基于自適應(yīng)響應(yīng)面法的輸電塔線體系腐蝕疲勞可靠度研究

張春濤, 范文亮, 魯 黎, 李正良, 劉 瀟

(1. 西南科技大學(xué) 土木工程與建筑學(xué)院，四川 綿陽 621010；2. 重慶大學(xué) 土木工程學(xué)院，重慶 400045;3.中機中聯(lián)工程有限公司，重慶 400039)

輸電塔線體系作為大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)體系，同時具有高聳結(jié)構(gòu)和大跨度結(jié)構(gòu)的共同特點，對風(fēng)荷載作用十分敏感[1-2]。而且整個服役期內(nèi)由于長期處于環(huán)境腐蝕和風(fēng)致振動作用下，結(jié)構(gòu)會產(chǎn)生腐蝕疲勞損傷累積，導(dǎo)致體系的抗力和性能逐步退化，從而降低結(jié)構(gòu)抵抗極端環(huán)境作用的能力，致使結(jié)構(gòu)實現(xiàn)預(yù)定功能的概率減小[3]。因此，隨電力行業(yè)的發(fā)展環(huán)境腐蝕作用下輸電塔線體系的風(fēng)振疲勞可靠度問題不可忽略，為減少或避免由此帶來的災(zāi)害，必須建立正確評估腐蝕疲勞耦合作用下輸電塔線體系的可靠度分析方法。

輸電塔線體系的可靠度是在空間桁架和大跨度結(jié)構(gòu)體系的研究基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，受到了廣泛關(guān)注。Natarajan[4]以風(fēng)荷載為隨機變量對輸電塔的可靠度展開了研究，但是僅對風(fēng)荷載進(jìn)行研究還并不能真實反映結(jié)構(gòu)的隨機可靠性能；為此，Natarajan等[5]同時選取風(fēng)荷載和結(jié)構(gòu)構(gòu)件抗力為隨機變量對輸電塔的體系可靠度進(jìn)行了研究；石少卿等[6]在Natarajan的研究基礎(chǔ)上，分析了塔架結(jié)構(gòu)體系在極值型風(fēng)荷載作用下的可靠性；高險峰等[7]在風(fēng)洞試驗的基礎(chǔ)上，對高度為345.5 m的江陰長江大跨越500 kV輸電塔進(jìn)行了可靠性研究；與此同時，李杰等[8]亦采用概率密度演化方法對輸電塔線體系的動力可靠度進(jìn)行了研究；李宏男等[9]對桿型輸電塔體結(jié)構(gòu)的疲勞可靠性展開了研究；李茂華等[10]通過一次二階矩方法對1 000 kV輸電塔體結(jié)構(gòu)的可靠性能進(jìn)行了分析。

顯然，上述學(xué)者對輸電塔線體系可靠度的研究已取得了許多顯著的成果。然而，上述研究一方面僅是對輸電塔的風(fēng)致動力可靠度進(jìn)行了研究，而風(fēng)振疲勞可靠度卻由于構(gòu)件S-N曲線模型的匱乏研究尚少；另一方面，研究中采用的基本理論又多是以一次二階矩方法為基礎(chǔ)展開的，計算量大，效率低下。于是，本文將原理簡單、實現(xiàn)容易的響應(yīng)面法拓展至體系可靠度分析領(lǐng)域。但是目前常用的響應(yīng)面形式有含交叉項的完全二次多項式和不含交叉項的二次多項式。含交叉項的二次多項式雖然計算精度高，但是待定系數(shù)多，需要的抽樣點亦多，計算效率低；不含交叉項的響應(yīng)面法雖然待定系數(shù)少，應(yīng)用方便，只需較少的結(jié)構(gòu)分析即可，但是計算結(jié)果精度低。同時，不含交叉項亦意味著各軸之間并未被充分覆蓋[11]，這對于隨機變量存在相互影響的情形(比如強非線性情形、荷載和結(jié)構(gòu)參數(shù)均為隨機變量的情形等)顯然是不合理的。于是，F(xiàn)aravelli[12]通過引入誤差修正項，Rajashekher等[13]引入交叉項和迭代選點，Zheng 等[14]，Yu等[15]通過逐步引入二次項和交叉項對響應(yīng)面法表達(dá)式進(jìn)行了改進(jìn)，雖然提高了計算精度，更具有合理性，但亦增加了計算難度，降低了計算效率，實現(xiàn)起來更為復(fù)雜。

