隨機(jī)失諧周期壓電Timoshenko 梁的波動局部化研究

丁 蘭，尹 濤，朱宏平

(1.華中科技大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院，武漢 430074;2.武漢大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，武漢 430072)

智能材料和結(jié)構(gòu)在使用過程中能夠感知外界環(huán)境的變化，并能針對這種變化做出適當(dāng)?shù)姆磻?yīng)。因其具有自感應(yīng)和主動控制的能力，所以被廣泛應(yīng)用于各種工程領(lǐng)域。在各種智能材料中，壓電材料在今后的智能結(jié)構(gòu)振動控制研究和工程應(yīng)用中占有極其重要的地位，特別是壓電周期結(jié)構(gòu)得到了越來越廣泛的應(yīng)用［1］。周期結(jié)構(gòu)具有通頻和禁頻等特殊的力學(xué)性質(zhì)，而失諧周期結(jié)構(gòu)還會表現(xiàn)出振動及波的局部化特性［2］。局部化導(dǎo)致波動幅值沿失諧周期結(jié)構(gòu)以空間指數(shù)形式衰減，利用此性質(zhì)即可有效控制結(jié)構(gòu)振動在特定頻率范圍內(nèi)的傳播。

由于力電耦合效應(yīng)的影響，壓電周期結(jié)構(gòu)將呈現(xiàn)一些新的物理性質(zhì)，對其進(jìn)行的研究也會變得復(fù)雜。以往的研究多局限在純彈性周期結(jié)構(gòu)方面，近年來一些學(xué)者開始著手研究周期壓電結(jié)構(gòu)中的振動波傳播及局部化問題。Baz等［2］對周期壓電質(zhì)量－彈簧系統(tǒng)的振動主動控制進(jìn)行了研究;Li等［3］研究了層狀周期壓電復(fù)合材料結(jié)構(gòu)中的波動局部化問題，并利用Lyapunov指數(shù)方法給出了結(jié)構(gòu)中局部化因子的表達(dá)式。Wang等［4］研究了Rayleigh表面波在隨機(jī)失諧壓電聲子晶體中的傳播，得出了一些有意義的結(jié)論。上述研究對象都是針對周期性地嵌有壓電材料的結(jié)構(gòu)，而就目前的研究現(xiàn)狀來看，對其它類型的周期壓電智能結(jié)構(gòu)的相關(guān)研究，僅有為數(shù)不多的報道，如 Thorp等［1，5］分別針對周期壓電貼片桿結(jié)構(gòu)中的振動波傳播與局部化以及板結(jié)構(gòu)的振動主動控制等問題進(jìn)行了研究。顯然，對此種表面粘貼壓電片的周期結(jié)構(gòu)的波傳播及其局部化問題的研究尚不夠深入，有待更進(jìn)一步地開展。自從Lin等［6］首次利用傳遞矩陣方法研究了波在加固板結(jié)構(gòu)中的傳播特性，大部分學(xué)者直接求解結(jié)構(gòu)的運動方程得到傳遞矩陣，對于大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)運動方程的求解相對困難，而 Solaroli等［7－8］則采用有限單元方法得到周期加固殼和疊合梁結(jié)構(gòu)的傳遞矩陣，為本文分析周期性地粘貼壓電片的Timoshenko梁結(jié)構(gòu)提供了參考。

本文基于Timoshenko梁理論，考慮基梁和壓電片的轉(zhuǎn)動慣量和剪切效應(yīng)，研究了軸－彎耦合隨機(jī)失諧壓電Timoshenko梁中的波動局部化問題。采用有限單元法和傳遞矩陣法相結(jié)合，提取了結(jié)構(gòu)的動剛度矩陣，推導(dǎo)了結(jié)構(gòu)相鄰胞元間的傳遞矩陣，并給出了局部化因子的表達(dá)式，進(jìn)而分析了幾何尺寸和材料特性失諧對周期壓電結(jié)構(gòu)波動局部化的影響，對失諧壓電周期結(jié)構(gòu)振動控制研究提供了理論參考。

