捕獲載荷沖擊漂浮基柔性空間機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)響應(yīng)評(píng)估與自適應(yīng)鎮(zhèn)定控制及主動(dòng)抑制

董楸煌，陳 力

(福州大學(xué) 機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，福州 350108)

隨太空環(huán)境的開(kāi)發(fā)、利用，空間機(jī)械臂將協(xié)助或代替宇航員完成太空作業(yè)任務(wù)，因此其相關(guān)理論與技術(shù)研究廣受關(guān)注[1-3]。對(duì)漂浮基空間機(jī)械臂，其漂浮基與機(jī)械臂間存在相互耦合運(yùn)動(dòng)。由于機(jī)械臂柔性桿等彈性附件的振動(dòng)，使空間機(jī)械臂系統(tǒng)存在剛?cè)徇\(yùn)動(dòng)耦合，因此空間機(jī)械臂系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性及基于動(dòng)力學(xué)的控制問(wèn)題相對(duì)地面機(jī)械臂更復(fù)雜[4-5]。地面機(jī)械臂已有諸多研究成果，如考慮柔性機(jī)械臂的軌跡跟蹤及柔性振動(dòng)主動(dòng)抑制的控制[6]、將關(guān)節(jié)控制器與柔性振動(dòng)控制器進(jìn)行復(fù)合疊加以實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)械臂關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)與振動(dòng)抑制的同時(shí)控制[7]等均可作為空間機(jī)械臂研究參考依據(jù)?？臻g機(jī)械臂進(jìn)行太空作業(yè)過(guò)程中不可避免與載荷發(fā)生接觸碰撞，會(huì)造成空間機(jī)械臂系統(tǒng)不穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)及柔性附件彈性振動(dòng)等[8]，因此對(duì)空間機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)與控制進(jìn)行研究具有理論及工程應(yīng)用價(jià)值。

空間機(jī)械臂受捕獲載荷沖擊碰撞為復(fù)雜、多體系統(tǒng)碰撞動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。本文基于動(dòng)量守恒原理，利用動(dòng)量沖量法評(píng)估漂浮基空間機(jī)械臂受沖擊后動(dòng)力學(xué)響應(yīng)?？紤]沖擊影響效應(yīng)會(huì)引起空間機(jī)械臂與載荷組合體系統(tǒng)不穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)及柔性桿彈性振動(dòng)，設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制算法對(duì)組合體系統(tǒng)不穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)進(jìn)行鎮(zhèn)定控制。該控制算法無(wú)需控制漂浮基位置，且能克服載荷參數(shù)未知對(duì)控制系統(tǒng)影響。在自適應(yīng)控制算法基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)線性二次最優(yōu)復(fù)合控制算法對(duì)柔性桿彈性振動(dòng)進(jìn)行主動(dòng)抑制。通過(guò)數(shù)值仿真進(jìn)一步評(píng)估受載荷沖擊后空間機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，驗(yàn)證控制算法的有效性。

1 漂浮基柔性空間機(jī)械臂系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

以平面運(yùn)動(dòng)漂浮基柔性空間機(jī)械臂為對(duì)象，研究其在軌捕獲載荷過(guò)程，見(jiàn)圖1。該機(jī)械臂由漂浮基B0及兩連桿B1，B2組成，其中連桿B2為均勻細(xì)長(zhǎng)柔性桿，忽略機(jī)械臂末端爪手結(jié)構(gòu)，將其假設(shè)為一點(diǎn)P，建立平動(dòng)慣性坐標(biāo)系O-XY及各分體主軸坐標(biāo)系Oi-XiYi(i=0,1,2)。O0為漂浮基質(zhì)心；O1，O2為機(jī)械臂兩關(guān)節(jié)鉸轉(zhuǎn)動(dòng)中心。定義x0，y0，θ0為漂浮基位置及姿態(tài)；θ1，θ2為機(jī)械臂兩關(guān)節(jié)角角度，即系統(tǒng)廣義坐標(biāo)q=[x0y0θ0θ1θ2δ1δ2]T；mi(i=0，1)為漂浮基B0，B1質(zhì)量；Ji(i=0，1)為對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；ρ，EI為柔性連桿B2線密度、抗彎剛度；l0為O0與O1間直線距離；li(i=1,2)為兩連桿長(zhǎng)度。

