光柵衍射中譜線缺級(jí)現(xiàn)象及其仿真*

葉伏秋，彭善瓊

(1.吉首大學(xué)物理與機(jī)電工程學(xué)院，湖南 吉首 416000；2.湖南第一師范學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410205)

光柵衍射中譜線缺級(jí)現(xiàn)象及其仿真*

葉伏秋1，彭善瓊2

(1.吉首大學(xué)物理與機(jī)電工程學(xué)院，湖南 吉首 416000；2.湖南第一師范學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410205)

理論推導(dǎo)了入射光以不同角度入射時(shí)的譜線缺級(jí)現(xiàn)象產(chǎn)生機(jī)理和被觀察到的條件，數(shù)值模擬方法驗(yàn)證了垂直入射下的譜線缺級(jí)現(xiàn)象產(chǎn)生的條件，比較了入射光以不同角度入射時(shí)的譜線缺級(jí)現(xiàn)象.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，垂直入射與斜入射時(shí)譜線缺級(jí)條紋均滿足j=kd/b，其區(qū)別在于相同實(shí)驗(yàn)條件下能觀察到的缺級(jí)條紋的范圍存在一定的差異.

光柵衍射；譜線缺級(jí)；缺級(jí)條件

一束平行光經(jīng)光柵衍射后在光屏上會(huì)產(chǎn)生一定的衍射圖樣，衍射圖樣的光強(qiáng)分布可以理解為單縫衍射因子與縫間干涉因子的乘積，衍射的實(shí)質(zhì)可理解為多光束干涉受到單縫衍射調(diào)制的結(jié)果.根據(jù)光柵衍射的相關(guān)理論可知，衍射圖樣中本該出現(xiàn)光譜線的地方卻未出現(xiàn)光譜線，即譜線缺級(jí)現(xiàn)象.國(guó)內(nèi)現(xiàn)行教材涉及到了譜線缺級(jí)現(xiàn)象[1-2]，光柵衍射實(shí)驗(yàn)在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中也占有相當(dāng)重要的地位.然而，大部分的研究?jī)H停留在光線垂直于光柵平面入射下的譜線缺級(jí)現(xiàn)象，而對(duì)于光線斜入射下的譜線缺級(jí)現(xiàn)象的研究較為少見(jiàn)，而且很多文獻(xiàn)僅立足于d/b的值為整數(shù)的情況下，對(duì)于d/b的值不為整數(shù)時(shí)是否出現(xiàn)缺級(jí)現(xiàn)象并未說(shuō)明.

筆者從理論上推導(dǎo)光束垂直于光柵平面入射時(shí)與斜入射時(shí)譜線缺級(jí)現(xiàn)象和觀察到的條件，并運(yùn)用Matlab模擬驗(yàn)證了光柵衍射中的譜線缺級(jí)現(xiàn)象產(chǎn)生的條件.

1 不同入射方向下的譜線缺級(jí)現(xiàn)象產(chǎn)生條件的理論推導(dǎo)

在光柵每個(gè)縫的衍射不形成暗紋的條件下，才能形成光柵衍射明紋.若光柵某級(jí)明紋對(duì)應(yīng)的衍射角θ同時(shí)滿足單縫衍射的暗紋條件，則這一級(jí)明紋不會(huì)出現(xiàn)，由此產(chǎn)生了缺級(jí)現(xiàn)象[3].

1.1垂直入射下譜線缺級(jí)現(xiàn)象

圖1 垂直入射下的光柵衍射

一束平行光直接投射到光柵平面上，在光柵后面放置一透鏡L，那么在透鏡L的焦平面上放置的屏幕上將產(chǎn)生明暗相間的衍射圖樣，如圖1所示.光柵的衍射條紋可以看作是單縫衍射與多縫干涉的綜合結(jié)果.

在單縫衍射中，設(shè)入射光波長(zhǎng)為λ，且垂直于縫的平面入射，波面和縫面重合.光束的初相位為0°，振幅為A0，縫B′B寬為b，如圖2所示.

