基于期望值的模糊互補(bǔ)判斷矩陣的排序方法*

曾三云，龍 君

(1.吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南 吉首 416000；2.吉首大學(xué)民族預(yù)科教育學(xué)院，湖南 吉首 416000)

基于期望值的模糊互補(bǔ)判斷矩陣的排序方法*

曾三云1，龍 君2

(1.吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南 吉首 416000；2.吉首大學(xué)民族預(yù)科教育學(xué)院，湖南 吉首 416000)

研究了決策信息以模糊變量形式給出的互補(bǔ)判斷矩陣的排序問(wèn)題，給出了模糊互補(bǔ)判斷矩陣與加型模糊一致性互補(bǔ)判斷矩陣的概念及相關(guān)性質(zhì)，進(jìn)而提出一種模糊互補(bǔ)判斷矩陣排序的中轉(zhuǎn)法.首先基于期望值將模糊互補(bǔ)判斷矩陣轉(zhuǎn)化為加型模糊一致性互補(bǔ)判斷矩陣，從而求得其排序向量，進(jìn)而對(duì)決策方案進(jìn)行排序和擇優(yōu).

模糊互補(bǔ)判斷矩陣；期望值；排序；中轉(zhuǎn)法

在多屬性決策過(guò)程中，決策者往往需要對(duì)決策方案進(jìn)行兩兩比較，并構(gòu)造判斷矩陣，再運(yùn)用適當(dāng)方法求出判斷矩陣的排序向量，進(jìn)而對(duì)方案進(jìn)行排序和擇優(yōu).目前人們所研究的判斷矩陣主要有2種形式：互反判斷矩陣和互補(bǔ)判斷矩陣.判斷值為精確數(shù)的互補(bǔ)判斷矩陣排序理論的研究已比較成熟[1-4].然而，由于客觀事物的復(fù)雜性、不確定性以及人類認(rèn)識(shí)的模糊性，當(dāng)人們?cè)跇?gòu)造互補(bǔ)判斷矩陣的時(shí)候，所得到的判斷值有時(shí)不是精確數(shù)，而是模糊數(shù).對(duì)于判斷值以特殊模糊數(shù)形式給出的互補(bǔ)判斷矩陣的排序方法的研究也已取得許多成果，如文獻(xiàn)[5-8]研究了區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣的排序方法，文獻(xiàn)[9-11]研究了三角模糊數(shù)互補(bǔ)判斷矩陣的排序方法，文獻(xiàn)[12-14]研究了梯形模糊數(shù)互補(bǔ)判斷矩陣的排序方法.但是，判斷值以模糊變量這種一般形式給出的互補(bǔ)判斷矩陣的排序問(wèn)題還未見(jiàn)研究成果.因此，筆者嘗試?yán)媚：兞康钠谕道碚搧?lái)處理這類問(wèn)題，給出模糊互補(bǔ)判斷矩陣與加型模糊一致性互補(bǔ)判斷矩陣的概念及相關(guān)性質(zhì)，進(jìn)而提出模糊互補(bǔ)判斷矩陣排序的中轉(zhuǎn)法.

1 預(yù)備知識(shí)

為方便起見(jiàn)，令N={1,2,…,n}.

定義1[15]設(shè)ξ為從可能性空間(Θ,P(Θ),Pos)到實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，則稱ξ是一個(gè)模糊變量，其隸屬函數(shù)為μξ(x)=Pos{θ∈Θ|ξ(θ)=x}.若Pos{ξ<0}=0，則稱ξ為非負(fù)模糊變量，記為ξ≥0.

模糊變量的期望值可利用模糊模擬技術(shù)來(lái)求解.假設(shè)f:Rn→R是一個(gè)實(shí)值函數(shù)，ψ=(ξ1,ξ2,…,ξn)是可能性空間(Θ,P(Θ),Pos)上的模糊向量，則f(ψ)也是一個(gè)模糊變量，它的期望值E[f(ψ)]可用一個(gè)模糊模擬過(guò)程來(lái)估計(jì)，具體步驟見(jiàn)算法1.