為此，本文首先綜合考慮精度和效率給出了響應(yīng)面中交叉項是否存在的判斷準(zhǔn)則，并構(gòu)造了相應(yīng)的實現(xiàn)算法，從而建立了可以確定較為合理的含交叉項的二次響應(yīng)面形式的自適應(yīng)響應(yīng)面法。同時，通過Q345等邊角鋼構(gòu)件的腐蝕疲勞試驗結(jié)果和概率論建立了構(gòu)件腐蝕疲勞隨機S-N曲線模型。最后，根據(jù)建議自適應(yīng)響應(yīng)面法和構(gòu)件腐蝕疲勞試驗結(jié)果對輸電塔線體系進(jìn)行腐蝕疲勞可靠性研究。

1 考慮交叉項的自適應(yīng)響應(yīng)面法

1.1 交叉項的判斷準(zhǔn)則

響應(yīng)面法的完全二次多項式為

(1)

式中，a0,ai,aij為待定參數(shù)，共0.5n2+1.5n+1個。若以xi為基本變量，式(1)亦可表示為

(2)

式(2)可簡化為

(3)

式中，f0為包含n-1個變量的二次多項式，f1為包含n-1個變量的一次多項式。顯然，若f0和f1又以xj(j≠i)為基本變量進(jìn)行改寫，并分別記為φ0(xj)和φ1(xj)，式(3)可進(jìn)一步改寫為

(4)

顯然，式中φ0(xj)和φ1(xj)均為多項式且系數(shù)僅包含n-2個變量，若這n-2個變量均取為常數(shù)，則兩者即為xj的一元多項式。

(5)

顯然

(6)

1.2 自適應(yīng)響應(yīng)面法

根據(jù)1.1的交叉項判斷準(zhǔn)則，基于式(1)可以獲得自適應(yīng)響應(yīng)面的表達(dá)式

(7)

式中，I[xixj]為xixj的示性函數(shù)，即

根據(jù)交叉項的判斷準(zhǔn)則，可給出自適應(yīng)響應(yīng)面法的實現(xiàn)步驟如下：

(1) 若Xi～N(μi,σi)，分別取xi=μi和xi=μi+kσi(k為給定常數(shù))，其余變量均取均值；若Xi為非正態(tài)變量，則xi可取與上述取值具有相同超越概率的值。對i=1,…,n重復(fù)上述步驟可給出n+1個樣本點；

(2) 取xi=μi+kσi(i=1,…,n)和xj=μj+kσj(j>i)，其余n-2個變量取均值，共確定(n2-n)/2個樣本點；

(3) 根據(jù)上述樣本點計算每組隨機變量的對應(yīng)函數(shù)值，對任意兩隨機變量可得到Δg=g(x1,…,xi+kσi,…,xn)-g(x1,…,xi,…,xn)和Δg=g(x1, …,xi+kσi,…,xj+kσj,…,xn)-g(x1,…,xi,…,xj+kσj,…,xn)。根據(jù)交叉項的判斷準(zhǔn)則，若兩差值不等，則變量xi和xj之間存在相互影響，多項式中含有交叉項xixj，即式(7)中I[xixj]=1；若兩差值相等，則多項式中不存在交叉項xixj，式(7)中I[xixj]=0。

(4) 再增加n個樣本點，即xi=μi-kσi，其余變量取均值。只要k選擇合理，可保證極限狀態(tài)曲面穿過樣本點區(qū)域，從而具有較高的精度，參考文獻(xiàn)[5]的研究，可取k=3；

(5) 利用上述樣本點可方便的擬合出自適應(yīng)響應(yīng)面。為改善以均值點為中心選點的不足，文中亦借鑒Bucher & Bourgund的迭代改進(jìn)思想，即先由上述響應(yīng)面確定驗算點X*，再由下式確定新的選點中心XM

(8)

式中，μ代表均值點。然后，以XM為中心，類似于步驟(1)和(4)可確定新的2n個樣本點。

(6) 根據(jù)上述樣本點可給出最終的響應(yīng)面，最后可對此響應(yīng)面利用Monte Carlo法等計算可靠度。

2 腐蝕疲勞隨機S-N曲線方程的建立

2.1 試驗概況

本次試驗通過MTS電液伺服加載系統(tǒng)(如圖1所示)對70 mm×5 mm的Q345等邊角鋼進(jìn)行了腐蝕疲勞試驗，加載頻率為4 Hz。根據(jù)角鋼構(gòu)件在輸電塔體中的連接構(gòu)造要求對試件進(jìn)行開孔加工，孔洞直徑為20 mm，試件最終加工狀態(tài)如圖2所示。

