形函數(shù)時變性對汽車公路梁橋豎向耦合振動影響分析

陳代海，陳 淮，李 整，郭文華

(1.鄭州大學(xué) 土木工程學(xué)院，鄭州 450001；2.中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，長沙 410075)

用有限元法分析汽車與梁橋耦合振動時，梁單元內(nèi)部插值一般用三次Hermite形函數(shù)N[1]，若用x表示車輪與梁單元接觸點在該單元內(nèi)的相對位置，因梁單元的形函數(shù)為x的函數(shù)，則N可表示為N=N(x)。汽車在橋梁上行駛時，x為行車速度v與時間t的函數(shù)[2]，即x=x(v,t)，此時N不僅為距離x的函數(shù)，亦為時間t的函數(shù)，即N=N(x,t)。此由時間變化引起的形函數(shù)特性定義為梁單元形函數(shù)時變性。公路橋梁車輛耦合振動分析中通常不考慮形函數(shù)時變性對車橋耦合系統(tǒng)豎向振動響應(yīng)影響。用大型通用有限元軟件計算時(該類軟件目前無法考慮形函數(shù)時變性)，關(guān)于形函數(shù)時變性對車橋豎向振動響應(yīng)影響及所需考慮其影響情況均值得探討。

國內(nèi)外對鐵路橋與列車的車橋耦合振動研究較多[3-6]，探討不同因素對車橋耦合振動影響[7-9]。但對公路橋梁與汽車的車橋耦合振動研究較少。韓萬水等[10]對實測路面粗糙度下車橋系統(tǒng)動力響應(yīng)及頻譜特性進行對比分析；殷新鋒等[11]研究輪胎接觸面對車橋耦合振動影響；王達等[12]計算3種不同橋面平整度下大跨度懸索橋車橋耦合振動響應(yīng)?，F(xiàn)有車橋耦合振動研究中，往往忽略梁單元形函數(shù)時變性對車橋動力響應(yīng)影響。

本文據(jù)車橋耦合振動分析理論，引入Hermite插值函數(shù)，推導(dǎo)形函數(shù)時變性在車橋耦合振動方程中的貢獻值。以公路簡支T梁橋為例，汽車采用多剛體振動模型，計算汽車以不同車速通過簡支T梁橋時的車橋豎向動力響應(yīng)，探討梁單元形函數(shù)時變性對汽車公路梁橋豎向耦合振動影響。

1 車橋耦合振動方程

以橋梁在自重、無車輛作用下的平衡狀態(tài)為初始狀態(tài)，分別以橋梁與車輛靜平衡位置為坐標原點建立坐標系，見圖1。由于橋梁多采用彈性連續(xù)體模擬，故可用常規(guī)有限元法首先獲得橋梁自身質(zhì)量矩陣Mb、剛度矩陣Kb及阻尼矩陣Cb；而汽車多采用彈簧、阻尼相連的多剛體模型，易于單獨計算作用在橋梁上的車輛慣性力、阻尼力、彈性力及虛功，其動力特性矩陣由“對號入座”法則[3]形成。

圖1 車橋接觸點示意圖

對汽車的多剛體模型，阻尼元件可分為兩類，第一類連接兩剛體，兩端產(chǎn)生的相對速度僅與車輛自由度有關(guān)；第二類一端連接剛體，一端位于接觸點，兩端產(chǎn)生的相對速度不僅與車輛自由度有關(guān)，亦與橋梁自由度、路面粗糙度有關(guān)。計算第一類阻尼元件阻尼力所作虛功，提取相應(yīng)阻尼系數(shù)，直接形成汽車阻尼子矩陣Cv。計算第二類阻尼元件阻尼力所作虛功，提取相應(yīng)阻尼系數(shù)，直接形成附加的汽車阻尼子矩陣Cv1、車橋耦合阻尼矩陣Cbv，Cvb及附加的橋梁阻尼子矩陣Cbbv；提取相應(yīng)荷載系數(shù)，可直接形成對橋梁的附加荷載列陣Pbvr2及對汽車的附加荷載列陣Pvr2。相應(yīng)剛度矩陣可用形成阻尼矩陣方法獲得。汽車軸重作為外荷載形成對橋梁的附加荷載列陣Pbvg。詳見文獻[13]。