1 軸－彎耦合壓電Timoshenko梁的傳遞矩陣

圖1所示為一周期性粘貼壓電片的彈性梁。設(shè)壓電周期結(jié)構(gòu)中含有n個胞元，每個胞元中含有兩個子結(jié)構(gòu)，分別稱為子結(jié)構(gòu)1和子結(jié)構(gòu)2。為使問題簡化，假設(shè)壓電層和基梁完好聯(lián)結(jié)無滑移，且具有相同的橫向位移w1(x，t)和轉(zhuǎn)角ψ1(x，t)，其中下標(biāo)1代表子結(jié)構(gòu)1。

圖1 周期壓電梁的結(jié)構(gòu)簡圖Fig.1 Schematic diagram of the periodic piezoelectric beam

將每層均作為Timoshenko梁考慮，彈性－壓電雙層梁(子結(jié)構(gòu)1)的變形見圖2。

圖2 彈性－壓電雙層梁的變形示意圖Fig.2 Deformation of the elastic-piezoelectric two-layer beam

對于界面層完好聯(lián)結(jié)的情況，

式中，u1b、up、Hb和Hp分別為基梁和壓電層的軸向位移和厚度;下標(biāo)b和p分別表示基梁層和壓電層。

壓電材料在軸向荷載作用下的本構(gòu)方程為［9］

式中，σ和ε分別為x方向的應(yīng)力和應(yīng)變;D和U分別為電位移和電場強(qiáng)度;CD11、βS33和h31分別為彈性剛度、介電常數(shù)和壓電常數(shù)。

在閉路狀態(tài)下，運用方程(2)中的本構(gòu)關(guān)系，子結(jié)構(gòu)1的勢能V1和動能T1可表示為

其中，E、G、A、I、κ 和 ρ分別為壓電層和基梁的楊氏模量、剪切模量、橫截面面積、慣性矩、橫截面抗剪形狀系數(shù)和密度。

子結(jié)構(gòu)2的勢能V2和動能T2可分別表達(dá)為

其中，u2b、ψ2和w2分別為子結(jié)構(gòu)2的軸向位移、轉(zhuǎn)角和橫向位移。

將各子結(jié)構(gòu)的運動表示為位移自由度和形函數(shù)的級數(shù):

式中，i代表子結(jié)構(gòu)編號。形函數(shù) Niu(x)、Niw(x)、Niψ(x)分別表示為［10］

式中

節(jié)點自由度向量為

其中，下標(biāo)L和R分別代表子結(jié)構(gòu)1和子結(jié)構(gòu)2的左右節(jié)點。

將式(7)代入式(3)和(4)，并利用式(1)消除up，可得子結(jié)構(gòu)1的勢能和動能

同理，將式(7)代入式(5)和(6)可得子結(jié)構(gòu)2的勢能和動能

式中，［K1］、［K2］、［M1］和［M2］分別為子結(jié)構(gòu) 1 和子結(jié)構(gòu)2的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣:

當(dāng)周期結(jié)構(gòu)以頻率ω振動時，利用上式(17)－(20)可得子結(jié)構(gòu)1和子結(jié)構(gòu)2的動剛度矩陣

根據(jù)動剛度矩陣，第j個胞元中各個子結(jié)構(gòu)的動態(tài)運動方程可表示為

經(jīng)調(diào)整，式(23)和(24)可表達(dá)為

兩個子結(jié)構(gòu)界面處滿足

式(27)可以表示為如下矩陣形式

其中，

I為3階單位矩陣。

利用式(25)和(28)，得到第j個胞元左右兩端狀態(tài)向量間的關(guān)系式為

式中T'=T'2J－1T'1為第j個胞元中的傳遞矩陣。

第(j－1)個胞元右端和第j個胞元左端界面處滿足

代入(30)得第(j－1)個胞元和第j個胞元狀態(tài)向量間的關(guān)系式為

由上式可見，T(j)=T'J－1=T'2J－1T'1J－1即為兩相鄰胞元間的傳遞矩陣。

2 波動局部化

Lyapunov指數(shù)是對相空間中相鄰相軌線的平均指數(shù)發(fā)散程度或收斂程度的度量，它定性地和定量地對動力系統(tǒng)的力學(xué)行為進(jìn)行了有力的描述［11］。研究周期結(jié)構(gòu)中彈性波的傳播和局部化時，引用Lyapunov指數(shù)的概念，可以提供一種關(guān)于彈性波幅值衰減程度的度量指標(biāo)。局部化導(dǎo)致波動幅值沿失諧周期結(jié)構(gòu)漸近地以空間指數(shù)形式衰減，而相應(yīng)的波動幅值的空間指數(shù)衰減常數(shù)稱為局部化因子。因此，局部化因子用來表示彈性波沿周期結(jié)構(gòu)傳播時，波動幅值的空間指數(shù)衰減程度［11］。

