滾珠絲杠式慣容器試驗(yàn)及力學(xué)性能預(yù)測

孫曉強(qiáng)，陳 龍，汪若塵，張孝良, 陳月霞

(江蘇大學(xué) 汽車與交通工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

為實(shí)現(xiàn)機(jī)械與電子網(wǎng)絡(luò)嚴(yán)格意義的相互對應(yīng)，Smith[1]提出慣容器(Inerter)概念，給出兩端點(diǎn)實(shí)現(xiàn)形式，并探討慣容器的隔振潛力。由此，慣容器、彈簧及減振器結(jié)合的 ISD (Inerter-Spring-Damper)懸架用于F1賽車，大大提升其操控性能[2]。王富正等[3]提出含慣容器的火車懸架，研究表明，該懸架能提升火車的乘坐舒適性及行駛安全性。陳龍等[4-5]對應(yīng)用慣容器的車輛懸架進(jìn)行研究，證實(shí)慣容器能提高車輛懸架的隔振性能；而慣容器應(yīng)用研究均以慣容器理想線性數(shù)學(xué)模型為前提，忽略慣容器實(shí)際結(jié)構(gòu)中存在的非線性因素。文獻(xiàn)[6]通過試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)非線性因素對慣容器的力學(xué)性能有直接影響，并建立含間隙、非線性彈性力的慣容器非線性模型，利用試驗(yàn)數(shù)據(jù)對該模型進(jìn)行非線性回歸分析。文獻(xiàn)[7]在此基礎(chǔ)上加入摩擦力非線性因素，通過建立慣容器非線性數(shù)學(xué)模型，研究慣容器非線性對ISD懸架性能影響。

止今，慣容器的非線性研究仍局限在基于經(jīng)驗(yàn)的簡單數(shù)學(xué)模型，未能充分刻畫實(shí)際工況下慣容器動態(tài)行為，在一定程度上限制了ISD懸架性能的進(jìn)一步提升。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為基于生物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的模型，具有處理強(qiáng)非線性優(yōu)點(diǎn)，雖模型精度依賴于試驗(yàn)數(shù)據(jù)的質(zhì)量、數(shù)量；但隨試驗(yàn)條件的改善，準(zhǔn)確獲取慣容器在不同工況下力學(xué)性能成為可能。本文考慮在慣容器力學(xué)性能試驗(yàn)基礎(chǔ)上，采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對慣容器力學(xué)性能進(jìn)行預(yù)測。針對BP網(wǎng)絡(luò)對初始權(quán)值、閾值較敏感問題，將遺傳算法與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合，通過遺傳算法對BP網(wǎng)絡(luò)的初始權(quán)值、閾值進(jìn)行優(yōu)化，網(wǎng)絡(luò)預(yù)測結(jié)果表明該方法預(yù)測性能良好、預(yù)測精度較高。

1 慣容器工作原理及性能試驗(yàn)

1.1 慣容器工作原理

慣容器與彈簧、減振器同樣為真正意義的兩端點(diǎn)機(jī)械元件，與電學(xué)網(wǎng)絡(luò)中的電容嚴(yán)格對應(yīng)。理想慣容器兩端點(diǎn)間相對加速度與施加于兩端點(diǎn)的力成正比[2]，動態(tài)方程可表示為

(1)

式中：F為施加于兩端點(diǎn)的軸向力；b為慣容器慣容系數(shù)；v1，v2為兩端點(diǎn)速度。

滾珠絲杠式慣容器利用滾珠絲杠副將兩端點(diǎn)間直線運(yùn)動轉(zhuǎn)換為飛輪的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，動力學(xué)方程為

ω=(2π/P)v

(2)

F=(2π/P)T

(3)

T=J(dω/dt)

(4)

式中：v為慣容器兩端間相對速度；ω為絲杠旋轉(zhuǎn)角速度；T為絲杠驅(qū)動力矩；P為滾珠絲杠副導(dǎo)程；J為慣容器轉(zhuǎn)動慣量。

聯(lián)立式(2)～式(4)得：

F=(2π/P)2J(dv/dt)

(5)

對比式(5)、(1)得慣容器慣容系數(shù)表達(dá)式為

b=(2π/P)2J

(6)

圖1 慣容器試驗(yàn)

慣容系數(shù)為慣容器的慣性參照，b值一般在幾百千克左右；因此慣容器的物理性質(zhì)與同等重量質(zhì)量塊相當(dāng)，但通過式(6)，慣容器可實(shí)現(xiàn)將幾百千克的慣性質(zhì)量轉(zhuǎn)化到僅百克重量的飛輪旋轉(zhuǎn)中，此為慣容器提出的意義所在。