將汽車與橋梁視為整體系統(tǒng)，據(jù)全計算化原理[14]，將單獨橋梁振動方程直接擴充為橋梁-汽車耦合系統(tǒng)振動方程：

(1)

汽車行駛在橋梁上時，橋梁-汽車耦合系統(tǒng)運動方程為一組變系數(shù)的二階微分方程。需注意的是，隨汽車位置的變化，并非所有子矩陣均隨時間變化，如Mb，Mv，Kb，Kv，Kv1，Cb，Cv，Cv1，Pbvg。編制計算程序時，該子矩陣可專門儲存以便隨時調(diào)用。而有些子矩陣如Mbbv，Kbbv，Kbv，Kvb，Cbbv，Cbv，Cvb，Pbrv1，Pbrv2，Prv1，Prv2均為時變的，需據(jù)每步不同車輛運行位置重新形成，并疊加到相應(yīng)位置。因各總體矩陣隨時間變化，故此車橋系統(tǒng)亦稱時變系統(tǒng)。

采用直接積分法求解式(1)(車輛與橋梁視為整體系統(tǒng)，無需迭代求解)，可同時獲得橋梁與汽車的空間動力響應(yīng)。據(jù)上述原理，用Fortran語言編制橋梁-汽車耦合系統(tǒng)動力分析軟件BVIP (Bridge Vehicle Interaction Program)。該軟件功能較完善，不限定具體橋梁形式，可用于由梁單元、桿單元、質(zhì)量點單元等模擬的常見橋梁，如簡支梁、連續(xù)梁、連續(xù)剛構(gòu)橋、斜拉橋等；亦可考慮不同車輛類型、任意車輛數(shù)目、多車道及車輛相向行駛等多種工況[13]。

2 形函數(shù)時變性在車橋耦合振動方程中的體現(xiàn)

形函數(shù)時變性在車橋耦合振動方程中的體現(xiàn)主要通過慣性力、阻尼力對系統(tǒng)阻尼矩陣、剛度矩陣進行修正實現(xiàn)。以阻尼力修正剛度矩陣為例進行說明。選某第二類豎向阻尼元件(一端連接剛體，一端位于接觸點處，見圖1)，在是否考慮梁單元形函數(shù)時變性兩種情況下，計算阻尼力所做虛功，比較二者差異，從而體現(xiàn)形函數(shù)時變性對車橋耦合振動方程影響。

汽車通過橋梁時，設(shè)車輪與路面始終保持接觸，車輪與橋梁接觸點位移zjcd包含橋梁動態(tài)位移zb與路面粗糙度rz兩部分，即

zjcd=zb+rz

(2)

式中：zb為橋梁動態(tài)位移，可表示為

zb=ND

(3)

式中：

N=[N1N5dyN2N3N6dyN4]

(4)

(5)

D=[ziφiθizjφjθj]T

(6)

式中：zi，φi，θi，zj，φj，θj分別為梁單元i，j端豎向位移、繞X軸轉(zhuǎn)角、繞Y軸轉(zhuǎn)角；dy為接觸點與橋梁單元形心在整體坐標系中y坐標差；l為單元長度。

(7)

(8)

阻尼力所做虛功δWc可表示為

(9)

不考慮梁單元形函數(shù)時變性時，即N=N(x)，則

(10)

此時阻尼元件兩端豎向相對速度為

(11)

阻尼力所做虛功為

N2δθi-N3δzj-N6δφjdy-N4δθj)

(12)

式中：v=?x/?t為行車速度，僅考慮勻速行車情況，即v為常量。

考慮梁單元形函數(shù)時變性時，即N=N(x,t)，則

(13)

式中：

(14)

此時阻尼元件兩端豎向相對速度為

(15)

阻尼力所做虛功為

N2δθi-N3δzj-N6δφjdy-N4δθj)

(16)

