié)合自己在實(shí)際教學(xué)中的做法與體會(huì)，談?wù)勅绾我龑?dǎo)學(xué)生，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深刻理解，提高高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性。

1.說(shuō)

真理越辯越明，道理越說(shuō)越清。一直以來(lái)，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)僅限于聽(tīng)和紙筆練習(xí)，而對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)口頭表達(dá)能力不夠重視，造成學(xué)生“心欲言而口不能”，無(wú)法及時(shí)再現(xiàn)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，影響對(duì)知識(shí)的及時(shí)理解。說(shuō)數(shù)學(xué)，就是讓學(xué)生用自己的語(yǔ)言描述所學(xué)的定義，定理，公式，法則，說(shuō)出對(duì)問(wèn)題的條件與結(jié)論的理解，解題方法的選擇，關(guān)鍵過(guò)程的突破和困難的克服等。說(shuō)數(shù)學(xué)，是使別人信服自己行動(dòng)過(guò)程的一種能力。要把理解的東西說(shuō)出來(lái)，就必須經(jīng)過(guò)記憶、辨別、領(lǐng)悟等過(guò)程，越能流暢表達(dá)的學(xué)生，對(duì)所學(xué)的知識(shí)就越熟悉，就越容易理解知識(shí)中隱喻的內(nèi)容，就越容易形成獨(dú)到的見(jiàn)解，有深刻的理解在說(shuō)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，教師和學(xué)生都可以對(duì)敘述者進(jìn)行進(jìn)一步追問(wèn)，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的不同表達(dá)形式解決的辦法和出現(xiàn)的錯(cuò)誤，學(xué)習(xí)者之間相互啟發(fā)，促進(jìn)全體學(xué)習(xí)者在敘述過(guò)程中的共同成長(zhǎng)。

說(shuō)數(shù)學(xué)，可以說(shuō)定義、定理、公式、法則的形成與內(nèi)涵。例如在說(shuō)函數(shù)概念的過(guò)程中，師生可以追問(wèn)一些反例，讓說(shuō)者可以通過(guò)調(diào)節(jié)定義域，對(duì)應(yīng)法則，值域，畫(huà)圖像，從任意性、唯一性上破和立，從而加深對(duì)函數(shù)三要素和兩性的理解。如對(duì)求“圖像過(guò)A（0，1），B（-1，2），C（2，3）的偶函數(shù)的解析式”的說(shuō)題，學(xué)生說(shuō)出解題失敗的原因有：“過(guò)這三點(diǎn)的二次函數(shù)不行，以A為頂點(diǎn)的二次函數(shù)不能同時(shí)過(guò)B，C，畫(huà)射線AB，AC顯然不對(duì)稱；原因在于偶函數(shù)條件只用于檢驗(yàn)未用與解題，依據(jù)對(duì)稱性可以先局部解決x>0的解析式，只要將B點(diǎn)對(duì)稱到B′（1，2），然后在求過(guò)點(diǎn)A，B′，C的二次函數(shù)或線段AB′，B′C都可以，最后在求函數(shù)解析式即可。”從說(shuō)題過(guò)程中可以看出思維定勢(shì)的克服，思路的調(diào)節(jié)，方法的確立等動(dòng)態(tài)過(guò)程能讓學(xué)生學(xué)到活的數(shù)學(xué)，說(shuō)數(shù)學(xué)，也可以說(shuō)章節(jié)的內(nèi)容歸納，方法小結(jié)等提高學(xué)生的思維綜合能力。

