一類一維p-Laplacian非線性奇異三點邊值問題正解的存在性

白 杰, 祖 力

(1.東北師范大學人文學院 國際商務學院, 長春 130117; 2.海南師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院, ?？?571158)

(Φ(w(t)))′=-q(t)F1(u(t))≥-q(t)F2(u(t))=(Φ(w(t)))′, t∈(a,σ],(13)

一類一維p-Laplacian非線性奇異三點邊值問題正解的存在性

白 杰1, 祖 力2

(1.東北師范大學人文學院 國際商務學院, 長春 130117; 2.海南師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院, ?？?571158)

利用Leray-Schauder非線性抉擇定理和錐不動點定理證明一類一維非線性奇異p-Laplacian三點邊值問題

Leray-Schauder抉擇定理; 錐不動點定理; 非線性奇異三點邊值問題; 正解的存在性

0 引 言

奇異方程作為常微分方程的一個重要分支, 目前已取得了很多研究結(jié)果[1-6].同時, 奇異微分方程多點邊值問題也受到了廣泛關(guān)注[7-10], Webb[10]考慮如下p-Laplacian三點邊值問題:

利用不動點指數(shù)理論證明了該系統(tǒng)至少存在一個正解.目前, 關(guān)于非奇異性p-Laplacian三點邊值問題的研究較多, 但由于奇異性較復雜, 研究結(jié)果很少.本文通過在問題(1)中增加非線性項f具有奇性的條件, 利用Leray-Schauder非線性抉擇定理和錐不動點定理證明p>1時問題(1)存在正解.考慮如下奇異邊值問題:

1 預備知識及引理

假設：

(H1)q(t): (0,1)→(0,∞)連續(xù), 且存在0≤β

成立;

(H2)f(u)=g(u)+h(u), 其中:g>0在(0,∞)上連續(xù)且單調(diào)不增;h≥0在[0,∞)上連續(xù), 且h/g在(0,∞)上單調(diào)不減;

(H3) 存在一個常數(shù)r>0, 使得

(H4) 選擇a∈(0,1/2)并固定, 且假設存在R>r, 使得

成立, 其中

注1函數(shù)q(t)=t-a(0

∞.

C[0,1]中錐K定義為K∶={u∈C[0,1]:u(t)是非負的凹函數(shù)}.

引理2[12]令u∈K且0

當σ=1時,u(t)≥‖u‖t, 0≤t≤1; 當σ=0時,u(t)≥‖u‖(1-t), 0≤t≤1.對任意的t∈[a,1-a],u(t)≥a‖u‖, 其中‖u‖=sup{|u(t)|: 0≤t≤1}, 且存在σ∈[0,1]使得u(σ)=‖u‖.

引理3假設(H1)成立, 則問題

存在唯一的正解V∈C[0,1]∩C1(0,1].

證明: 用比較原理證明兩個解等價即可證明唯一性.下面證明存在性.根據(jù)邊值η的范圍在兩種情形下討論.

設

y(t)在(0,η]上連續(xù)嚴格增且y(0+)<0

設

y(t)在[η,1]上連續(xù)嚴格增且y(η)≤0

或

于是,V在(0,1]上有定義, 且在(0,1]上V(t)>0.進一步, 有

對0

則有V(0)=0.類似可得V(1)-αV(η)=0.因此V(t)在[0,1]上連續(xù), 且

V(0)=0,V(1)=αV(η), 0<α<1, 0<η<1,

[Φ(V′(t))]′=-q(t),t∈(0,1).

證畢.

令n≥4是一個固定的自然數(shù).對每個u∈K, 考慮問題:

其中F(u)=g*(u)+h(u), 滿足

注3g*(u)≤g(u), ?u∈(0,∞).

由引理3可得:

引理4對每個固定的u∈K, 邊界值問題(10)存在唯一的解w∈K滿足w(t)=(Ψu)(t), 其中

或

(11)′

式中σu∈(0,1)是如下方程在0≤τ≤1上的唯一解:

或

由w和Ψ在u∈K中的定義, 有

3)w=Ψu∈K, ‖w‖=w(σu), 表明w(t)是式(10)在[0,1]上定義的唯一凹函數(shù).

引理5令wi(t)分別是F=Fi(i=1,2)時式(10)的一個解.如果F1≤F2, 則w1(t)≤w2(t).

證明: 令z(t)=w1(t)-w2(t).如果結(jié)論不成立, 類似于引理3的證明, 存在一個區(qū)間(a,σ]?(0,1), 使得在(a,σ]上,z(t)>0, 且

注意到

在[s,σ](a

即

(s)≤0,a

則z(σ)≤z(a)=0, 矛盾.證畢.

令VM(t)是h(t)=Mq(t)(M>0)時式(7)的一個正解, 而Vm(t)是h(t)=mq(t)(m>0)時式(7)的一個正解.

由引理3～引理5知:

引理6令[a,1]?(0,1]是一個緊區(qū)間,w(t)是式(10)滿足F(u)≤M的一個解, 則

其中:M是一個正常數(shù);C(a,M)是與a,M有關(guān)的正常數(shù).

證明: 易見

其中τ=Φ(w′(1))是方程

且

又由式(15),(17),(18), 可得式(14).證畢.

引理7對任何有界閉子集Ω?K, 集合Ψ(Ω)在[0,1]上等度連續(xù).

