吸振器底座對減振效果的影響研究

徐振邦，吳清文

(中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所，長春 130033)

柔性結構由于其質量輕的優(yōu)點，被廣泛用于航天、航天設備中。柔性結構應用中的最大困難來自于彈性模態(tài)共振。因此，能夠抑制柔性結構共振的技術成為了振動控制領域的研究熱點之一。吸振器技術就是一種能夠有效抑制結構彈性模態(tài)共振的振動控制技術，該技術具有使用方便、效果好等優(yōu)點。

柔性結構由于其自身特性，在一定頻率范圍內通常具有多階彈性模態(tài)。若僅某一階模態(tài)需要進行控制，則可將柔性結構等效為單自由度結構，其控制方法相對成熟[1]。因此該領域的研究大部分集中在多模態(tài)控制方面，適用的吸振器技術包括多吸振器[2-4]，多自由度吸振器[5-6]以及主動[7-8]或半主動吸振器[9-10]技術。多吸振器技術使用多個吸振器來控制結構的多階模態(tài)。通過多個吸振器的共同作用拓展減振帶寬。文獻[2]中具體研究了該技術的作用機理，其研究結果表明：在窄帶內，主結構和吸振器的交互作用是主導因素，而在較寬的頻帶內，吸振器的阻尼主導其性能。多自由度吸振器是一種相對新穎的振動抑制技術，該技術利用多自由度吸振器振子的特性來衰減系統(tǒng)的多階模態(tài)共振。當吸振器振子為剛體時，該技術最多能衰減系統(tǒng)的六階模態(tài)[5]，當吸振器振子為彈性體[6]時，能夠控制更多階彈性模態(tài)。多模態(tài)吸振器比其他類型吸振器的影響參數更多，因此多個參數的優(yōu)化設計為該技術的重點研究內容。半主動和主動吸振器具有可調的結構或控制參數，因此這兩種技術的有效帶寬更寬，減振效果更好，但技術的復雜度較高，影響了技術可靠性。

調研中發(fā)現(xiàn)，該領域的研究中普遍將吸振器的底座忽略，或將其簡單的等效為集中質量點，當減振對象為剛性時，這種方式是合理的。但當減振對象為柔性結構時，底座的剛度和質量就將對結構產生影響，在這種情況下，上述處理方式就不在適合。為此，本文重點研究了吸振器底座對其減振效果的影響，并進一步通過理論和仿真分析考察不同底座參數對減振效果的影響情況。

1 理論建模

圖1為帶有底座吸振器的系統(tǒng)模型圖。用兩端固支的彈性梁作為減振對象，其上安裝帶有底座吸振器。有底座吸振器由底座和其上的單自由度阻尼彈性結構構成。建模中，吸振器底座采用剛性質量塊模擬，在底座和梁之間采用多個剛性點連接的方式模擬剛性較強的螺栓連接。柔性梁主系統(tǒng)中各位置處的振動情況不同，因此采用功率流表征主系統(tǒng)的整體振動情況[11-12]。通過考查輸入到彈性梁中的功率流變化來考察吸振器的減振效果。

圖1 仿真模型圖

圖1所示結構可看作由兩級子系統(tǒng)構成：第一級子系統(tǒng)由彈性梁及附加其上的有底座吸振器構成；第二級子系統(tǒng)為有底座吸振器，該系統(tǒng)可看作是在底座上附加單自由度結構構成的。二級系統(tǒng)具有數學上的相似性，因此下面的推導中首先建立在某一結構上附加N個子結構的一般性動力學方程，進而推導出圖1所示結構的數學模型。

設某系統(tǒng)激勵點的原點導納為Zp，在該系統(tǒng)上安裝N個導納為Hs的子系統(tǒng)，對整個系統(tǒng)有：

(1)

其中;Vp為激勵點處的速度矢量，Vs為子系統(tǒng)安裝點處的速度矢量，Zps為主系統(tǒng)上激勵點和子系統(tǒng)安裝點之間的導納矩陣，Zss為主系統(tǒng)上各子系統(tǒng)安裝點間的導納矩陣，F(xiàn)p為系統(tǒng)激勵力，F(xiàn)s為N個子結構施加給主系統(tǒng)的作用力。對N個子系統(tǒng)有：

Vs=-DFs

(2)

式(2)中D=diag(Hs)N×N，聯(lián)立方程(1)，(2)得：

[Zp+ΔZ]Fp

(3)

Vs=-DZps-1ΔZFp,Fs=Zps-1ΔZFp

(4)

利用式(3)，(4)即可求得系統(tǒng)中各個環(huán)節(jié)處的振動響應。據此進一步求得系統(tǒng)中各個環(huán)節(jié)處的功率流情況。外界輸入到整個系統(tǒng)的總功率流為：

(5)

由主系統(tǒng)傳入到N個子系統(tǒng)的功率流為：

(6)

