空間Lp(Ω)中強(qiáng)收斂和弱收斂的一些判別方法*

邢家省，高建全，羅秀華

(1.北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，數(shù)學(xué)、信息與行為教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100191;2.平頂山教育學(xué)院，河南 平頂山 467000)

空間Lp(Ω)中強(qiáng)收斂和弱收斂的一些判別方法*

邢家省1，高建全2，羅秀華2

(1.北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，數(shù)學(xué)、信息與行為教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100191;2.平頂山教育學(xué)院，河南 平頂山 467000)

考慮勒貝格控制收斂定理的應(yīng)用和強(qiáng)收斂的充分必要條件問(wèn)題，運(yùn)用由勒貝格控制收斂定理導(dǎo)出的近代新結(jié)果，對(duì)一些古典結(jié)果的證明方法給予了新的簡(jiǎn)化處理，給出了強(qiáng)收斂的充分必要條件判別定理.

勒貝格控制收斂定理；強(qiáng)收斂；幾乎處處收斂；依測(cè)度收斂；弱收斂

勒貝格控制收斂定理的證明和及其應(yīng)用是經(jīng)典實(shí)變函數(shù)論中的重要課題[1-4]，得到了相當(dāng)廣泛深刻的研究，引起了人們極大的研究興趣.對(duì)許多結(jié)果,人們給出了多種多樣的處理方法，其中許多處理方法是原始復(fù)雜的.筆者發(fā)現(xiàn)，可以利用近代給出的新的處理方法和結(jié)果，對(duì)一些經(jīng)典結(jié)果給出新的系統(tǒng)的處理，而不增加難度和復(fù)雜性，推進(jìn)新的認(rèn)識(shí)，有利于理解接受.

1 勒貝格控制收斂定理和強(qiáng)收斂的充分必要條件

定理1就是著名的勒貝格控制收斂定理，顯然是一種導(dǎo)致強(qiáng)收斂的充分條件,人們自然要去考慮強(qiáng)收斂的充分必要條件是怎樣的.圍繞此課題，人們進(jìn)行了持續(xù)研究.

利用勒貝格控制收斂定理可以直接導(dǎo)出如下一系列的結(jié)論:

證明首先給出一個(gè)基本不等式:

|(|a+b|q-|a|q)|≤ε|a|q+C(ε)|b|qa,b∈R,ε>0，

其中常數(shù)C(ε)僅依賴(lài)于ε和q.

事實(shí)上，當(dāng)q>1時(shí)，記g(t)=|t|q，則g′(t)=q|t|q-1sgnt.利用微分中值定理及帶ε的Young不等式，得

|(|a+b|q-|a|q)|=|g(a+b)-g(a)|=|g′(ξ)b|≤q(|a+b|+|a|)q-1|b|≤

q(2|a|+|b|)q-1|b|≤q2q-1((2|a|)q-1+|b|q-1)|b|≤

ε|a|q+C(ε)|b|q.

|f|q-ε|fk-f|q)+=(C(ε)+1)|f|q.

證明必要性顯然.

定理8和定理9，在文獻(xiàn)[1-4]中給出的證明過(guò)程是相當(dāng)復(fù)雜的.筆者利用定理2至定理7的結(jié)論，給出了簡(jiǎn)單處理，而定理2至定理7的證明是勒貝格控制收斂定理的直接深刻挖掘性應(yīng)用,可以添加在教材里，而不增加難度和復(fù)雜性.

2 弱收斂和強(qiáng)收斂的關(guān)系

強(qiáng)收斂蘊(yùn)含弱收斂，下面考察對(duì)弱收斂再增加什么條件能保證強(qiáng)收斂.

定理11的證明是泛函分析中的共鳴定理和Lq′(Ω)上泛函范數(shù)表示的直接應(yīng)用.

證明由

再應(yīng)用條件和定理11，即得結(jié)論.

注意到，當(dāng)1

證明若‖f‖q=0，則結(jié)論顯然成立.