根據(jù)周期結(jié)構(gòu)的對稱性，可以證明，Lyapunov指數(shù)總是以互為相反數(shù)的關(guān)系成對出現(xiàn)。若結(jié)構(gòu)傳遞矩陣的階數(shù)2d×2d，(d＞1)，則可將Lyapunov指數(shù)按從大到小的順序排列為

Lyapunov指數(shù)中的最小正值λd代表了幅值衰減程度最小的波，它在結(jié)構(gòu)中傳播的距離最遠(yuǎn)，沿結(jié)構(gòu)傳輸?shù)哪芰恳沧钸h(yuǎn)，刻畫了系統(tǒng)中彈性波和振動的主要衰減特性。因此，最小正的Lyapunov指數(shù)定義為局部化因子［3－4］。

Wolf［12］給出了計算連續(xù)型動力系統(tǒng)中 Lyapunov指數(shù)的方法，借鑒此方法，可以給出離散型系統(tǒng)中Lyapunov指數(shù)的計算方法。對于傳遞矩陣階數(shù)為2d×2d的結(jié)構(gòu)，為了計算第m(1≤m≤2d)個Lyapunov指數(shù)，需選擇m個正交的2d階初始單位狀態(tài)向量u(0)1，u(0)2，…，u(0)m，利用式(32)可計算出每次迭代的狀態(tài)向量。對于第j次迭代

根據(jù)Wolf算法，第m(1≤m≤2d)個Lyapunov指數(shù)的表達(dá)式為:

式中n為周期結(jié)構(gòu)的胞元數(shù)。

利用式(36)，可以計算出 d對互為相反的 Lyapunov指數(shù)，第d個Lyapunov指數(shù)λd即為局部化因子。對于本文中的諧和周期結(jié)構(gòu)，相鄰胞元間的傳遞矩陣T(j)保持不變，且其維數(shù)為6×6，因此局部化因子為λ3。利用局部化因子即可分析失諧周期結(jié)構(gòu)的波動局部化現(xiàn)象。

3 算例及分析討論

根據(jù)上述理論模型，本文考慮不同結(jié)構(gòu)尺寸和材料參數(shù)失諧對結(jié)構(gòu)局部化的影響。其中，基梁彈性材料采用鋁和鋼兩種，壓電材料采用 PKI 502［9，13］，子結(jié)構(gòu)的長度l2=5l1=0.5 m，所用到的材料參數(shù)如表1所示。計算過程中取無量綱頻率作為自變量。

表1 基梁和壓電層的材料常數(shù)表Tab.1 Material properties of the base beam and piezoelectric layer

3.1 長度l2失諧

基梁彈性材料為鋁，考慮子結(jié)構(gòu)2的長度l2失諧，設(shè)其服從均值為l'2=0.5 m，變異系數(shù)為δ的均勻分布，則 l2的取值范圍可表示為［3－4］

引入一服從標(biāo)準(zhǔn)均勻分布的隨機(jī)變量η∈(0，1)，則l2可表示為

圖3給出了長度l2失諧，變異系數(shù)δ取不同值時，局部化因子隨無量綱頻率的變化曲線。

由圖3可觀察到，當(dāng)變異系數(shù)δ=0時，諧調(diào)周期結(jié)構(gòu)存在明顯的頻率通帶和禁帶，在無量綱頻率區(qū)間Ω∈(0，71.5)內(nèi)，局部化因子 λ3=0，該區(qū)間即為頻率通帶;在頻率范圍 Ω∈(71.5，145.7)內(nèi)，局部化因子λ3＞0，該區(qū)間即為頻率禁帶。當(dāng)變異系數(shù)δ＞0時，對應(yīng)δ=0為頻率通帶的邊界區(qū)間，局部化因子也大于零，出現(xiàn)波動局部化現(xiàn)象，表明失諧周期結(jié)構(gòu)在特定頻率范圍內(nèi)能控制波在結(jié)構(gòu)中的傳播。隨著變異系數(shù)的增加，禁帶的寬度和局部化因子的幅值逐漸增加，該區(qū)間的局部化程度相應(yīng)地增強(qiáng)。因此可以設(shè)計不同的變異系數(shù)來微調(diào)結(jié)構(gòu)的頻帶區(qū)間和局部化程度。