以上兩者之差即為殘留在主系統(tǒng)的凈功率流：

P=Pin-Pout

(7)

盡量減少這部分功率流就是吸振器的減振目標。

下面在以上推導的基礎上，求出圖1所示結構的數學模型。首先推導有底座吸振器的數學模型。該吸振器可看成在質量塊上附加一個單自由度結構組成。根據以上推導，先求出質量塊的導納矩陣。剛性質量塊上任意兩點間的導納為：

(8)

式中:M為質量塊質量，J為質量塊繞質心的轉動慣量，xp和xq為質量塊上兩點相對于質心的位置坐標，為激勵力的角頻率。在五點安裝的情況下，質量塊的導納為：

(9)

(10)

式中:xe為吸振器安裝點的位置坐標，為單自由度結構的導納，具體表達式如下：

(11)

其中:ka為單自由度結構的彈簧剛度，ma為振子的質量，ca為彈簧阻尼。下面推導梁和有底座吸振器耦合系統(tǒng)的方程。兩端固支梁上任意兩點間的導納為：

(12)

Zp=Zls(xf,xf)

(13)

(14)

(15)

(16)

吸振器的減振效果可采用有、無吸振器時，輸入到系統(tǒng)中的凈功率流之比來保證，具體計算方法如下：

(17)

式(17)中，Pwith為安裝吸振器后輸入到系統(tǒng)中的凈功率流，Pwithout為未安裝吸振器時輸入到系統(tǒng)中的凈功率流。

2 仿真結果

下面介紹仿真研究結果。仿真中彈性梁的尺寸設為1 m×0.05 m×0.005 m，密度為7 800 kg/m3，彈性模量為2.0×1011Pa，泊松比為0.3，質量為1.95 kg。計算得到彈性梁的前兩階固有頻率分別為：

f1=27.3 Hzf2=75.3 Hz

2.1 有、無底座吸振器減振效果比較

首先比較有、無底座吸振器的減振性能。設兩種吸振器的總質量均為0.2 kg，對于無底座吸振器來說，其總質量即為動子質量。有底座吸振器的底座將占據部分質量，設為0.04 kg，則動子質量為0.16 kg。底座尺寸設為0.1 m。

系統(tǒng)一階固有頻率的影響通常最大，因此兩種吸振器的參數都針對一階固有頻率進行設計。根據經典的不動點優(yōu)化方法[13]計算得到的吸振器最佳調諧頻率和阻尼比為：

fa=24.8 Hzζ=0.167

有底座吸振器通過三個安裝點和底座固連。三個安裝點在底座上平均分布。計算中以位于中間的安裝點的位置作為吸振器的安裝位置。為求一般性，計算中激勵施加在0.25 m處，在該處施加激勵，能夠激發(fā)出系統(tǒng)的兩階固有頻率。吸振器安裝在和激勵位置相同的位置。

圖2為兩種吸振器減振特性的比較。圖2(a)為采用公式(17)表征的吸振器減振效果。圖2(b)為輸入系統(tǒng)的功率流。由圖2(a)可見，在系統(tǒng)的一階固有頻率處兩種吸振器都能取得很好的減振效果，且無底座吸振器的減振效果要好于有底座吸振器，其原因是無底座吸振器的質量都集中在振子上，質量利用率更高。在系統(tǒng)一、二階固有頻率(包括二階固有頻率)之間的較寬頻帶內，有底座吸振器的減振效果明顯優(yōu)于無底座吸振器。在系統(tǒng)二階頻率以上，有底座吸振器出現(xiàn)負效果。

圖2 減振特性比較

以上現(xiàn)象可以通過圖2(b)解釋。安裝有底座吸振器后，將導致系統(tǒng)的二階共振峰向高頻移動，從而使得系統(tǒng)一、二階固有頻率之間的頻帶內的振動出現(xiàn)了明顯衰減。有底座吸振器的這種特點，可以用來拓展吸振器的有效減振帶寬，但是這種方法會使得高頻段內的振動增加，因此采用這種方法的前提是要對激勵力的頻率分布有所了解。由圖2(b)中的三條曲線對比可見，有底座吸振器同無底座吸振器的不同之處主要有三點：一階頻率處的減振效果ΔP1，系統(tǒng)二階峰值的衰減ΔP2以及二階峰值的偏移Δf。這三個參數可作為有底座吸振器減振效果的表征。