圖1 漂浮基空間機(jī)械臂捕獲載荷過(guò)程

圖2 柔性桿的變形示意圖

忽略柔性連桿B2的軸向及剪切變形，將其假設(shè)為Euler-Bernoulli梁，見(jiàn)圖2。柔性桿在X2坐標(biāo)主軸上x(chóng)2(0≤x2≤l2)處質(zhì)點(diǎn)彈性彎曲變形可據(jù)假設(shè)模態(tài)法[9]表示為

(1)

式中：δi，φi(x2)分別為第i階模態(tài)坐標(biāo)及函數(shù)；n為模態(tài)階數(shù)，忽略高階模態(tài)取n=2。

結(jié)合柔性連桿變形假設(shè)，據(jù)幾何關(guān)系，空間機(jī)械臂漂浮基質(zhì)心、剛性桿質(zhì)心、柔性桿x2(0≤x2≤l2)處質(zhì)點(diǎn)及末端爪手P相對(duì)O-XY原點(diǎn)O的失徑r0，r1，r2，rP可表示為

(2)

式中：ei(i=0,1,2)為Xi軸基矢量，e3=[0, -1; 1, 0]e2為與X2軸垂直正交基矢量。

對(duì)式(2)求時(shí)間導(dǎo)數(shù)得

(3)

(4)

據(jù)式(3)空間機(jī)械臂系統(tǒng)動(dòng)能可表示為

(5)

式中：υi(i=0,1)為漂浮基B0及連桿B1角速度。

據(jù)柔性連桿B2彈性彎曲變形式(1)，其彈性勢(shì)能可表示為

(6)

利用第二類拉格朗日方程，并結(jié)合式(5)、(6)，推導(dǎo)得動(dòng)力學(xué)模型為

(7)

2 受捕獲載荷沖擊后空間機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)響應(yīng)評(píng)估

設(shè)空間機(jī)械臂捕獲載荷為B3，并視為單剛體系統(tǒng)，質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為m3，J3；質(zhì)心O3與外部捕獲點(diǎn)P′間直線距離為l3。該載荷質(zhì)心位置與姿態(tài)定義為x3，y3，β。該載荷以一定速度飛向機(jī)械臂爪手P，而空間機(jī)械臂通過(guò)控制，以較佳構(gòu)型靜止等候以捕獲該載荷。據(jù)幾何關(guān)系知載荷外部捕獲點(diǎn)P′與廣義速度間存在運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系為

(8)

設(shè)捕獲過(guò)程中該載荷不受其它外力作用，僅與空間機(jī)械臂末端爪手發(fā)生接觸碰撞時(shí)在捕獲點(diǎn)P′受機(jī)械臂爪手作用力FP′；在空間機(jī)械臂捕獲該載荷接觸碰撞過(guò)程中FP′與FP為一對(duì)作用力與反作用力，則

FP=-FP′

(9)

利用牛頓-歐拉法，推導(dǎo)得該載荷動(dòng)力學(xué)模型為

(10)

式中：Dt∈R3×3為載荷慣量矩陣。

空間機(jī)械臂捕獲載荷過(guò)程中與載荷碰撞沖擊為復(fù)雜的多體系統(tǒng)碰撞動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。捕獲過(guò)程空間機(jī)械臂與載荷若除兩者間相互作用力外不受其它外力作用，據(jù)動(dòng)量守恒原理，該碰撞過(guò)程實(shí)質(zhì)為兩者間動(dòng)量相互傳遞。將式(9)、(10)代入式(7),得空間機(jī)械臂與載荷組合體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型為

(11)

機(jī)械臂末端爪手捕獲載荷過(guò)程中，兩者間接觸碰撞持續(xù)時(shí)間Δt較短暫。據(jù)動(dòng)量沖量法，將式(11)對(duì)該接觸碰撞持續(xù)時(shí)間進(jìn)行積分得

(12)

式中：t0為臨接觸碰撞時(shí)刻。

在空間機(jī)械臂捕獲載荷過(guò)程中，機(jī)械臂末端爪手P與載荷接觸點(diǎn)P′之間碰撞沖擊力較大。為避免該沖擊力對(duì)空間機(jī)械臂系統(tǒng)造成沖擊損壞、緩沖該碰撞沖擊，在載荷與機(jī)械臂末端爪手接觸碰撞過(guò)程中令空間機(jī)械臂控制輸入為0，即τ=0；且關(guān)節(jié)鉸處于自由轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)。由于接觸碰撞持時(shí)Δt較短，故該過(guò)程空間機(jī)械臂系統(tǒng)廣義坐標(biāo)并未發(fā)生顯著變化，但由于巨大碰撞沖擊力會(huì)使廣義速度發(fā)生變化，造成空間機(jī)械臂系統(tǒng)不穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)及柔性桿彈性振動(dòng)。因此，式(12)部分積分結(jié)果可近似表示為

