關(guān)于偽Smarandache函數(shù)Z(n)的2個(gè)問題*

黃 煒

(寶雞職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，陜西 寶雞 721013)

關(guān)于偽Smarandache函數(shù)Z(n)的2個(gè)問題*

黃 煒

(寶雞職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，陜西 寶雞 721013)

研究了lnZ(n)的均值分布性質(zhì)，利用初等、解析方法，獲得了偽Smarandache函數(shù)Z(n)的性質(zhì)，解決了 Felice Russo提出的2個(gè)擴(kuò)展極限的計(jì)算問題.

偽Smarandache函數(shù);分布性質(zhì)；極限;漸近公式

1 問題的提出

2 引理及其證明

其中C為正的常數(shù)，ζ(s)為柯西-黎曼zeta函數(shù).

引理1的證明由參考文獻(xiàn)[7]給出.

證明由文獻(xiàn)[8]知素?cái)?shù)定理可以用幾個(gè)不同的形式表示，即有

(1)

其中D是可計(jì)算的正常數(shù).

由素?cái)?shù)定理可表示的幾個(gè)不同形式的漸近公式(1)，有

引理2證畢.

引理3 對(duì)任意正整數(shù)n和k，有:(ⅰ)1≤Z(n)≤2n-1，Z(n)=2n-1當(dāng)且僅當(dāng)n=2k其中k為非負(fù)整數(shù)；(ⅱ)Z(n)=n-1，n=pk，其中p為大于2的素?cái)?shù)；(ⅲ)Z(n)≤n-1，其中n不能表達(dá)為n=2k的形式.

其證明見參考文獻(xiàn)[4-5].

3 定理的證明

xln(2x-1)-x+1+ln 2x=xlnx+O(x).

(2)

接下來估計(jì)U(n)的下界.將區(qū)間[1,x]中的整數(shù)分成如下2個(gè)集合A和B：A={m是square-full數(shù)，且m∈[1，x]}表示[1，x]；B={m是square-full數(shù)，且m∈[1，x]}.于是有

(3)

由集合A的定義及引理1，有

(4)

xlnx+O(x).

(5)

由(3),(4),(5)式，有

(6)

定理1證畢.

定理2，3的證明一方面，由定理 1，有

(7)

另一方面，由Z(n)的定義，有

(8)

結(jié)合(7)和(8)式，有

(9)

根據(jù)定理 1及Z(n)的定義，有

(10)

在定理3中取n→∞時(shí)即可推出對(duì)應(yīng)的極限.

[1] FELICE RUSSO.A Set of New Smarandache Function，Sequences and Conjectures in Number Theory[M].USA:American Research Press，2000.

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[7] 樂茂華.兩個(gè)關(guān)于偽Smarandache函數(shù)的方程[J].吉林化工學(xué)院學(xué)報(bào),2004,21(4):103-104.

[8] 關(guān)文吉,鄭亞妮.關(guān)于偽Smarandache函數(shù)的一個(gè)方程[J].紡織高校基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)報(bào),2008,21(2):151-153.

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[10] 潘承洞，潘承彪.解析函數(shù)論基礎(chǔ)[M].北京：科學(xué)出版社,1997：98.

(責(zé)任編輯 向陽(yáng)潔)

OnTwoQuestionsofthePseudoSmarandacheFunctionZ(n)

HUANG Wei

(Basic Department，Baoji Vocational Technology College，Baoji 721013,Shaanxi China)

The arithmetical properties of lnZ(n) is studied by the elementary methods and analytic methods,the properties of pseudo Smarandache functionZ(n) are therefore obtained,and thus the two computational problems of limit extension proposed by Felice Russo are solved.

pseudo Smarandache function;distribution properties;limit;asymptotic formula

1007-2985(2014)05-0010-03

2014-02-20

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11071194);陜西省教育廳自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(09JK432)

黃 煒(1961—)，男，陜西岐山人，寶雞職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部教授，碩士，主要從事解析數(shù)論與特殊函數(shù)研究.

O156.4

A

10.3969/j.issn.1007-2985.2014.05.003