一類半無(wú)窮區(qū)間上分?jǐn)?shù)階非線性微分方程邊值問(wèn)題多個(gè)正解的存在性

張海斌, 賈 梅, 陳 強(qiáng)

(上海理工大學(xué) 理學(xué)院, 上海 200093)

一類半無(wú)窮區(qū)間上分?jǐn)?shù)階非線性微分方程邊值問(wèn)題多個(gè)正解的存在性

張海斌, 賈 梅, 陳 強(qiáng)

(上海理工大學(xué) 理學(xué)院, 上海 200093)

考慮一類具有Caputo導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階非線性微分方程在半無(wú)窮區(qū)間上的邊值問(wèn)題, 用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理和Leggett-Williams不動(dòng)點(diǎn)定理分別得到了該邊值問(wèn)題至少1個(gè)正解和至少3個(gè)正解的存在性定理.

Caputo導(dǎo)數(shù)； 正解； 不動(dòng)點(diǎn)定理； 半無(wú)窮區(qū)間

0 引 言

半無(wú)窮區(qū)間上的微分方程邊值問(wèn)題及分?jǐn)?shù)階微積分在應(yīng)用數(shù)學(xué)和物理等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛.文獻(xiàn)[1-5]討論了半無(wú)窮區(qū)間上整數(shù)階邊值問(wèn)題解或正解的存在性; 文獻(xiàn)[6-10]給出了分?jǐn)?shù)階微積分方程的相關(guān)結(jié)果; 文獻(xiàn)[10]研究了一類半無(wú)窮區(qū)間上具有Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)α階微分方程邊值問(wèn)題正解的存在性, 其中1<α≤2.但目前對(duì)于半無(wú)窮區(qū)間上具有Sturm-Liouville邊界條件的分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題正解的存在性研究報(bào)道較少.

本文考慮半無(wú)窮區(qū)間上分?jǐn)?shù)階Sturm-Liouville邊值問(wèn)題:

注1由p(s)的定義可知,M>0.

假設(shè)如下條件成立:

(H1) 存在函數(shù)h∈C([0,+∞),(0,+∞)),v∈C((0,+∞),(0,+∞)), 滿足

1 引 理

證明: 在式(3)兩邊同時(shí)積分得

根據(jù)邊界條件(4)可得

令

則

引理2設(shè)假設(shè)條件(H0)成立, 則對(duì)任意的t,s∈[0,+∞)有G(t,s)≥0, 且G(t,s)是連續(xù)的, 并滿足：

證明： 當(dāng)0≤t

所以對(duì)任意的t,s∈[0,+∞)有G(t,s)≥0.

由G(t,s)的表達(dá)式易知G(t,s)在t,s∈[0,+∞)上是連續(xù)的.

1) 由G(t,s)的表達(dá)式, 易得結(jié)論成立.

顯然0<γ0<1.所以, 對(duì)任意的t∈[l1,l2]?(0,+∞)和s∈[0,+∞),G(t,s)≥γ0G(s,s).

引理3[6]若V?E, 且如下條件成立：

1)V在E中一致有界；

3)V在+∞處等度收斂, 即對(duì)任意的ε>0, 存在T(ε)>0, 使得對(duì)任意的z∈V, 當(dāng)t≥T(ε)時(shí), 成立|z(t)-z(+∞)|<ε.

則V是E中相對(duì)緊集.

定義算子A為

引理4若假設(shè)條件(H0),(H1)成立, 則算子A:E→E是全連續(xù)算子.

若z∈E, 則存在r0>0, 使得‖z‖≤r0.設(shè)t∈[0,+∞), 則

所以A:E→E連續(xù).

設(shè)Ω?E是任意一個(gè)有界集, 則存在r>0, 使得當(dāng)z∈Ω時(shí), 有‖z‖≤r.對(duì)任意的z∈Ω, 可得

所以A(Ω)是一致有界的.

因此,A(Ω)在+∞處是等度收斂的.由引理3知A是相對(duì)緊的, 故A:E→E是全連續(xù)的.

引理5(Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理)[11]設(shè)S是Banach空間E的有界凸閉集, 而A:S→S是全連續(xù)的, 則A在S中必有不動(dòng)點(diǎn), 即存在x*∈S, 使得A(x*)=x*.

設(shè)P是實(shí)Banach空間E中一個(gè)錐.考慮P上一個(gè)非負(fù)連續(xù)凹泛函φ(x), 記PK={x∈P: ‖x‖

1) {y∈P(φ,L,K):φ(y)>L}≠?, 且當(dāng)y∈P(φ,L,K)時(shí), 恒有φ(Ay)>L；

3) 當(dāng)y∈P(φ,L,R)且‖Ay‖>K時(shí), 恒有φ(Ay)>L.

注2當(dāng)K=R時(shí), 條件1)包含條件3).

2 至少1個(gè)正解和3個(gè)正解的存在性

定理1若假設(shè)條件(H0)～(H2)成立, 則邊值問(wèn)題(1)-(2)至少存在一個(gè)正解z(t), 滿足： 0≤z(t)≤R,t∈[0,+∞), 其中R在(H2)中定義.

證明： 記S={z:z∈E,‖z‖≤R}.對(duì)任意的z∈S, 有

即A(S)?S.由引理4知, 算子A:S→S是全連續(xù)算子.

定理2若假設(shè)條件(H0)～(H2)成立, 存在常數(shù)r,L>0, 0

3) 存在u∈C((0,+∞),(0,+∞))滿足u(t)h(x)≤f(t,x),u(t)≥k0v(t), 0

所以, 引理6的條件2)滿足.

下證引理6的條件1)滿足.令z(t)=(L+R)/2,t∈[0,+∞).由P(φ,L,R)的定義知,z∈P(φ,L,R).所以{z∈P(φ,L,R):φ(z)>L}≠?.若z∈P(φ,L,R), 由條件2),3)和引理2得

因此引理6的條件1)滿足.由注2知條件3)滿足.

由Leggett-Williams不動(dòng)點(diǎn)定理知, 邊值問(wèn)題(1)-(2)至少存在3個(gè)正解z1,z2,z3, 且滿足

3 應(yīng)用實(shí)例

例1考慮如下邊值問(wèn)題：

例2考慮如下邊值問(wèn)題:

其中:b=2;p(t)=et;f(t,z)=v(t)h(z),

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ExistenceofMultiplePositiveSolutionsforaClassoftheBoundaryValueProblemsofFractionalOrderNonlinearDifferentialEquationontheHalfLine

ZHANG Haibin, JIA Mei, CHEN Qiang
(CollegeofScience,UniversityofShanghaiforScienceandTechnology,Shanghai200093,China)

We studied a class of the boundary value problems for fractional order nonlinear differential equation with Caputo derivative on the half line.Based on the Schauder fixed point theorem and the Leggett-Williams fixed point theorem, the existence theorems of at least one positive solution and at least three positive solutions have been established, respectively for this class of the boundary value problems.

Caputo derivative; positive solutions; fixed point theorems; half infinite interval

2014-01-17.

張海斌(1989—), 男, 漢族, 碩士研究生, 從事常微分方程的研究, E-mail： 1042920826@qq.com.通信作者： 賈 梅(1963—), 女, 漢族, 碩士, 副教授, 從事常微分方程的研究, E-mail： jiamei-usst@163.com.

國(guó)家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào)： 11171220)和滬江基金(批準(zhǔn)號(hào)： B14005).

O175.8

A

1671-5489(2014)06-1145-06

10.13413/j.cnki.jdxblxb.2014.06.07

趙立芹)