基于奇異值分解和相關(guān)峭度的滾動軸承故障診斷方法研究

張永祥，王孝霖，張 帥，朱杰平

(海軍工程大學(xué) 動力工程學(xué)院, 武漢 430033)

滾動軸承在各類旋轉(zhuǎn)機(jī)械中應(yīng)用廣泛，是機(jī)械設(shè)備的關(guān)鍵零部件，也是易損元件。振動監(jiān)測法適用于各種類型和工況的軸承，且適于早期故障監(jiān)測和在線監(jiān)測，是常用的滾動軸承故障監(jiān)測診斷方法。滾動軸承的工作環(huán)境一般包含很多其它機(jī)械零部件，檢測信號中存在諸如機(jī)器不平衡產(chǎn)生的振動、齒輪嚙合振動等強(qiáng)背景噪聲，滾動軸承輕微故障的特征信息往往淹沒在背景噪聲中，很難被發(fā)現(xiàn)和提取出來。

近年來，眾多學(xué)者對軸承的故障診斷進(jìn)行了廣泛研究[1]，常用方法的核心集中于消噪和特征提取。小波分析在原信號中故障沖擊相對明顯時，可以獲得更為明顯、可以確認(rèn)的時域沖擊特征，但是小波分析的頻帶特性使其難以對微弱故障特征進(jìn)行有效提取[2]。奇異值分解(SVD)近年來在信號的處理分析中獲得了重要的應(yīng)用，在特征信息分離和弱信號提取方面取得了良好的效果[2-3]。Hankel矩陣方式下的SVD分量信號具有線性疊加特性，通過選取感興趣的分量進(jìn)行疊加，可以實現(xiàn)對信號特征信息的提取[4]。利用SVD分離出的分量信號進(jìn)行特征提取時，關(guān)鍵在于有用分量的確定，分量的選擇影響信號處理的效果。

本文首先分析了Hankel矩陣方式下SVD的信號分解原理，指出其信號分解的實質(zhì)是一種線性疊加分解[4]。隨后，引入了相關(guān)峭度的概念，并對相關(guān)峭度的定義進(jìn)行了闡述[5]。對SVD的特征提取方法進(jìn)行研究，結(jié)合軸承振動信號的特點(diǎn)，提出了根據(jù)相關(guān)峭度進(jìn)行SVD分量信號選擇的軸承故障特征提取方法。對滾動軸承故障沖擊振動信號展開研究，通過仿真信號和工程實測的滾動軸承振動信號對該方法的有效性進(jìn)行驗證。

1 SVD的信號分解和特征提取

1.1 SVD的信號分解原理

奇異值分解是指[6]：對于一個實矩陣A∈Rm×n，必定存在正交矩陣U∈Rm×n和正交矩陣V∈Rn×n，使得(1)成立

A=UDVT

(1)

式中，D為對角陣，D∈Rm×n，可表示為D=[diag(σ1,σ2,…,σq)O]或者其轉(zhuǎn)置，這取決于m≤n還是m>n，O表示零矩陣，q=min(m,n)，且有σ1≥σ2≥…≥σq≥0，它們稱為矩陣A的奇異值。

對于一個一維信號序列，為了利用SVD對其進(jìn)行處理，必須先利用信號構(gòu)造出一個矩陣。設(shè)有離散數(shù)字信號X=[x(1),x(2),…,x(N)]，利用此信號可以構(gòu)造Hankel矩陣[7]。

為了利用SVD實現(xiàn)信號的分離，需將式(1)改寫成用列向量ui和vi表示的形式

(2)

(3)

從Hankel矩陣的構(gòu)造過程可知，只要將Ai的第一個行向量Pi,1=[xi(1)xi(2) …xi(n)]和最后一個列向量中第2行至m行元素組成的向量Hi,n=[xi(n+1)xi(n+2) …xi(N)]首尾相接，就可以構(gòu)成一個分量信號Si，寫成向量形式為

Si=[Pi,1Hi,n]Pi,1∈R1×n,Hi,1∈R1×(m-1)

(4)