算法1[15](模糊模擬)

步驟1 置e= 0；

步驟2 分別從Θ中均勻產(chǎn)生θk，使得Pos{θk}≥ε，令vk=Pos{θk},k=1,2,…,N,其中ε是個(gè)充分小的數(shù)；

步驟3 置a=f(ψ(θ1))∧…∧f(ψ(θN)),b=f(ψ(θ1))∨…∨f(ψ(θN))；

步驟4 從[a,b]中均勻產(chǎn)生r;

步驟7 重復(fù)步驟4到步驟6共N次；

引理1[15]設(shè)ξ,η為2個(gè)模糊變量，并且期望值有限，則對(duì)任意實(shí)數(shù)a和b，有E[aξ+bη]=aE[ξ]+bE[η].

定義4 若模糊互補(bǔ)判斷矩陣B=(bij)n×n滿足E[bij]=E[bik]-E[bjk]+0.5,i,j,k∈N,則稱B為加型模糊一致性互補(bǔ)判斷矩陣.

2 定理及證明

設(shè)決策者對(duì)n個(gè)方案兩兩進(jìn)行重要性比較，得到的模糊互補(bǔ)判斷矩陣為B=(bij)n×n，則有以下結(jié)論成立：

證明由定義3可得，

證畢.

E[bij]=a(wi-wj)+0.5=a(wi-wk+wk-wj)+0.5=a(wi-wk)+0.5-

(a(wj-wk)+0.5)+0.5=E[bik]-E[bjk]+0.5.

由定義4知，B=(bij)n×n是加型模糊一致性互補(bǔ)判斷矩陣.

又因?yàn)?/p>

所以E[bij]=a(wi-wj)+0.5.

證畢.

定理3 若B=(bij)n×n為加型模糊一致性互補(bǔ)判斷矩陣，則其屬性權(quán)重為

(1)

證畢.

得到加型模糊一致性互補(bǔ)判斷矩陣R=(rij)n×n，則由其元素rij與排序變量的關(guān)系式E[rij]=a(wi-wj)+0.5，可求得排序變量為

(2)

證明由定理3知

(3)

代入(3)式可得，

即(2)式成立.

證畢.

求出排序變量wi(i∈N)以后，利用排序變量的大小對(duì)方案進(jìn)行排序和擇優(yōu).

3 算例分析

對(duì)于某一多屬性決策問(wèn)題，設(shè)有5個(gè)決策方案xi(i=1,2,…,5)可供選擇，決策者在某一準(zhǔn)則下，對(duì)這5個(gè)方案進(jìn)行兩兩比較，給出模糊互補(bǔ)判斷矩陣：

下面利用文中的中轉(zhuǎn)法對(duì)決策方案進(jìn)行排序，步驟如下：

(ⅱ)將模糊互補(bǔ)判斷矩陣B代入(2)式，并利用模糊模擬算法1(模擬5 000次)計(jì)算出決策方案的排序向量為：當(dāng)a=2時(shí)，w=(0.175,0.217,0.252,0.211,0.145)；當(dāng)a=2.5時(shí)，w=(0.180,0.214,0.232,0.209,0.166).

(ⅲ)根據(jù)排序向量的大小對(duì)方案進(jìn)行排序，得到：當(dāng)a=2時(shí)，x3?x2?x4?x1?x5；當(dāng)a=2.5時(shí)，x3?x2?x4?x1?x5.

由以上步驟可看出，2種情形下的結(jié)果是一致的，故最優(yōu)方案為x3.

4 結(jié)語(yǔ)

運(yùn)用模糊變量的期望值理論，研究了判斷值以模糊變量形式給出的模糊互補(bǔ)判斷矩陣的排序方法，給出了模糊互補(bǔ)判斷矩陣與加型模糊一致性互補(bǔ)判斷矩陣的概念及相關(guān)性質(zhì)，并提出了一種通用的排序方法.該方法不僅可應(yīng)用于決策信息以各種特殊模糊數(shù)(區(qū)間數(shù)、三角模糊數(shù)、梯形模糊數(shù))形式給出的互補(bǔ)判斷矩陣的排序問(wèn)題，而且能夠處理決策信息以一般模糊變量形式給出的互補(bǔ)判斷矩陣的排序問(wèn)題，為解決模糊互補(bǔ)判斷矩陣的排序問(wèn)題提供了新途徑.