3 算例分析

3.1 橋梁模型

為簡化計算，以公路簡支T梁橋為研究對象，橋長50 m，T梁高1.74 m，翼緣板寬2.4 m、厚0.24 m，腹板厚0.2 m。采用空間梁單元離散橋梁結(jié)構(gòu)，按簡支梁支座布置形式設(shè)置橋梁邊界條件。對常見的多片式公路橋建立有限元模型時，為考慮橫隔板影響，可用梁單元模擬橫隔板，將多片式公路橋離散成由梁單元組成的梁格體系。

3.2 汽車模型

圖2 汽車模型圖

汽車采用由彈簧、阻尼器相連的多剛體模型，彈簧均為線性，阻尼按粘性阻尼計算，車輪與橋面豎向密貼，將隨機橋面粗糙度作為激勵輸入。車身具有側(cè)擺、浮沉、側(cè)滾、點頭、搖頭5個自由度，4個車輪分別具有側(cè)擺、浮沉2個自由度，每輛汽車共有13個自由度，見圖2。模型各參數(shù)取值見文獻[13]。

3.3 路面粗糙度模型

選定功率譜密度函數(shù)后，采用三角級數(shù)法產(chǎn)生路面粗糙度樣本值[13]：

(17)

式中：r(x)為產(chǎn)生的路面粗糙度序列；S(Ωk)為給定功率譜密度函數(shù)；Ωk為在給定譜密度間隔內(nèi)第k個空間頻率(k=1,2,…,N)，其中Ω1，ΩN分別為考慮頻率的下限、上限；ΔΩ為頻率間隔帶寬；θk為[0～2π]內(nèi)均勻分布幅角。

3.4 形函數(shù)時變性對車橋耦合振動影響分析

基于橋梁、汽車有限元模型，計入路面粗糙度，采用自編分析程序，在是否考慮梁單元形函數(shù)時變性情況下，分別計算汽車以不同車速通過橋梁時車橋動力響應(yīng)。選廂式貨車、一汽佳寶及桑塔納三種典型汽車分析參數(shù)[15]，10輛車組成一個車隊，每輛車類型由計算機生成的隨機數(shù)隨機確定，見圖3。計算時，車速分別取60 km/h、80 km/h、100 km/h、120 km/h。

圖3 車隊車輛類型布置示意圖

橋梁上選跨中位置、車輛中選車隊第1輛汽車分別給出相應(yīng)豎向振動響應(yīng)。不同車速下車橋豎向動力響應(yīng)幅值比較見表1、圖4、圖5，橋梁中點及車體重心時程響應(yīng)曲線見圖6～圖8，其中，“考慮”、“不考慮”分別表示是否考慮梁單元形函數(shù)時變性情況。

表1 形函數(shù)時變性考慮前后車橋豎向動力響應(yīng)幅值比較

圖4 橋梁中點豎向加速度幅值比較

圖7 車速120 km/h時橋梁中點豎向位移時程比較

圖8 車速120 km/h下橋梁中點豎向加速度時程比較

由表1、圖4、圖5看出，梁單元形函數(shù)時變性對車橋豎向動力響應(yīng)幅值存在影響。對橋梁響應(yīng)而言，該影響有隨車速增加而增大趨勢，此因考慮形函數(shù)時變性后，慣性力及阻尼力增加與速度相關(guān)的附加項，增加速度可加大對車橋耦合系統(tǒng)影響。對車體響應(yīng)，較形函數(shù)時變性對加速度幅值影響，其對位移幅值影響明顯，該點對橋梁響應(yīng)恰恰相反。

對比圖6、圖7發(fā)現(xiàn)，速度增大情況下梁單元形函數(shù)時變性對橋梁中點豎向位移影響愈加顯著。由圖7、圖8看出，當汽車以高速通過橋梁時，形函數(shù)時變性對車橋耦合系統(tǒng)影響明顯。

4 結(jié) 論

(1) 考慮梁單元形函數(shù)時變性后，慣性力、阻尼力表達式中增加與速度相關(guān)的附加項，其對車橋耦合系統(tǒng)剛度矩陣、阻尼矩陣進行修正，速度增加加大其對車橋耦合系統(tǒng)豎向振動影響。

(2) 車橋豎向振動分析中，尤其高速行駛車輛車橋耦合振動分析中，需考慮梁單元形函數(shù)時變性影響。

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