圖2 垂直入射時(shí)的單縫衍射

現(xiàn)將單縫分為一組平行于縫長(zhǎng)的窄帶(帶寬為dx)，據(jù)惠更斯-菲涅爾原理，狹縫處各窄帶發(fā)出的次波的振動(dòng)為

根據(jù)菲涅爾積分可知，平面BD上N點(diǎn)的光振動(dòng)的表達(dá)式為

(1)

將(1)式積分(從x=0到x=b)，可得衍射角θ的所有次波在觀察點(diǎn)P疊加起來(lái)的合振幅為

(2)

當(dāng)光屏放在透鏡L的焦平面上時(shí)，光屏上將出現(xiàn)衍射圖樣.因?yàn)楣鈴?qiáng)正比于振幅的平方，所以光強(qiáng)的分布為公式(3)，且不同的衍射角θ對(duì)應(yīng)于光屏上不同的觀察點(diǎn).由(2)式可知，當(dāng)sin(πbsinθ/λ)=0且πbsinθ/λ≠0時(shí)，則IP=0，即此時(shí)觀察點(diǎn)光強(qiáng)為0，屏上這些點(diǎn)是暗的[4].垂直入射時(shí)的單縫衍射光強(qiáng)最小值位置滿足：

bsinθ=kλk=±1,±2，….

(3)

對(duì)于多光束干涉，設(shè)有N束頻率相同的光沿著同一直線振動(dòng)，且各相鄰光束之間有相同的相位差φ和振幅A0，其疊加的結(jié)果用A0ei(ωt+φ0)來(lái)表示，則

Aeiφ0=A0[1+eiφ+…+ei(N-1)φ].

(4)

據(jù)等比數(shù)列的求和公式，有

(5)

由于光的強(qiáng)度正比于振幅的平方，所以疊加后的光強(qiáng)為

I=A2=Aeiφ0Ae-iφ0.

(6)

(7)

其中j0=Nj處為極大值[5].若j0=0,N,2N,…，其中N為整數(shù)倍，(7)式可整理得到相同位差的多光束疊加光強(qiáng)最大值位置滿足

φ=2jπ.

(8)

dsinθ=jλj=0,±1,±2,….

(9)

由(3)，(9)式可得

(10)

由上述推導(dǎo)可知，入射光垂直于光柵平面入射時(shí)，光譜條紋中滿足(10)式的級(jí)數(shù)缺失，所缺級(jí)的級(jí)次由光柵常數(shù)和縫寬決定.

據(jù)(9)式和三角函數(shù)的有界性可知-d≤jλ≤d，即

(11)

當(dāng)光柵光譜的第j級(jí)條紋同時(shí)滿足(10)，(11)式時(shí)，該級(jí)譜線缺級(jí)現(xiàn)象才會(huì)被觀察到.

1.2斜入射下的譜線缺級(jí)現(xiàn)象

圖3 斜入射下的光柵衍射

在實(shí)際應(yīng)用中，入射光相對(duì)于光柵平面的法線夾角不等于90°.如圖3所示，平行光以一定的入射角射向平面衍射光柵，光束中通過(guò)光柵的部分經(jīng)透鏡L在光屏上出現(xiàn)衍射圖樣.

根據(jù)衍射理論，當(dāng)一束平行光斜入射到光柵的表面時(shí)，不同縫間光發(fā)生干涉，同時(shí)每條縫發(fā)生衍射[6-7].

設(shè)入射光分居光柵法線的兩側(cè)，并與光柵法線的夾角為α(α>0)時(shí)，(1)式變?yōu)?/p>

(12)

b(sinθ±sinα)=kλk=±1,±2,…，

(13)

其中平行光與衍射光在法線同側(cè)時(shí)取加號(hào)，異側(cè)時(shí)取減號(hào).

d(sinθ±sinα)=jλj=0,±1,±2,…，

(14)

由(13)，(14)式可得，斜入射下的缺級(jí)現(xiàn)象產(chǎn)生的條件同樣是(10)式.