全部Ai(i=1,2,…,1)按照此方式構(gòu)成的分量Si就形成了對原始信號的一種分解，分量信號的順序根據(jù)相應(yīng)奇異值σi的大小從高到底依次排列。這q個分量信號的線性疊加的結(jié)果就是原始信號，即

S1+S2+…+Sq=X

(5)

由以上過程可知，SVD可以將原始信號分解為一系列分量信號的簡單線性疊加。利用這種線性疊加關(guān)系，通過選取合適的分量，可以實現(xiàn)對信號特征信息的提取。

1.2 矩陣結(jié)構(gòu)的確定

Hankel矩陣構(gòu)造時，m和n的取值不同，SVD的信號分解效果會有很大區(qū)別。可以通過對信息量變化趨勢進(jìn)行分析，進(jìn)而確定合理的矩陣結(jié)構(gòu)。

各分量信號Si包含的信息量是彼此不同的，具體由相應(yīng)奇異值大小決定，σi越小，則相應(yīng)Si的信息量越小，Si的信息量可由下式綜合衡量[8]：

(6)

實際上，信息量過小的信號分量的意義不大，據(jù)此可以合理地確定矩陣行列。方法如下：取一系列不同的行數(shù)m構(gòu)造Hankel矩陣，利用相應(yīng)矩陣的奇異值計算各分量信號的信息量，并觀察它們的變化趨勢。若不論m取何值，從某一信息量ηi開始的后續(xù)信息量都趨于零，則表明第i個分量之后的其它分量并沒有多大意義，此時可以確定矩陣行數(shù)m=i，而列數(shù)為n=N-m+1。

1.3 相關(guān)峭度

峭度指標(biāo)能有效地反映機(jī)械設(shè)備中的沖擊信號，峭度越大，沖擊越強(qiáng)。所以，很多學(xué)者利用峭度來提取滾動軸承由故障引起的沖擊信號[9]。但機(jī)械設(shè)備中沖擊源較多，如齒輪點(diǎn)蝕、滾動軸承表面損傷、泵中滾體氣蝕等。因此，僅用峭度來提取(或衡量)滾動軸承故障信號，有時有效性顯得不足。相關(guān)峭度(Correlated Kurtosis)CK既保留了峭度的特性，也具有相關(guān)函數(shù)的特性，它能提取一些特定周期的沖擊信號。相關(guān)峭度的計算公式為[5]：

(7)

式中，xn為信號序列，N為采樣長度，T為感興趣脈沖信號的周期，M為偏移的周期個數(shù)。

相關(guān)峭度是反映振動信號中特定周期脈沖信號強(qiáng)度的參數(shù)，它與脈沖信號的周期相關(guān)。相關(guān)峭度能夠準(zhǔn)確反映出信號中故障沖擊信號的強(qiáng)度，因此特別適用于軸承表面損傷類故障。應(yīng)用于滾動軸承時，給定偏移故障周期T，如果軸承存在故障，則與軸承故障周期相同的沖擊信號相關(guān)峭度較大，而其它沖擊信號的相關(guān)峭度很小。并且，相關(guān)峭度值越大，說明信號中故障沖擊信號所占的比重越多。所以，利用相關(guān)峭度能更加有效地提取故障信號。

1.4 基于SVD和相關(guān)峭度的特征提取方法

如上所述，當(dāng)分量信號的相關(guān)峭度比較大時，可以判斷此分量的沖擊成分最為明顯，包含的軸承故障信息較多。利用SVD進(jìn)行滾動軸承故障特征提取時，可以將相關(guān)峭度作為SVD分量的選擇依據(jù)?；赟VD和相關(guān)峭度的特征提取方法可以總結(jié)為以下幾個步驟：

(1)根據(jù)信號構(gòu)造Hankel矩陣，對行數(shù)m取不同值時SVD分量信號的信息量變化趨勢進(jìn)行分析，確定合理的矩陣結(jié)構(gòu)。