1.2 試驗(yàn)方案

試驗(yàn)對象為本文研制的滾珠絲杠式慣容器，慣容器采用三種大小不同飛輪，慣容系數(shù)分別為30 kg，130 kg，332 kg。慣容系數(shù)的選取主要考慮慣容器在車輛懸架中的實(shí)際應(yīng)用，一般小于500 kg。本文慣容系數(shù)取30 kg慣容器空載狀況，即不裝飛輪。試驗(yàn)設(shè)備為美國INSTRON公司8800數(shù)控液壓伺服激振試驗(yàn)臺，該試驗(yàn)臺能支持激振頭按一定位移要求運(yùn)動，并實(shí)時(shí)觀測、保存激振頭位移及載荷信號。慣容器上端固定，下端與激振頭相連，見圖1，試驗(yàn)采用正弦輸入，測試工況參數(shù)見表1。據(jù)車輛振動較敏感頻率范圍，選慣容器激振輸入頻率，為防止測試力超出激振臺負(fù)荷，高頻振動時(shí)用較小振幅。

表1 測試工況參數(shù)

1.3 試驗(yàn)結(jié)果

通過試驗(yàn)獲得51種測試工況下慣容器動態(tài)響應(yīng)特性。以b=130 kg為例，激振輸入頻率分別為0.1 Hz、7 Hz及14 Hz時(shí)，慣容器的力學(xué)響應(yīng)見圖2，各測試工況結(jié)果及慣容器輸出力的平均幅值與理論幅值對比見表2，二者間絕對誤差百分比隨頻率f的變化關(guān)系見圖3。

表2 慣容器試驗(yàn)結(jié)果

圖2 慣容器力學(xué)響應(yīng)

圖3 絕對誤差百分比

2 試驗(yàn)結(jié)果分析

2.1 慣容器非線性因素分析

由試驗(yàn)結(jié)果看出，慣容器的實(shí)際力學(xué)響應(yīng)并非理想狀況的線性元件，說明非線性因素對慣容器力學(xué)性能影響顯著。慣容器的非線性因素主要源于滾珠絲杠副，包括摩擦、間隙及非線性彈性力等。

慣容器中摩擦主要存在于絲杠、螺母間接觸面，性質(zhì)為滾動摩擦，正常情況下摩擦阻力較小，但為盡可能減小間隙，通常對滾珠絲杠副進(jìn)行較大預(yù)緊，導(dǎo)致接觸面正壓力增大，致摩擦力增大。滾珠絲杠副中摩擦力f與速度v的關(guān)系見圖4，表達(dá)式[8]為

f=-f0sgn(v)

(7)

式中：f0為摩擦力幅值；sgn為符號函數(shù)，v>0時(shí)函數(shù)值取1；v=0時(shí)函數(shù)值取0；v<0時(shí)函數(shù)值取-1。

慣容器中間隙不僅含螺母與絲杠間游隙，亦含安裝中兩端吊耳間間隙。慣容器位移方向改變時(shí)，間隙的非線性特性會顯現(xiàn)。設(shè)間隙量為2B，慣容器輸出位移x0與輸入位移x關(guān)系見圖5，輸入增加時(shí)，輸出沿1→2→3路徑變化，輸入減小時(shí)，輸出沿3→4→1路徑變化[9]。理想模型中的絲杠剛度無窮大，故在絲杠承受軸向力及扭轉(zhuǎn)力矩時(shí)不考慮其彈性形變，與事實(shí)不符。絲杠的軸向、扭轉(zhuǎn)剛度與絲杠位移及運(yùn)動方向均有關(guān)，且呈非線性特征[10]。因此滾珠絲杠副在力傳播過程中亦受非線性彈性力影響。

圖4 摩擦力與速度關(guān)系

2.2 非線性因素對慣容器性能影響

由圖2(a)知，低頻時(shí)慣容器輸出力近似方波，與摩擦力非線性特性相符；而由圖2(b)、(c)知，在中、高頻振動輸入下，慣容器輸出力曲線與正弦曲線較接近，但輸出力在達(dá)到峰值與接近零時(shí)出現(xiàn)小幅波動，主要受摩擦力、間隙影響。由于輸出力達(dá)到峰值時(shí)說明慣容器加速度亦處于峰值，而慣容器速度恰處于正負(fù)交替臨界點(diǎn)，見圖6。由圖6看出，據(jù)摩擦力非線性特性，摩擦力方向出現(xiàn)突變；輸出力接近零時(shí)，慣容器位移方向出現(xiàn)突變，體現(xiàn)出間隙影響。