圖3 長度失諧下局部化因子隨無量綱頻率的變化Fig.3 Localization factors versus dimensionless frequencies for disordered length of the purely elastic beam

3.2 壓電材料彈性剛度失諧

基梁彈性材料分別為鋁和鋼，考慮壓電材料的彈性剛度失諧，即，此時，彈性剛度均值仍取，分析變異系數(shù)不同時壓電材料的彈性剛度失諧對周期結(jié)構(gòu)波動局部化的影響，計算結(jié)果見圖4。

由圖4可知，不同的基梁彈性材料對周期壓電結(jié)構(gòu)頻帶特性影響顯著，盡管曲線形狀類似，但在第一個禁帶區(qū)間，鋼梁的禁帶帶寬和局部化因子幅值都小于鋁梁，表明在此頻率范圍內(nèi)，波動在鋁梁中的衰減程度更大。因此，可以根據(jù)實際需要選擇不同的基梁彈性材料，以達(dá)到對結(jié)構(gòu)進(jìn)行有效的振動控制。比較圖4中的四個子圖可以發(fā)現(xiàn)，周期壓電結(jié)構(gòu)的局部化行為對壓電材料彈性剛度失諧不夠敏感，在特定頻率范圍內(nèi)，彈性波不僅可以在諧調(diào)周期結(jié)構(gòu)中傳播，也可在失諧周期結(jié)構(gòu)中傳播。這種現(xiàn)象可能是由于壓電材料為壓電陶瓷材料，其彈性模量和密度等參數(shù)都較大，在此周期結(jié)構(gòu)中占彈性剛度較大的組分，因此其變化對結(jié)構(gòu)的局部化影響很小，可以通過調(diào)整基梁及壓電材料的彈性剛度比以使得振動控制效應(yīng)顯著。

3.3 壓電參數(shù)對波動局部化的影響

基梁彈性材料為鋁，當(dāng)長度l2失諧且其變異系數(shù)δ=0.10，壓電材料的壓電參數(shù)變化，即壓電常數(shù)h31及介電常數(shù)βS33分別選取不同值時，局部化因子隨頻率的變化曲線如圖5所示。

圖4 壓電材料彈性剛度失諧下局部化因子隨無量綱頻率的變化Fig.4 Localization factors)versus dimensionless frequenciesfor disordered elastic stiffness of piezoelectric material

圖5 壓電參數(shù)變化下局部化因子隨無量綱頻率的變化Fig.5 Effects of different piezoelectric parameters on localization factors for disordered length of the purely elastic beam with δ=0.10

由圖5可見，對于同一失諧度，壓電參數(shù)對周期結(jié)構(gòu)頻帶特性及局部化程度影響甚微，不同壓電常數(shù)和介電常數(shù)的結(jié)構(gòu)在低頻區(qū)內(nèi)，局部化因子曲線保持不變;在整個頻率范圍內(nèi)，頻率通帶和禁帶帶寬幾乎相同。但隨著壓電常數(shù)增加，局部化因子的峰值在第一個禁帶降低，而在第二個禁帶則增加;介電常數(shù)的變化規(guī)律與其則剛剛相反。

4 結(jié)論

本文對隨機(jī)失諧周期壓電Timoshenko梁的波傳播及其局部化行為進(jìn)行了研究。通過數(shù)值算例分析得到以下結(jié)論:對于本文周期壓電梁而言，基梁長度隨機(jī)失諧僅能輕微地改變結(jié)構(gòu)的波動局部化特性;失諧度越大，波動局部化程度越強(qiáng)。不同基梁材料對結(jié)構(gòu)的頻帶特性會有較明顯影響;而壓電材料參數(shù)變化，尤其是壓電材料彈性剛度隨機(jī)失諧對頻帶性質(zhì)和局部化程度的影響則非常有限。因此，隨機(jī)失諧并不能顯著地改變本文周期壓電梁的波動特性。

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