(2)由確定的行列數(shù)構(gòu)造出矩陣，通過SVD將原始信號分解為一系列分量信號的簡單線性疊加。

(3)求出每個SVD分量信號的相關(guān)峭度值，選取相關(guān)峭度值最大的分量，從而實現(xiàn)對原信號中故障特征的提取。

(4)對提取信號進(jìn)行平方包絡(luò)解調(diào)分析，從而獲得信號的包絡(luò)譜，根據(jù)包絡(luò)譜中特征頻率對滾動軸承故障類型進(jìn)行判斷。

2 仿真研究

為了驗證基于SVD和相關(guān)峭度的滾動軸承故障診斷方法的正確性和有效性，首先利用滾動軸承內(nèi)圈故障的仿真信號進(jìn)行研究分析。

2.1 信號仿真

滾動軸承發(fā)生早期故障時，測得的振動信號中既有弱故障信號，還包含齒輪嚙合、軸不對中等產(chǎn)生的諧波信號以及其它背景噪聲，可得滾動軸承內(nèi)圈單個損傷點(diǎn)引起的振動模型如下[10]:

(8)

式中，Ai為以1/fr為周期的幅值調(diào)制，fr為軸的轉(zhuǎn)頻；B(t)為背景諧波分量，fm為齒輪嚙合頻率；s(t)為指數(shù)衰減脈沖，兩相鄰沖擊的間隔為T，τi為滑移引起的第i個脈沖的周期延遲；n(t)為白噪聲；A0、B0、CA為常數(shù)，CA>A0；R為由系統(tǒng)決定的衰減系數(shù)，fn為系統(tǒng)的自然頻率。

2.2 驗證與分析

設(shè)采樣頻率fs為16 384 Hz，轉(zhuǎn)頻fr為52 Hz，故障頻率fi為180 Hz，信號時長0.5 s。由(8)式可得仿真信號波形如圖1(a)所示，圖中顯示了局部放大后的一段時域波形，時域波形圖中包含明顯的諧波分量，故障信號微弱，再加上噪聲的干擾，很難看到故障沖擊。仿真信號的平方包絡(luò)譜分析結(jié)果如圖1(b)所示，可以看出解調(diào)診斷的效果欠佳，軸承轉(zhuǎn)頻譜線不明顯，故障特征頻率180 Hz雖能解調(diào)出來，但軸承內(nèi)圈故障信號的調(diào)制特征沒有解調(diào)出來。由仿真信號的波形和平方包絡(luò)譜不能對故障進(jìn)行有效診斷。

圖1 仿真信號

對長度N=8 192的仿真信號進(jìn)行處理分析，先通過取一系列不同的行數(shù)m構(gòu)造Hankel矩陣，利用相應(yīng)矩陣的奇異值計算各分量信號的信息量，對分量信息量變化趨勢進(jìn)行分析，可以確定矩陣行數(shù)m=20，列數(shù)n=8 173，然后進(jìn)行SVD分解可得到20個分量信號。由感興趣分量周期T=1/fi，利用相關(guān)峭度公式(7)可得各分量的相關(guān)峭度值，峭度值曲線如圖2所示。由圖2可以看出，第4個分量信號的相關(guān)峭度值最大，進(jìn)而對第4個分量信號進(jìn)行提取。提取信號波形如圖3(a)所示，從其時域波形中能看到比較明顯的故障沖擊及幅值調(diào)制。對提取信號作平方包絡(luò)分析如圖3(b)所示，包絡(luò)譜圖能精確地指示故障特征頻率180 Hz及其各階倍頻分量，同時以各階倍頻為中心在其兩旁有間隔等于旋轉(zhuǎn)頻率的調(diào)制譜線。由平方包絡(luò)譜圖和軸承內(nèi)圈故障信號的特征，能夠有效診斷出軸承內(nèi)圈故障，這驗證了本文提出的基于SVD和相關(guān)峭度的滾動軸承故障特征提取方法的有效性。

圖2 相關(guān)峭度值曲線

3 實驗研究

3.1 實驗裝置

滾動軸承的實際振動信號來自實驗室的滾動軸承故障模擬平臺，實驗裝置如圖4(a)所示，故障軸承安裝在左端。實驗采用6 010型滾動軸承，滾動軸承的結(jié)構(gòu)參數(shù)：軸承節(jié)徑D=65 mm，滾動體直徑d=9 mm，滾動體數(shù)目Z=13，接觸角為α=0°。該滾動軸承為內(nèi)圈故障。實驗中使用加速度傳感器采集振動信號，測量點(diǎn)的布置如圖4(b)所示，傳感器采用鋼制螺栓固定，分別安放在軸承近端(測點(diǎn)1)和遠(yuǎn)端(測點(diǎn)2)，并同時測量徑向和軸向的振動。