由表2、圖3看出，低頻段慣容器輸出力的試驗(yàn)幅值與理論幅值相差較大，且隨頻率的增加，二者之間差幅不斷減小，慣容系數(shù)較大時(shí)，該趨勢更明顯。由于頻率低慣容器慣性力小，摩擦力占主導(dǎo)地位；隨頻率的不斷增大，慣容器慣性力逐漸超過摩擦力，摩擦力影響隨之減小，慣容系數(shù)越大，慣性力增長速度越快，因而趨勢更明顯；而隨頻率繼續(xù)升高，試驗(yàn)幅值與理論幅值間差值顯出增大趨勢。值得注意的是，大多測試工況下試驗(yàn)幅值大于理論幅值，而在頻率分別為13 Hz、14 Hz、15 Hz情況下，試驗(yàn)幅值卻出現(xiàn)跌落(表2加粗?jǐn)?shù)據(jù))。主要因高頻輸入時(shí)所選振幅較小，使慣容器內(nèi)部及兩端吊耳間間隙占位移輸入比例增大，間隙對慣容器輸出力影響更凸顯。

圖6 正弦輸入下位移、速度、加速度對比

由以上分析看出，非線性因素對慣容器力學(xué)性能影響復(fù)雜多變，僅憑定性描述遠(yuǎn)不能掌握實(shí)際工況下慣容器動態(tài)行為；因此，考慮建立慣容器自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)泛化能力強(qiáng)的特點(diǎn)，進(jìn)行慣容器力學(xué)性能預(yù)測。

3 慣容器自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型建立

3.1 遺傳BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法

BP網(wǎng)絡(luò)對初始權(quán)值、閾值的選擇較敏感，若選取不當(dāng)，會使網(wǎng)絡(luò)陷入局部最優(yōu)甚至難收斂，而遺傳算法能進(jìn)行并行隨機(jī)最優(yōu)搜索，具有較強(qiáng)的全局搜索能力；因此，本文利用遺傳算法對BP網(wǎng)絡(luò)的初始權(quán)值、閾值進(jìn)行優(yōu)化，使優(yōu)化后的網(wǎng)絡(luò)能更好預(yù)測函數(shù)輸出，算法流程[11]如下：

(1) 種群初始化。據(jù)被擬合函數(shù)的輸入輸出確定BP網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，進(jìn)而確定遺傳算法個(gè)體長度，個(gè)體編碼方法采用實(shí)數(shù)編碼，每個(gè)個(gè)體均為實(shí)數(shù)串，含網(wǎng)絡(luò)全部權(quán)值、閾值。

(2) 適應(yīng)度函數(shù)。將初始個(gè)體對應(yīng)的權(quán)值、閾值賦予BP網(wǎng)絡(luò)，利用訓(xùn)練數(shù)據(jù)對網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練，再預(yù)測系統(tǒng)輸出，系統(tǒng)絕對誤差及倒數(shù)即為遺傳算法的個(gè)體適應(yīng)度F：

(8)

式中：n為網(wǎng)絡(luò)輸出節(jié)點(diǎn)數(shù)；yi為第i節(jié)點(diǎn)期望輸出；oi為第i節(jié)點(diǎn)預(yù)測輸出。

(3) 選擇操作?；谶m應(yīng)度比例對個(gè)體進(jìn)行選擇操作，個(gè)體i被選概率pi為

(9)

式中：Fi為個(gè)體i的適應(yīng)度；N為種群規(guī)模，適應(yīng)度越高的個(gè)體被選擇的幾率越大。

(4) 交叉操作。操作方法采用實(shí)數(shù)交叉法，第k個(gè)染色體ak與第l個(gè)染色體al在j位進(jìn)行交叉操作：

(10)

式中：h為[0，1]間隨機(jī)數(shù)。

(5) 變異操作。選第i個(gè)體第j位基因進(jìn)行變異，變異方法為

(11)

式中：amax，amin分別為基因aij的上、下界；f(g)=r1(1-g/Gmax)，r1為隨機(jī)數(shù)，g為當(dāng)前迭代次數(shù)，Gmax為最大迭代次數(shù)；r為[0，1]間隨機(jī)數(shù)。

(6) 計(jì)算適應(yīng)度函數(shù)。若滿足算法結(jié)束條件，輸出最優(yōu)網(wǎng)絡(luò)初始權(quán)值、閾值，不滿足則返回第(3)步，進(jìn)行個(gè)體再尋優(yōu)。