定理13的結(jié)論，對(duì)q=1或q=∞的情形不成立.

例2 令

在定理7和定理8中,當(dāng)p=∞時(shí)，充分性結(jié)論不成立，上面的例2，可以驗(yàn)證這一點(diǎn).

定理14 設(shè)fk，f∈L1(Ω)，{fk}在L1(Ω)中弱收斂于f，則{fk}強(qiáng)收斂于f當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)每一可測(cè)集B?Ω，mesB<∞，{fk}在B上依測(cè)度收斂于f.

3 弱收斂與有界性

利用共鳴定理和Lp′(Ω)上的有界線(xiàn)性泛函表示定理，即可證明定理15的結(jié)論.

利用簡(jiǎn)單函數(shù)集在Lp′(Ω)中的稠密性和{fk}在Lp(Ω)中的有界性，即可證明定理17.

例3 令

在定理19中,對(duì)p=1的情形是不成立的，可由上面的例3說(shuō)明.

4 弱收斂判別定理

引理1[7]設(shè)fk，f∈Lp(Ω)，p≥1，fk→f在Lp(Ω)中強(qiáng)收斂，則{fk}依測(cè)度收斂于f，并且存在子序列{fkj}?{fk}，滿(mǎn)足{fkj}在Ω上幾乎處處收斂于f.

證明(ⅰ)由Fatou引理，即得結(jié)論.

(ⅱ)利用條件mesΩ<∞，{gk}在Ω上幾乎處處收斂于g，推出{gk}依測(cè)度收斂于g.Ek={x∈Ω|gk(x)-g(x)≥ε}，mesEk→0，k→∞.

由H?lder不等式，得

當(dāng)q=1時(shí)，引理3的(ⅲ)不再成立，例3可以說(shuō)明這一點(diǎn).當(dāng)mesΩ=∞時(shí)，引理3的(ⅱ)不再成立.

定理20的條件是事先知道有f∈Lq(Ω)，此時(shí)利用簡(jiǎn)單函數(shù)集在Lq′(Ω)中的稠密性，即可給出證明.

[1] 周民強(qiáng).實(shí)變函數(shù)論[M].北京：北京大學(xué)出版社，1995：183-191.

[2] 郭懋正.實(shí)變函數(shù)與泛函分析[M].北京：北京大學(xué)出版社，2005：115-133.

[3] 徐森林.實(shí)變函數(shù)論[M].合肥:中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,2002：259-277.

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[8] 邢家省.一致凸空間的一些性質(zhì)及其應(yīng)用[J].河南科學(xué)，2001，19(2)：111-117.

[9] 鐘太勇，李德旺，余曉娟.可積函數(shù)空間Lp中的幾種收斂性關(guān)系[J].四川理工學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2007,20(6):11-14.

(責(zé)任編輯 向陽(yáng)潔)

DiscriminanceofStrongandWeakConvergenceinSpaceLp(Ω)

XING Jiasheng1，GAO Jianquan2,LUO Xiuhua2

(1.Department of Mathematics,LMIB of the Ministry of Education,Beihang University,Beijing 100191，China;2.Pingdingshan Institute of Education,Pingdingshan 467000,Henan China)

The application of Lebesgue dominated convergence theorem and the necessary and sufficient condition of strong convergence are discussed in this paper.New simplified proof methods of some classic results are obtained by means of recent results derived by Lebesgue dominated convergence theorem and the discriminant theorem of the necessary and sufficient condition of strong convergence is demonstrated.

Lebesgue dominated convergence theorem;strong convergence;almost sure convergence;convergence in measure;weak convergence

1007-2985(2014)06-0001-06

2014-03-18

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11201020)；北京航空航天大學(xué)校級(jí)重大教改項(xiàng)目(201401)

邢家省(1964—)，男，河南泌陽(yáng)人,北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院副教授,博士，主要從事偏微分方程、微分幾何研究.

O174.2

A

10.3969/j.issn.1007-2985.2014.06.001