(13)

式(13)等號(hào)左端絕對(duì)值及等號(hào)右端積分項(xiàng)內(nèi)絕對(duì)值均為有限量，但由于Δt絕對(duì)值極小，故其積分后絕對(duì)值也極小，與等號(hào)左端相比可忽略不計(jì)。式(13)可近似表示為

(14)

設(shè)空間機(jī)械臂末端爪手與載荷發(fā)生接觸碰撞后鎖緊固連，則由式(4)、(8)得

(15)

聯(lián)立式(14)、(15)，可計(jì)算得接觸碰撞后時(shí)刻t0+Δt空間機(jī)械臂廣義速度為

(16)

式(16) 即為受捕獲載荷沖擊后漂浮基柔性空間機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)響應(yīng)評(píng)估。

3 受捕獲載荷沖擊后空間機(jī)械臂自適應(yīng)鎮(zhèn)定控制與振動(dòng)主動(dòng)抑制

漂浮基柔性空間機(jī)械臂在捕獲載荷過(guò)程中，由于載荷沖擊碰撞造成空間機(jī)械臂系統(tǒng)不穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)及柔性桿彈性振動(dòng)會(huì)影響空間機(jī)械臂正常工作，甚至造成結(jié)構(gòu)損壞，因此需對(duì)捕獲載荷后空間機(jī)械臂與載荷組合體不穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)進(jìn)行鎮(zhèn)定控制及抑制柔性桿彈性振動(dòng)。針對(duì)該問(wèn)題，本文設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制算法輸入τa對(duì)不穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)進(jìn)行鎮(zhèn)定控制，結(jié)合線性二次最優(yōu)控制算法輸入τv對(duì)柔性桿彈性振動(dòng)進(jìn)行主動(dòng)抑制，即設(shè)計(jì)復(fù)合控制算法輸入τ=τa+τv，以實(shí)現(xiàn)兩項(xiàng)控制目標(biāo)。

3.1 自適應(yīng)控制算法設(shè)計(jì)

空間機(jī)械臂捕獲載荷后，兩者將成為組合體系統(tǒng)，其動(dòng)力學(xué)模型見(jiàn)式(11)。由式(4)、(8)得

(17)

(18)

組合體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型存在特性[10]為

(19)

式中：z∈R7×1為任意向量。

由于空間機(jī)械臂漂浮基位置控制推進(jìn)器的開(kāi)啟需消耗大量燃料，影響空間機(jī)械臂在軌使用時(shí)長(zhǎng)。為此，漂浮基位置往往不受控，組合體系統(tǒng)控制輸入τ中漂浮基位置控制輸入為0，即式(18)為欠驅(qū)動(dòng)形式；被捕獲載荷參數(shù)往往未知，會(huì)影響控制效果。經(jīng)分析，式(18)將保持關(guān)于載荷未知參數(shù)呈線性化關(guān)系，便于自適應(yīng)控制算法設(shè)計(jì)。綜之，本文將設(shè)計(jì)欠驅(qū)動(dòng)形式增廣自適應(yīng)控制算法，實(shí)現(xiàn)對(duì)組合體系統(tǒng)不穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)進(jìn)行鎮(zhèn)定控制，控制器可通過(guò)自適應(yīng)算法對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行在線計(jì)算調(diào)整，提高控制系統(tǒng)性能。

定義空間機(jī)械臂系統(tǒng)增廣實(shí)際輸出為

(20)

式中：qb=[x0y0]T，qv=[δ1δ2]T分別為欠驅(qū)動(dòng)情況下漂浮基位置及柔性桿模態(tài)坐標(biāo)輸出，qa=[θ0θ1θ2]T為漂浮基姿態(tài)與機(jī)械臂關(guān)節(jié)角度輸出。

定義增廣期望輸出為

(21)

式中：qad=[θ0dθ1dθ2d]T為實(shí)際期望輸出。

結(jié)合式(20)、(21),定義增廣期望輸出與增廣實(shí)際輸出間誤差為

(22)