[1] 徐澤水.模糊互補(bǔ)判斷矩陣排序的最小方差法[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,2001,21(10):93-96.

[2] 肖四漢,樊治平,王夢(mèng)光.Fuzzy 判斷矩陣的一致性研究[J].系統(tǒng)工程學(xué)報(bào),2001,16(2):142-145.

[3] XU Zeshui.Two Approaches to Improving the Consistency of Complementary Judgement Matrix[J].Applied Mathematics-A Journal of Chinese Universities,2002,17(2):227-235.

[4] LIPOVETSKY S,CONKLIN W M.Robust Estimation of Priorities in the AHP[J].European Journal of Operational Research,2002,137:110-122.

[5] 徐澤水.區(qū)間數(shù)互補(bǔ)判斷矩陣排序的一種實(shí)用方法[J].運(yùn)籌與管理,2001,10(1):16-19.

[6] 鞏在武,劉思峰.區(qū)間數(shù)互補(bǔ)判斷矩陣的一致性及其排序研究[J].中國(guó)管理科學(xué),2006,14(4):64-68.

[7] 徐改麗,伍艷春.基于乘性一致的區(qū)間數(shù)互補(bǔ)判斷矩陣排序法[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué),2013,27(1):124-130.

[8] 周宏安.基于最小偏差和優(yōu)勢(shì)度的區(qū)間數(shù)互補(bǔ)判斷矩陣排序[J].運(yùn)籌與管理,2013,22(2):125-128.

[9] 徐澤水.基于FOWA算子的三角模糊數(shù)互補(bǔ)判斷矩陣排序法[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,2003,10：86-89.

[10] 龔艷冰,陳森發(fā).三角模糊數(shù)互補(bǔ)判斷矩陣的一種排序方法[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué),2008,22(1):127-131.

[11] 蘇哲斌.基于一致性逼近的三角模糊數(shù)互補(bǔ)判斷矩陣的排序方法[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué),2009,23(4):126-130.

[12] 侯福均,吳祈宗.基于Hausdorff距離的模糊數(shù)互補(bǔ)判斷矩陣排序研究[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué),2005,19(2):110-115.

[13] 吳 堅(jiān).一種新的梯形模糊數(shù)互補(bǔ)判斷矩陣的排序方法[J].中國(guó)管理科學(xué),2010,18(3):95-100.

[14] 曾三云.基于可能度的梯形模糊數(shù)排序方法[J].廣西科學(xué),2012,19(1):25-27.

[15] LIU Baoding.Theory and Practice of Uncertain Programming[M].Heidelberg：Physica-Verlag,2002:1-300.

(責(zé)任編輯 向陽(yáng)潔)

APriorityMethodforFuzzyComplementaryJudgmentMatrixBasedonExpectedValue

ZENG Sanyun1，LONG Jun2

(1.College of Mathematics and Statistics,Jishou University,Jishou 416000,Hunan China;2.School of Preparatory Education for Minority Nationalities,Jishou University,Jishou 416000,Hunan China)

The priority problem of complementary judgment matrix,in which the decision information is given in the form of fuzzy variables,is studied.It presents the concepts of fuzzy complementary judgment matrix and fuzzy additive consistency judgment matrix and their properties.Then a universal priority method is developed.This method can not only solve the priority problem of complementary judgment matrix that the decision information is given in the form of special fuzzy numbers,such as interval number,triangular fuzzy number,and trapezoidal fuzzy number,but also can solve the priority problem of complementary judgment matrix that the decision information is given in the form of general fuzzy variables.

fuzzy complementary judgment matrix;expected value;priority;middle transfer method

1007-2985(2014)06-0024-05

2014-03-04

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71302072)；湖南省教育廳科學(xué)研究項(xiàng)目(10C1126)

曾三云(1980—)，女，湖南邵陽(yáng)人，吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院講師，在讀博士，主要從事模糊決策及不確定理論的應(yīng)用研究.

O223；C934

A

10.3969/j.issn.1007-2985.2014.06.007