當(dāng)入射光從光柵法線上方入射時(shí)，根據(jù)(14)式可知，能觀察到譜線級(jí)數(shù)范圍為

(15)

當(dāng)入射光從光柵法線下方入射時(shí)，根據(jù)斜入射下的光柵方程可知，此時(shí)能觀察到譜線級(jí)數(shù)范圍為

(16)

故在斜入射條件下，當(dāng)入射光從光柵法線上方入射時(shí)，同時(shí)滿足(10)，(15)式時(shí)，缺級(jí)現(xiàn)象才能被觀察到；當(dāng)入射光從光柵法線下方入射時(shí)，同時(shí)滿足(10)，(16)式時(shí)，缺級(jí)現(xiàn)象才能被觀察到.

1.3垂直入射與斜入射下的譜線缺級(jí)現(xiàn)象的區(qū)別

由上述理論的推導(dǎo)可知，光線無(wú)論如何入射，其缺級(jí)現(xiàn)象產(chǎn)生的充分條件是一樣的，即如果所缺級(jí)條紋級(jí)數(shù)都存在，則所缺級(jí)數(shù)是固定不變的.

比較(11)，(15)，(16)式可知，垂直入射時(shí)光柵衍射圖樣中所缺譜線級(jí)數(shù)范圍與斜入射時(shí)譜線缺級(jí)級(jí)數(shù)范圍是不一樣的，能觀察到缺級(jí)條紋數(shù)目一般情況下也是不一樣.

若某光柵衍射實(shí)驗(yàn)滿足條件d=2b時(shí)，取d=2 μm，λ=500 nm，N=6，A0=1，實(shí)驗(yàn)觀察的譜線級(jí)數(shù)和缺級(jí)現(xiàn)象見(jiàn)表1.

表1 不同入射角下觀察到的譜線缺級(jí)現(xiàn)象

注 “☆”表示該級(jí)譜線能觀察到且缺級(jí)，“★”表示該級(jí)譜線能觀察到且不缺級(jí).

由表1可知，垂直入射與斜入射時(shí)能觀察到的譜線缺級(jí)的范圍是不一樣的，當(dāng)入射角發(fā)生變化時(shí)，譜線缺級(jí)現(xiàn)象的范圍也隨之發(fā)生變化.

2 基于MATLAB的實(shí)驗(yàn)分析

在圖2中，設(shè)入射光的振幅為A0，波長(zhǎng)為λ，初相為0，觀察點(diǎn)P所對(duì)應(yīng)的衍射角為θ，光柵衍射的光強(qiáng)是單縫衍射因子和縫間干涉因子的乘積[8].據(jù)(2)式可知，單縫衍射因子為

(17)

(18)

由(17)，(18)式可知，入射光經(jīng)光柵衍射后的光強(qiáng)為

為了驗(yàn)證滿足相關(guān)條件是否產(chǎn)生缺級(jí)現(xiàn)象，構(gòu)造光強(qiáng)關(guān)于條紋級(jí)數(shù)j的函數(shù)[9]，將光柵方程dsinθ=jλ代入(12)式可得

(19)

設(shè)d=3b，取d=5 μm，λ=500 nm，N=6，A0=1.由(10)式可以預(yù)測(cè)，該組條件下的光柵光譜的j級(jí)條紋對(duì)應(yīng)的光強(qiáng)為0，其中j=±3k(k=1,2,3,…,n).即這些級(jí)數(shù)缺失.

當(dāng)d=4b/3時(shí)，取d=5 μm，λ=500 nm，N=6，A0=1.根據(jù)理論推導(dǎo)的結(jié)論(10)式可以預(yù)測(cè)，該組條件下的光柵光譜的±4k級(jí)條紋對(duì)于的光強(qiáng)為0，即這些級(jí)數(shù)缺失，其中k=1，2，3，…，N.

圖4 d=3bj時(shí)光強(qiáng)與級(jí)數(shù)關(guān)系

圖5 d=4b/3時(shí)光強(qiáng)與級(jí)數(shù)關(guān)系

由圖5可知，j=±4k處的光強(qiáng)都等于0，k=1，2，3，…，N，即在這些地方出現(xiàn)了缺級(jí)現(xiàn)象，與理論預(yù)測(cè)一致.