證明: 對任何u∈Ω, 令M>0且滿足F(u)≤M.對任意的ε>0, 由VM(t)在[0,1]上的連續(xù)性及VM(0)=0 知, 存在δ1∈(0,1/4), 使得VM(t)<ε/2,t∈[0,2δ1].令u∈Ω. 因為(Ψu)(t)-1/n≤VM(t), 則對任意的t1,t2∈[0,2δ1], |t1-t2|<δ1, 有

由引理6, 當t∈[δ1,1]時, |(Ψu)′(t)|≤C(δ1,M)=∶L.令δ2=ε/L, 則當t1,t2∈[δ1,1]且|t1-t2|<δ2時, 有|(Ψu)(t1)-(Ψu)(t2)|≤L|t1-t2|<ε.設δ=min{δ1,δ2}, 則當t1,t2∈[0,1]且|t1-t2|<δ時, 有|(Ψu)(t1)-(Ψu)(t2)|<ε.即Ψ(Ω)在[0,1]上等度連續(xù).證畢.

引理8對任何有界閉子集Ω?K, 映射Ψ:Ω→K是連續(xù)的.

證明: 當u∈Ω時, 存在M>0, 使得F(u)≤M.假設u0,uj∈Ω且當j→∞時, ‖uj-u0‖→0, 則有

或

其中σuj(j=0,1,…)分別滿足如下方程:

或

假設σ*∈[0,1]是{σuj}的任意一個聚點, 則{σuj}存在一個子列{σuj(m)}收斂于σ*.將σuj(m)分別代入式(19),(19)′, 并令m→∞, 則有

或

表明σ*=σu0, 因此σuj→σu0.由控制收斂定理得

或

即Ψ是從Ω到K的連續(xù)映射.證畢.

綜合引理4～引理8可得:

引理9Ψ:K→K是全連續(xù)的.

如果函數(shù)u(t)滿足下列條件, 則稱u(t)是問題(2)的一個正解:

1)u∈C[0,1]∩C1(0,1];

2)u(t)>0對任意的t∈(0,1], 有u(0)=0,u(1)=αu(η), 0<η<1, 0<α<1;

3)Φ(u′(t))在(0,1)上一致絕對連續(xù), 且(Φ(u′))′+q(t)f(u(t))=0, 0

2 主要結(jié)果

定理1假設(H1)～(H4)成立, 則存在正常數(shù)r,R, 使得問題(2)存在一個解u∈C[0,1]∩C1(0,1], 在(0,1]上u>0且r<‖u‖≤R.

證明: 選擇ε>0, 由Leray-Schauder非線性抉擇定理和條件(H3)易知, 當ε

對?n∈N+, 為了證明式(21)存在解, 需先考慮如下邊值問題:

固定n∈N+.定義Ψ:K→K為

其中σu是如下方程的唯一解:

或

其中σu是如下方程的唯一解:

由引理9可知Ψ:K→K是全連續(xù)的, 結(jié)合式(20)易得對λ∈(0,1),u∈?Ωr∩K,

其中Ωr定義如上.下面證明

‖Ψu‖>‖u‖, ?

令u∈?ΩR∩K, 則‖u‖=R.因為u∈K, 所以由引理2知, 當s∈[a,1-a]時,u(s)≥aR, 因此有

g*(u(s))+h(u(s))=g(u(s))+h(u(s)).

特別地, 當s∈[a,1-a],u(s)∈[aR,R].從而當a≤σu≤1-a時,

當σu>1-a時,

當σu

表明

進一步可得

即式(21)存在一個正解un(t).同時可知, 存在N+的列N, 使得當n→∞時,un(t)在[0,1]上一致收斂于u(t).易證u(t)∈C[0,1]∩C1(0,1]是式(3)的一個正解, 且r<‖u‖≤R.證畢.

3 實 例

例1奇異三點邊值問題

應用定理1, 令q(s)=σ,g(u)=u-α,h(u)=uβ+1.顯然(H1)～(H2)成立.再注意到

因為

則

因此(H3)成立(r=1).

又由于(因為β>p-1, 令a=1/4)

所以存在R>1使得(H4)成立.即定理1成立.

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ExistenceofPositiveSolutionforOne-DimensionalSingularp-LaplacianThree-PointBoundaryValueProblems

BAI Jie1, ZU Li2
(1.SchoolofInternationalBusiness,CollegeofHumanitiesandSciencesofNortheastNormalUniversity,Changchun130117,China; 2.SchoolofMathematicsandStatistics,HainanNormalUniversity,Haikou571158,China)

Using nonlinear Leray-Schauder alternative theorem and fixed point theorem in cones, we obtained the one-dimensional nonlinear singularp-Laplacian three-point boundary value problem

Leray-Schauder alternative theorem; fixed point theorem in cones; nonlinear singular three-point boundary value problem; existence of positive solution

2014-04-02.

白 杰(1979—), 女, 錫伯族, 碩士, 講師, 從事常微分方程的研究, E-mail: 794773975@qq.com.通信作者: 祖 力(1979—), 女, 漢族, 博士, 副教授, 從事常微分方程和隨機微分方程的研究, E-mail: 13504313763@139.com.

國家自然科學基金(批準號： 10971021).

O175.14

A

1671-5489(2014)06-1136-09

10.13413/j.cnki.jdxblxb.2014.06.06

趙立芹)