本文采用軸承遠(yuǎn)端測得的軸向振動信號，軸承振動信號用B&K3560C振動噪聲分析系統(tǒng)測量獲得，采樣頻率為16 384 Hz。實驗轉(zhuǎn)速為2 022 r/min，即轉(zhuǎn)頻fr為33.70 Hz，由軸承幾何參數(shù)及各特征頻率與轉(zhuǎn)頻的關(guān)系[8]，可得內(nèi)圈特征頻率fi=249.38 Hz。

圖4 滾動軸承模擬實驗臺

3.2 實驗數(shù)據(jù)及分析

實測振動信號的波形如圖5(a)所示，軸承故障信號從軸承到遠(yuǎn)端測點(diǎn)，經(jīng)傳遞過程產(chǎn)生衰減，加上機(jī)體振動、皮帶輪不平衡產(chǎn)生的振動等背景噪聲，可以看到皮帶輪處產(chǎn)生的明顯周期沖擊，而故障周期沖擊脈沖不明顯。實測振動信號的平方包絡(luò)譜如圖5(b)所示，可以看到由于背景噪聲的干擾，解調(diào)診斷的效果欠佳，只有34 Hz處近似轉(zhuǎn)頻譜線清晰可見，故障特征頻率250 Hz雖能解調(diào)出來，但軸承內(nèi)圈故障信號的調(diào)制特征沒有解調(diào)出來。由實測信號的波形和平方包絡(luò)譜，無法對軸承故障進(jìn)行有效判斷。

取實測信號的8 192個數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行處理分析，通過取一系列不同的行數(shù)m構(gòu)造Hankel矩陣，利用相應(yīng)矩陣的奇異值計算各分量信號的信息量，對分量信息量變化趨勢進(jìn)行分析，可以確定矩陣行數(shù)m=50，列數(shù)n=8 143，然后進(jìn)行SVD分解得到50個分量信號。構(gòu)造Hankel矩陣，根據(jù)經(jīng)驗對信號進(jìn)行SVD分解得到50個分量。由感興趣分量周期T=1/fi，利用相關(guān)峭度公式(7)可得各分量的相關(guān)峭度值，相關(guān)峭度值曲線如圖6所示。由圖6可以看出，第12個分量信號的相關(guān)峭度值最大，進(jìn)而對第12個分量信號進(jìn)行提取。提取信號的波形如圖7(a)所示，圖中可以看出明顯的故障沖擊及轉(zhuǎn)頻的幅值調(diào)制。對提取信號進(jìn)行平方包絡(luò)分析得到的包絡(luò)譜如圖7(b)所示，圖中可以看到內(nèi)圈故障特征頻率250 Hz(理論計算值249.38 Hz)及其倍頻，且譜線較為明顯。包絡(luò)譜中也可看到轉(zhuǎn)頻34 Hz(理論計算值33.70 Hz)，以及圍繞內(nèi)圈通過頻率及其諧波、間距為轉(zhuǎn)頻的調(diào)制邊帶。根據(jù)軸承內(nèi)圈故障轉(zhuǎn)頻調(diào)制特點(diǎn)，由平方包絡(luò)譜結(jié)果能夠診斷軸承故障為內(nèi)圈故障。

通過對實測信號運(yùn)用基于SVD和相關(guān)峭度的滾動軸承故障特征提取方法，有效提取了軸承弱故障信號，通過進(jìn)一步的包絡(luò)分析，準(zhǔn)確地對軸承故障的類型和位置作出了判斷，證明了該診斷方法是有其優(yōu)越性的。