2.做

題目是學(xué)生做出來(lái)的。課堂上一定要給學(xué)生相對(duì)充分的時(shí)間讓他們做數(shù)學(xué)題，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性與否，最終取決于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解、掌握與否。只有讓學(xué)生做（尤其上黑板板演），才能充分暴露學(xué)生存在的問(wèn)題，這才是真實(shí)的學(xué)情，這樣教學(xué)才能有的放矢。做題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，也是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)理解的最有效途徑，這里所講的做，就是扎扎實(shí)實(shí)地做題，正是由于學(xué)生中存在大量的死記硬背，機(jī)械模仿，不會(huì)做的問(wèn)題不研究，甚至不會(huì)做的干脆空著不做等不良現(xiàn)象，我們才提出扎扎實(shí)實(shí)地做題的口號(hào)。扎扎實(shí)實(shí)地做題就是要求學(xué)生認(rèn)真細(xì)致地做完每一道題，做好每一道題，做題過(guò)程要全面，書(shū)寫(xiě)要規(guī)范，盡量吃準(zhǔn)做透，練好基本功。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師率先垂范，課上板書(shū)工整示例規(guī)范，解題完整，小處強(qiáng)調(diào)步驟，大處歸納方法。課后練習(xí)與課堂內(nèi)容注意匹配得當(dāng)，做到講什么練什么，幫助學(xué)生趁熱打鐵，鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，對(duì)學(xué)生要求不懂就問(wèn)教師也要主動(dòng)追問(wèn)。作業(yè)不留空白，不抄襲，對(duì)不能按時(shí)完成作業(yè)的學(xué)生，教師以面批形式了解學(xué)生困難所在，并以小跨度高密度的同類練習(xí)逐步提高其解題能力并深化理解，對(duì)理解上有較大困難的問(wèn)題，采取滾動(dòng)式練習(xí)的方法，不斷反饋，強(qiáng)化，幫助學(xué)生形成系統(tǒng)性較強(qiáng)的深刻理解。

3.變

變則通，通則達(dá)。人們對(duì)知識(shí)的深刻理解，都具有一定的時(shí)空性、階段性和漸進(jìn)性，都需要在一定的環(huán)境變化下反復(fù)理解，才能不斷深入。變就是變式練習(xí)，變式是指對(duì)數(shù)學(xué)概念和問(wèn)題進(jìn)行不同角度、不同情形的變換，凸顯概念的本質(zhì)和外延，突出問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征，揭示知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系。變式練習(xí)就是讓學(xué)生在練習(xí)過(guò)程中通過(guò)多角度地分析、比較、聯(lián)系，掌握概念的本質(zhì)和問(wèn)題的結(jié)構(gòu)及解決策略。變式練習(xí)包括概念變式和過(guò)程性變式。

概念變式可以通過(guò)變換概念的非本質(zhì)屬性進(jìn)行，如直線和平面垂直概念的形成和理解，以變式教學(xué)的方式展開(kāi)，收效顯著。教師直觀演示面垂直后問(wèn)：同學(xué)們認(rèn)為線面垂直應(yīng)當(dāng)轉(zhuǎn)化為什么垂直？學(xué)生很容易聯(lián)想回答：線線垂直。教師邊追問(wèn)邊讓學(xué)生演示，這條直線和平面內(nèi)的一條直線垂直行嗎？無(wú)數(shù)條？所有直線？最少要幾條？通過(guò)變換直線的條數(shù)和位置特征，逐漸突出線面垂直的本質(zhì)聯(lián)系揭示線面垂直的本質(zhì)屬性，加深學(xué)生對(duì)線面垂直概念的理解。概念變式還可以通過(guò)同一概念的等價(jià)形式促進(jìn)對(duì)如等差數(shù)列概念等的理解。在數(shù)列單元復(fù)習(xí)時(shí)，教師就引領(lǐng)學(xué)生共同發(fā)現(xiàn)概念的等價(jià)形式，通過(guò)這些等價(jià)形式，可以幫助學(xué)生建立等差數(shù)列的遞推公式，通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式的緊密聯(lián)系，從不同角度用不同知識(shí)加深對(duì)等差數(shù)列概念對(duì)理解，形成一個(gè)立體化的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。概念變式，也常以非概念變式明晰概念對(duì)外延，其中以判斷，是非題出現(xiàn)的反例變式是最常見(jiàn)的形式，例如，在函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)中，我們可以用判斷題：定義在R上的函數(shù)f（x）若f（2）