式中：ea=qad-qa。

定義增廣誤差為

(23)

(24)

據(jù)式(23)、(24)，得

(25)

據(jù)式(25)可將組合體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型式(18)變?yōu)?/p>

(26)

基于式(26)，設(shè)計(jì)欠驅(qū)動(dòng)增廣自適應(yīng)控制算法輸入τa為

(27)

對(duì)未知參數(shù)，設(shè)計(jì)自適應(yīng)調(diào)節(jié)規(guī)律為

(29)

式中：γ為正常數(shù)。

證明：設(shè)s=0，Φ=0為無(wú)擾運(yùn)動(dòng)，式(28)、(29)為受擾運(yùn)動(dòng)方程；選擇正定函數(shù)為準(zhǔn)Lyapunov函數(shù)

(30)

計(jì)算V的全導(dǎo)數(shù)，將式(19)、(28)、(29)代入得

(31)

式中：K2=diag(I2×2,ka,I2×2)，I2×2為二階單位陣。

3.2 線性二次最優(yōu)控制算法設(shè)計(jì)

(32)

將式(32)展開(kāi)為

(33)

式中：Kvv=diag(k1,k2)，τi=[τ0τ1τ2]T為控制輸入力矩。

將式(33)寫(xiě)為

(34)

(35)

(36)

定義以減少?gòu)椥哉駝?dòng)及能量消耗為優(yōu)化目標(biāo)的線性二次最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)為

(37)

式中：Q，R為加權(quán)對(duì)稱矩陣。

(38)

式中：P為Ricatti方程的解：PA+ATP-PBR-BTP+Q=0。

結(jié)合式(34)第一式，基于逆動(dòng)力學(xué)理論，抑制柔性桿彈性振動(dòng)控制輸入可定義為

(39)

抑制柔性桿彈性振動(dòng)主動(dòng)控制欠驅(qū)動(dòng)輸入為

(40)

綜上，為對(duì)捕獲載荷后組合體系統(tǒng)不穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)進(jìn)行鎮(zhèn)定控制及對(duì)柔性桿的彈性振動(dòng)進(jìn)行主動(dòng)抑制，需對(duì)自適應(yīng)控制輸入及線性二次最優(yōu)控制輸入進(jìn)行復(fù)合疊加，得復(fù)合控制輸入為

τ=τa+τv

(41)

4 數(shù)值仿真

通過(guò)數(shù)值仿真對(duì)空間機(jī)械臂捕獲載荷過(guò)程進(jìn)行模擬。仿真考慮三種情況：① 空間機(jī)械臂受捕獲載荷沖擊后不進(jìn)行任何主動(dòng)控制，即關(guān)閉所有控制器情況下動(dòng)力學(xué)響應(yīng)仿真；② 僅開(kāi)啟自適應(yīng)控制器進(jìn)行主動(dòng)控制情況下動(dòng)力學(xué)響應(yīng)仿真；③開(kāi)啟自適應(yīng)及線性二次最優(yōu)復(fù)合控制器主動(dòng)控制情況下動(dòng)力學(xué)響應(yīng)仿真。仿真時(shí)，空間機(jī)械臂各分體幾何參數(shù)為l0=1.5 m，l1=3 m，l2=3 m；各分體質(zhì)量及中心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為m0=30 kg，m1=5 kg，J0=20 kg·m2，J1=3 kg·m2；柔性桿線密度為ρ=1 kg/m；抗彎剛度為EI=200 N·m2。載荷參數(shù)為m3=8 kg；J3=3 kg·m2；l3=0.2 m。

4.1 關(guān)閉控制器時(shí)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)仿真

為評(píng)估空間機(jī)械臂捕獲載荷過(guò)程中所受沖擊影響效應(yīng)，空間機(jī)械臂受載荷沖擊后關(guān)閉所有控制器，利用組合體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型式(18)計(jì)算獲得其動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，受碰撞沖擊后空間機(jī)械臂系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)產(chǎn)生的突變可據(jù)式(16)計(jì)算。關(guān)閉控制器時(shí)空間機(jī)械臂漂浮基姿態(tài)角θ0、兩關(guān)節(jié)角θ1，θ2響應(yīng)仿真見(jiàn)圖3；柔性桿前兩階模態(tài)坐標(biāo)δ1，δ2響應(yīng)仿真見(jiàn)圖4。由兩圖仿真結(jié)果表明載荷對(duì)空間機(jī)械臂沖擊影響效應(yīng)較大，造成空間機(jī)械臂系統(tǒng)無(wú)規(guī)律運(yùn)動(dòng)及柔性桿持續(xù)彈性振動(dòng)，會(huì)影響空間機(jī)械臂系統(tǒng)穩(wěn)定，甚至造成結(jié)構(gòu)損壞。