圖5 實測信號

圖7 提取信號

4 結(jié) 論

本文在分析了SVD的信號分解原理和周期脈沖信號相關(guān)峭度定義的基礎(chǔ)上，提出了結(jié)合SVD信號分解和相關(guān)峭度的滾動軸承弱故障特征提取方法，即首先通過SVD對信號進(jìn)行分解，然后通過選擇相關(guān)峭度最大的分量信號，提取出軸承弱故障信號。利用該方法對軸承內(nèi)圈故障仿真信號進(jìn)行處理，驗證了該方法的有效性。為了檢驗它的實際效果，本文將此方法應(yīng)用到實測信號中進(jìn)行了檢驗，結(jié)果表明：該方法能夠有效提取軸承弱故障信號，對于軸承故障的監(jiān)測和故障診斷是可行的。

[1]周智，張優(yōu)云，朱永生，等．基于MMSE和譜峭度的滾動軸承故障診斷方法[J]．振動與沖擊，2013，32(6)：73-77．

ZHOU Zhi, ZHANG You-yun, ZHU Yong-sheng, et al. Fault diagnosis method for rolling bearings based on MMSE and spectral kurtosis[J]. Journal of Vibration and Shock, 2013, 32(6): 73-77.

[2]趙學(xué)智，葉邦彥，陳統(tǒng)堅．基于小波-奇異值分解差分譜的弱故障特征提取方法[J]．機(jī)械工程學(xué)報，2012，48(7)：37-48．

ZHAO Xue-zhi, YE Bang-yan, CHEN Tong-jian. Extraction method of faint fault feature based on wavelet-SVD difference spectrum[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2012,48(7): 37-48.

[3]趙學(xué)智，陳統(tǒng)堅，葉邦彥．基于奇異值分解的銑削力信號處理與銑床狀態(tài)信息分離[J]．機(jī)械工程學(xué)報，2007，43(6)：169-174．

ZHAO Xue-zhi, CHEN Tong-jian, YE Bang-yan. Processing of milling force signal and isolation of state information of milling machine based on singular value decomposition [J]. Journal of Mechanical Engineering, 2007,43(6)：169-174．

[4]趙學(xué)智，葉邦彥，陳統(tǒng)堅．基于SVD的奇異性信號檢測原理及其應(yīng)用[J]．振動與沖擊，2008，27 (6)：11-14．

ZHAO Xue-zhi, YE Bang-yan, CHEN Tong-jian. Piezoelecric shunt damping for vibration control of a precisemens system [J]. Journal of Vibration and Shock. 2008，27 (6)：11-14．

[5]McDonald G L，Zhao Q，Zuo M J．Maximum correlated kurtosis deconvolution and application on gear tooth chip fault detection[J]．Machanical Systems and Signal Processing，2012，33：237-255．

[6]Golub G H，Van Loan C F．袁亞湘，譯．矩陣計算[M]．北京：科學(xué)出版社，2001．

[7]Akitas A G，Malaschonok G I．Application of singular value decomposition (SVD) [J]．Mathematics and Computers in Simulation，2004，67(1)：15-31．

[8]趙學(xué)智，葉邦彥，陳統(tǒng)堅．矩陣構(gòu)造對奇異值分解信號處理效果的影響[J]．華南理工大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2008，36 (9)：86-93．

ZHAO Xue-zhi, YE Bang-yan, CHEN Tong-jian. Influence of matrix creation way on signal processing effect of singular value decomposition [J]. Journal of South China University of Technology(Natural Science Edition) . 2008, 36 (9): 86-93.

[9]胡愛軍，馬萬里，唐貴基．基于集成經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解和峭度準(zhǔn)則的滾動軸承故障特征提取方法[J]．中國電機(jī)工程學(xué)報，2012，32 (11)：106-111．

HU Ai-jun, MA Wan-li, TANG Gui-ji. Rolling bearing fault feature extraction method based on ensemble empirical mode decomposition and kurtosis criterion [J]. Proceedings of the CSEE. 2012, 32 (11): 106-111.

[10]MING Yang，CHEN Jin，DONG Guang-ming．Weak fault feature extraction of rolling bearing based on cyclic Wiener filter and envelope spectrum [J]．Machanical Systems and Signal Processing, 2011, 25(5): 1773-1785.