2.2 吸振器安裝位置對減振效果的影響

下面考查吸振器的安裝位置對減振效果的影響。圖3(a)為無底座吸振器的減振效果三維圖。由圖3可見：對于系統(tǒng)一階頻率的振動，吸振器安裝在任何位置均能起到一定的減振效果，安裝在系統(tǒng)一階振動的峰值位置(0.5 m)處效果最好；對于系統(tǒng)二階頻率的振動，吸振器安裝在二階模態(tài)的峰值位置處(0.3 m和0.7 m)最好。對于其他頻段內的振動，無底座吸振器基本沒有效果。圖3(b)為有底座吸振器的減振效果三維圖，由圖可見：對于系統(tǒng)一、二階模態(tài)的振動，同無底座吸振器一樣，安裝在峰值位置處效果最好。對于系統(tǒng)一、二階頻率之間頻段的振動，有底座吸振器也能起到一定的減振效果，其安裝在系統(tǒng)二階峰值處的減振效果最為明顯，且安裝在0.3m處的效果要好于安裝在0.7 m處。

圖3 吸振器安裝位置對減振效果的影響

2.3 吸振器動質量和靜質量之比對減振效果的影響

有底座吸振器的質量不是全部集中在振子上，因此需要考慮吸振器的動質量和靜質量之比(動靜比)對減振效果的影響。

圖4為動靜比不同時有底座吸振器三個指標的變化。由圖4可見，隨著動靜比的提高，系統(tǒng)的一階、二階的減振效果均有所提高，并且開始時系統(tǒng)減振效果提高較快，但到了一定程度后，繼續(xù)增大動靜比對系統(tǒng)減振效果的提高影響不大。動靜比的提高能夠加大二階峰值的偏移程度，從而拓展吸振器的減振帶寬，這一現(xiàn)在產生的原因是：底座質量等效增加了主系統(tǒng)二階模態(tài)質量，從而使得系統(tǒng)二階峰值向低頻移動，并且質量越小，低頻移動的越少。但動靜比達到一定范圍后，繼續(xù)提高變化不明顯。這說明，在設計吸振器底座時，要盡量減小吸振器的底座質量，但過于減小對效果的進一步提高無益，反而會影響底座剛度。

2.4 底座尺寸對減振效果的影響

圖5為吸振器底座尺寸不同時，三個指標的變化情況。當吸振器的底座尺寸為0時，吸振器底座退化為集中質量點。

由圖5可見，增加底座尺寸對系統(tǒng)一階頻率處的效果影響很小，因此若僅考慮用吸振器控制系統(tǒng)一階頻率，底座尺寸的影響可以忽略。尺寸增加會使得系統(tǒng)二階頻率處的減振效果略有提高。但改善不明顯。底座尺寸的增加會導致二階峰值的偏移范圍加大，因此若要拓展吸振器的有效帶寬，底座尺寸應盡量加大。但底座尺寸加大時，會影響底座剛度，因此要綜合考慮。

2.5 連接點個數的影響

吸振器底座和梁之間連接點的個數將影響兩者的連接剛度，安裝點數越多，連接剛度越大。下面考查不同安裝點個數對減振效果的變化。

由圖6可見，增加安裝點個數對一階、二階固有頻率處的減振效果影響較小。對于頻率偏移，二個安裝點時，系統(tǒng)的二階頻率沒有偏移，其原因如下：僅有兩個安裝點時，彈性梁的局部振型不會被底座所改變，因此其局部剛度未發(fā)生改變，也就不會產生頻率偏移。三、四、五個安裝點時，峰值的偏移程度基本一致。這說明有底座吸振器的安裝點個數三個就能夠滿足需求。

圖4 底座質量對減振效果及頻率偏移的影響

——不安裝吸振器；------吸振器安裝在0.3m處；——吸振器安裝在0.7 m處

2.6 對振幅的衰減效果

以上仿真中均考察的是對系統(tǒng)輸入凈功率流的影響，工程上有時更關心系統(tǒng)的振幅衰減情況。圖7(a～d)顯示在激勵頻率分別為27 Hz、46 Hz、60 Hz和75 Hz四種典型情況下，系統(tǒng)的加速度振幅響應情況。由圖7可見，在27～75 Hz的頻率范圍內，安裝有底座吸振器后，均能起到一定的減振效果。在系統(tǒng)一階及二階固有頻率處的減振效果最為明顯。安裝在梁0.3 m處的吸振器的減振效果略好于安裝在0.7 m處，特別是在45 Hz及60 Hz的中間頻段處。

3 結 論

本文研究了吸振器底座對吸振器減振性能的影響。研究結果表明：通過合理設計吸振器底座，能夠拓展吸振器的有效減振帶寬。底座的安裝位置、質量比、尺寸以及連接點個數等因素都會對減振性能造成影響，一般而言，底座的質量越小，尺寸越大，連接點個數越多，其效果越好，但一味增加這些參數指標，并不會給減振效果帶來太大改善。因此在設計吸振器底座時，要對以上參數進行合理設計，以便實現(xiàn)減振效果的最優(yōu)化。

以上結論均是在吸振器的底座剛度較大，可以等效為剛體質量時取得的。底座柔性較大，不能視為剛體的情況，需要進一步研究。

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