(7) 將所得最優(yōu)個(gè)體作為BP網(wǎng)絡(luò)的初始權(quán)值、閾值，利用訓(xùn)練樣本訓(xùn)練BP網(wǎng)絡(luò)，通過測試數(shù)據(jù)對網(wǎng)絡(luò)預(yù)測能力進(jìn)行檢驗(yàn)。

3.2 慣容器神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

分析試驗(yàn)結(jié)果及非線性因素對慣容器力學(xué)性能影響發(fā)現(xiàn)，慣容系數(shù)、加速度對慣容器輸出力影響毋庸置疑，而摩擦力方向取決于速度方向，位移方向、大小決定間隙對慣容器輸出力影響程度；因此，將慣容系數(shù)及慣容器在多個(gè)瞬態(tài)時(shí)間點(diǎn)下位移、速度及加速度為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入，慣容器輸出力為網(wǎng)絡(luò)輸出。鑒于試驗(yàn)臺只能保存慣容器位移輸入，借助Matlab曲線擬合工具箱CFTOOL對慣容器位移輸入進(jìn)行曲線擬合，將所得曲線方程進(jìn)行差分求導(dǎo)可得慣容器速度、加速度輸入。

由于慣容器的激振輸入為周期輸入，為提高效率，本文將采樣時(shí)長定為兩個(gè)周期，每個(gè)周期的采樣頻率10 Hz，每個(gè)測試工況采集20組數(shù)據(jù)點(diǎn)，獲得用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練及測試的數(shù)據(jù)點(diǎn)共51×20 = 1 020組。基于三層GA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立慣容器的力學(xué)性能預(yù)測模型及三層BP網(wǎng)絡(luò)模型與之進(jìn)行比較，因模型有4個(gè)輸入、1個(gè)輸出參數(shù)，故將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)定為4-6-1，即輸入層、隱含層及輸出層神經(jīng)元數(shù)目分別為4、6、1。

4 結(jié)果分析

圖8 網(wǎng)絡(luò)預(yù)測誤差

在1020組數(shù)據(jù)中隨機(jī)選918組用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練，剩余102組作為網(wǎng)絡(luò)測試數(shù)據(jù)，其中遺傳算法種群規(guī)模為20，迭代次數(shù)50，交叉概率0.35，變異概率0.2，網(wǎng)絡(luò)預(yù)測誤差見圖8。由圖8看出，GA-BP網(wǎng)絡(luò),預(yù)測性能好于BP網(wǎng)絡(luò)，計(jì)算所得GA-BP網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測均方誤差為11.6；而BP網(wǎng)絡(luò)預(yù)測均方誤差為31.2，表明經(jīng)優(yōu)化后網(wǎng)絡(luò)預(yù)測誤差降低62.8%。

為進(jìn)一步驗(yàn)證訓(xùn)練后所得網(wǎng)絡(luò)對慣容器力學(xué)性能逼近情況，將3種確定測試工況下采樣數(shù)據(jù)作為測試樣本重新輸入訓(xùn)練好的網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)預(yù)測結(jié)果見圖9、表3。表3中，MSE為均方根誤差，MPE為最大相對誤差，由圖9、表3知，經(jīng)訓(xùn)練后的網(wǎng)絡(luò)整體預(yù)測性能良好，能較好逼近慣容器實(shí)際力學(xué)性能。GA-BP網(wǎng)絡(luò)MSE及MPE最大值分別為7.689，6.21%，較BP網(wǎng)絡(luò)18.777與11.73%，分別降低59%，47%，預(yù)測精度更高。

表3 不同工況下預(yù)測結(jié)果

圖9 網(wǎng)絡(luò)性能預(yù)測

5 結(jié) 論

(1) 滾珠絲杠式慣容器力學(xué)性能試驗(yàn)結(jié)果能真實(shí)反映慣容器本身存在的非線性因素及非線性因素對慣容器力學(xué)性能影響機(jī)理。

(2) 慣容器輸出力受眾多非線性因素影響，且其之間函數(shù)關(guān)系呈現(xiàn)復(fù)雜多變特征，通過建立慣容器輸出力神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型能準(zhǔn)確體現(xiàn)慣容器輸出力與其主要影響因素間映射關(guān)系。

(3) 經(jīng)遺傳算法優(yōu)化后BP網(wǎng)絡(luò)體現(xiàn)出良好的預(yù)測性能及更高的預(yù)測精度，可為慣容器力學(xué)性能預(yù)測提供有效方法。

(4) 針對慣容器輸出力呈現(xiàn)的強(qiáng)非線性特征，如何設(shè)計(jì)含慣容器強(qiáng)非線性懸架系統(tǒng)并對其進(jìn)行控制將是慣容器繼續(xù)深入研究的關(guān)鍵。

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