由圖4，5可知，無(wú)論d/b的值是否為整數(shù)，只要譜線級(jí)數(shù)滿足(10)式，則對(duì)應(yīng)的譜線缺失[10].

3 結(jié)語(yǔ)

對(duì)于一定的波長(zhǎng)來(lái)說(shuō)，光柵衍射各級(jí)譜線的強(qiáng)度都有固定的分布.光柵衍射的光強(qiáng)是單縫衍射和縫間干涉2個(gè)因子的乘積.當(dāng)光柵衍射的衍射角θ既滿足單縫衍射極小值條件，又滿足多縫干涉主極大的條件時(shí)，衍射角θ所對(duì)應(yīng)的衍射主極大條紋消失，即出現(xiàn)譜線缺級(jí)現(xiàn)象.理論推導(dǎo)表明無(wú)論是光線垂直入射還是斜入射，譜線產(chǎn)生缺級(jí)的級(jí)次都須滿足j=kb/h這個(gè)條件.而在垂直入射下出現(xiàn)的譜線缺級(jí)的范圍與斜入射下出現(xiàn)譜線缺級(jí)的范圍是不一樣的，且當(dāng)改變?nèi)肷浣菚r(shí)，出現(xiàn)譜線缺級(jí)現(xiàn)象的范圍也是不一樣的.

[1] 姚啟鈞.光學(xué)教程[M].北京：高等教育出版社，2008：92-103.

[2] 母國(guó)光，戰(zhàn)元齡.光學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2009：237-254.

[3] 楊 坤.試論光柵缺級(jí)現(xiàn)象[J].洛陽(yáng)師專學(xué)報(bào)，1998，18(2)：42-44.

[4] 趙曉春.光的單縫衍射與光的雙縫干涉的本質(zhì)初探[J].物理教師，2013，34(2)：58-63.

[5] 賀德春，韓振海.多光束干涉的研究[J].河西學(xué)院學(xué)報(bào)，2006，22(2)：42-44.

[6] 徐翠艷，王 輝.關(guān)于光柵斜入射問(wèn)題的分析[J].渤海大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009，30(4)：359-361.

[7] 彭程遠(yuǎn)，李本喜，楊 鑫.對(duì)光線斜入射時(shí)光柵衍射的討論[J].阜新礦業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1995，14(3)：115-117.

[8] 趙 純，范素芹.夫瑯和費(fèi)光柵衍射光強(qiáng)分析[J].廣西物理，2010，31(1)：40-42.

[9] 張景川.基于MATLAB的光柵衍射條紋強(qiáng)度研究[J].甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011，25(1)：52-55.

[10] 盧 勇.光柵衍射中d/b是否整數(shù)對(duì)缺級(jí)的影響[J].臺(tái)州師專學(xué)報(bào)，2001，23(6)：43-46.

(責(zé)任編輯 向陽(yáng)潔)

SpectralLineAbsenceaboutGratingDiffraction

YE Fuqiu

(College of Physics,Mechanical and Electrical Engineering,Jishou University,Jishou 416000,Hunan China)

with incident light of different angles,the conditions for the phenomenon of spectral line absence occuring and being observed are theoretically deducted.By the means of numerical simulation,the condition for the phenomenon of spectral line absence under the vertical incidence is verified.And with incident light of with different angles the spectral line absence is compared.The results show that the phenomenon meetsj=kd/b.The difference between the two incidences is that the observed range of the spectral line’s absence striation is different to some extent under the same experimental conditions.

grating diffraction;spectral line absence;conditions for absence

1007-2985(2014)03-0044-05

2014-02-25

湖南省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11JJ6002；11JJ6060)，湖南省教育廳科學(xué)研究項(xiàng)目(10A100，12C0314)

葉伏秋(1967-)，男，湖南吉首人，吉首大學(xué)物理與機(jī)電工程學(xué)院副教授，碩士，主要從事光學(xué)及信息光學(xué)研究.

O436

A

10.3969/j.issn.1007-2985.2014.03.010