過(guò)程性變式，在問(wèn)題的形成過(guò)程中，根據(jù)問(wèn)題的層次性、學(xué)生認(rèn)識(shí)的階段性，常需要以小步驟遞進(jìn)的方式呈現(xiàn)問(wèn)題，做好鋪墊，幫助學(xué)生拾級(jí)而上。如二次函數(shù)值域的求解問(wèn)題，為了更好地幫助學(xué)生自然過(guò)渡，教師就設(shè)計(jì)了問(wèn)題串，先以一題多問(wèn)的形式讓學(xué)生在具體的問(wèn)題中觀察歸納，逐漸把握求二次函數(shù)值域的規(guī)律，對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系然后在抽象應(yīng)用到定軸動(dòng)區(qū)間和動(dòng)軸定區(qū)間問(wèn)題上，通過(guò)變式問(wèn)題串層層推進(jìn)，逐步展開(kāi)，有利于增強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)運(yùn)用的信心，提高熟練程度，有利于對(duì)解題規(guī)律的深層次把握和靈活運(yùn)用，過(guò)程式變式也可以對(duì)同一個(gè)問(wèn)題以不同的方式呈現(xiàn)，以幫助學(xué)生多角度、全方位地理解問(wèn)題和把握方法，常用的就是研究問(wèn)題的反面，逆命題等。

4.編

“紙上得來(lái)終覺(jué)淺，絕知此事要躬行?！碧岣邔W(xué)習(xí)能力，促進(jìn)數(shù)學(xué)理解的最好方法就是讓學(xué)生參與教學(xué)的全過(guò)程，讓學(xué)生學(xué)會(huì)提出問(wèn)題，反思問(wèn)題，解決問(wèn)題，在過(guò)程中成長(zhǎng)，在歷練中熟練。編，就是自編題練習(xí)，自編題練習(xí)是學(xué)生參與教學(xué)最易操作的手段，所有學(xué)生參與問(wèn)題的提出過(guò)程對(duì)促進(jìn)概念的深化、問(wèn)題結(jié)構(gòu)的把握、數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟都有較大的幫助。讓學(xué)生在自編自解中反思所學(xué)知識(shí)的過(guò)程，是一個(gè)高效的內(nèi)化過(guò)程，學(xué)生想要結(jié)合原概念和問(wèn)題編出并解答一個(gè)類似的問(wèn)題，首先得吃透原概念和問(wèn)題，如果要編制一個(gè)略有新意的問(wèn)題，要反復(fù)推敲，就促進(jìn)學(xué)生對(duì)原概念和問(wèn)題做出深入對(duì)剖析和廣泛的聯(lián)想。如果讓其他同學(xué)信服自己的問(wèn)題就必須做出準(zhǔn)確的解答，又促使學(xué)生對(duì)新問(wèn)題進(jìn)行研究，隨著研究的深入對(duì)問(wèn)題要素的把握也會(huì)越來(lái)越清晰，對(duì)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟也就越來(lái)越深刻。每個(gè)青少年都有好奇心和好勝心，這種富有挑戰(zhàn)性的做法極大地滿足了他們的內(nèi)在渴望，可以調(diào)動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自覺(jué)性，內(nèi)省力可以大幅度提高學(xué)生的歸納水平和創(chuàng)新能力。

自編練習(xí)題往往是從結(jié)構(gòu)模仿到思維深刻的過(guò)程。例如在求函數(shù)解析式的數(shù)學(xué)中，學(xué)生參與編了一道題的解析式：已知函數(shù)f（X）=x+1，求f（f（x）），求f（f（f（x））），并猜想f（...f（x）...）。在這個(gè)自編題過(guò)程中，問(wèn)題由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，逐漸向縱深發(fā)展，學(xué)生相互啟發(fā)，逐漸體會(huì)到函數(shù)迭代、歸納猜想等重要思想方法，自編題練習(xí)的過(guò)程往往是促進(jìn)反思深化理解的過(guò)程。

如果每節(jié)課上，教師都堅(jiān)持從以上方面組織教學(xué)，堅(jiān)持循序漸進(jìn)，打持久戰(zhàn)，那么相信學(xué)生定能逐步養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。在實(shí)施過(guò)程中特別要強(qiáng)調(diào)學(xué)生的參與，注意問(wèn)題的層次性，尤其要讓學(xué)困生有較多的展示機(jī)會(huì)，用成功激發(fā)興趣，用挑戰(zhàn)激蕩希望，必然可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解，提高課堂教學(xué)效率。