圖3 控制器關(guān)閉時(shí)漂浮基姿態(tài)及機(jī)械臂兩關(guān)節(jié)角響應(yīng)

圖4 控制器關(guān)閉時(shí)模態(tài)坐標(biāo)響應(yīng)

4.2 開(kāi)啟自適應(yīng)控制器時(shí)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)仿真

開(kāi)啟自適應(yīng)控制器時(shí)空間機(jī)械臂漂浮基姿態(tài)角θ0、兩關(guān)節(jié)角θ1，θ2響應(yīng)仿真見(jiàn)圖5。由圖5看出，θ0，θ1，θ2角度一直存在小幅波動(dòng)，此因柔性桿持續(xù)彈性振動(dòng)所致。柔性桿前兩階模態(tài)坐標(biāo)δ1，δ2響應(yīng)仿真見(jiàn)圖6。由圖6看出，只開(kāi)啟自適應(yīng)控制器并不能有效抑制柔性桿彈性振動(dòng)。

4.3 開(kāi)啟自適應(yīng)及線性二次最優(yōu)復(fù)合控制器時(shí)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)仿真

為驗(yàn)證線性二次最優(yōu)控制算法對(duì)柔性桿彈性振動(dòng)抑制效果，開(kāi)啟自適應(yīng)與線性二次最優(yōu)復(fù)合控制器，對(duì)捕獲載荷后空間機(jī)械臂與載荷組合體系統(tǒng)進(jìn)行控制。取線性二次最優(yōu)復(fù)合控制器參數(shù)為Q=diag(20,20,20,20)，R=diag(1,1,1)。

開(kāi)啟復(fù)合控制器時(shí)空間機(jī)械臂漂浮基姿態(tài)角θ0、兩關(guān)節(jié)角θ1，θ2響應(yīng)仿真見(jiàn)圖7；柔性桿前兩階模態(tài)坐標(biāo)δ1，δ2響應(yīng)仿真見(jiàn)圖8。兩圖仿真表明，柔性桿彈性振動(dòng)已得到有效抑制及θ0，θ1，θ2角度小幅波動(dòng)得以消除。

圖5 自適應(yīng)控制器開(kāi)啟時(shí)漂浮基姿態(tài)及機(jī)械臂兩關(guān)節(jié)角響應(yīng)

圖6 自適應(yīng)控制器開(kāi)啟時(shí)模態(tài)坐標(biāo)響應(yīng)

圖7 自適應(yīng)與線性二次最優(yōu)復(fù)合控制器開(kāi)啟時(shí)漂浮基姿態(tài)及機(jī)械臂兩關(guān)節(jié)角響應(yīng)

圖8 自適應(yīng)與線性二次最優(yōu)復(fù)合控制器開(kāi)啟時(shí)模態(tài)坐標(biāo)響應(yīng)

5 結(jié) 論

(1) 本文通過(guò)理論推導(dǎo)及數(shù)值仿真，對(duì)受捕獲載荷沖擊后漂浮基柔性空間機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行評(píng)估認(rèn)為，該沖擊影響效應(yīng)會(huì)造成空間機(jī)械臂與載荷組合體系統(tǒng)不穩(wěn)定，甚至結(jié)構(gòu)損壞。

(2) 考慮沖擊影響效應(yīng)及載荷參數(shù)未知情況，設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制算法對(duì)捕獲載荷后不穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)空間機(jī)械臂與載荷組合體系統(tǒng)進(jìn)行鎮(zhèn)定控制。該控制算法無(wú)需控制漂浮基位置，可節(jié)省漂浮基位置控制推進(jìn)器燃料消耗。

(3) 設(shè)計(jì)線性二次最優(yōu)控制算法對(duì)柔性桿彈性振動(dòng)進(jìn)行主動(dòng)抑制，并用自適應(yīng)與線性二次最優(yōu)復(fù)合控制算法對(duì)組合體系統(tǒng)進(jìn)行控制。通過(guò)三種不同的數(shù)值仿真對(duì)比分析，控制算法的有效性得以驗(yàn)證。

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