圖1 MTS電液伺服加載系統(tǒng)

試驗中首先利用濃硫酸、硝酸、鹽酸和蒸餾水按照一定比例配置成PH值為2的酸性溶液[3]。然后，采用"浸泡-晾置"間浸式腐蝕方式腐蝕試件，即首先將試件在酸性溶液中浸泡2 h，然后取出試件再在空氣中晾置2 h，如此"浸泡-晾置"往復(fù)循環(huán)3次，共計12 h為一次完整腐蝕。腐蝕疲勞試驗中采用"腐蝕-疲勞"交替循環(huán)加載方式，即先采用上述腐蝕方式將試件腐蝕12 h后，再進(jìn)行疲勞振動。按此思路，為了研究Q345等邊角鋼疲勞性能隨腐蝕時間的變化規(guī)律，分別對四組試件進(jìn)行試驗，其中一組為純疲勞試驗；其余三組為腐蝕疲勞試驗，分別"腐蝕-疲勞"交替循環(huán)2次、3次和4次，腐蝕時間t1、t2和t3分別為24 h、36 h和48 h。同時，各組試件的等幅疲勞荷載水平均相同，共6級。每級荷載水平均采用一個角鋼構(gòu)件進(jìn)行單點試驗。

2.2 試驗結(jié)果

各組試件經(jīng)不同“腐蝕-疲勞”循環(huán)次數(shù)后的疲勞壽命如表1所示。

表1 不同腐蝕時間的疲勞壽命試驗結(jié)果

根據(jù)文獻(xiàn)[3]建議的單點-似然法實現(xiàn)算法，由表1的試驗數(shù)據(jù)可以確定出任意可靠度P時試件隨腐蝕時間變化的腐蝕疲勞t-P-S-N曲線方程，P=99%時，曲面方程為

(9)

由上式繪制出不同腐蝕時間的99%-S-N曲線和試驗結(jié)果如圖3所示

2.3 隨機S-N曲線方程

首先，由上述試驗結(jié)果可以建立具有不同可靠度的腐蝕疲勞t-P-S-N曲線方程。由此曲線方程，分別計算出腐蝕時間等于0 h、25 h、50 h、75 h、100 h、125 h和150 h七個等級時，不同可靠度P對應(yīng)的疲勞壽命Np。然后，將不同腐蝕時間內(nèi)的各疲勞壽命Np與P=50%的疲勞壽命N0.5相除，得到不同可靠度P對應(yīng)的疲勞壽命與平均疲勞壽命的比值γ。最后，根據(jù)P與比值γ分布情況，由常用的疲勞壽命分布函數(shù)正態(tài)分布和三參數(shù)Weibull分布函數(shù)計算出的超值累積頻率曲線如圖4所示。

不難發(fā)現(xiàn)，相同腐蝕時間內(nèi)正態(tài)分布和Weibull分布曲線與計算值吻合良好，差異較??；但是與正態(tài)分布曲線相比，Weibull分布的吻合性更好，更能真實反映出γ的超值累積頻率的變化情況。同時，腐蝕時間對γ的P值亦存在顯著影響。例如，γ為0.9時，與腐蝕時間為0 h的可靠度P值相比，腐蝕時間分別為50 h、100 h和150 h時，采用正態(tài)分布計算的P值分別增加了6.37%、12.12%和16.28%，而采用Weibull分布計算出的P值增加幅度相對較小，增加的百分比分別為3.44%、6.69%和14.75%。因此，Weibull分布能夠更加準(zhǔn)確合理地反映γ的分布情況。

圖3 腐蝕時間對構(gòu)件腐蝕疲勞P-S-N曲線的影響

根據(jù)不同腐蝕時間作用下比值γ及其對應(yīng)P值可以擬合出對應(yīng)Weibull分布的參數(shù)值見于表2。顯然，隨腐蝕時間增加試件抗疲勞性能降低，疲勞壽命與均值之間的偏差較小。計算值亦表明了Weibull分布各參數(shù)隨腐蝕時間的變化規(guī)律：特征參數(shù)α隨腐蝕時間增加而降低，腐蝕時間由0 h增加到50 h、100 h和150 h時，α分別降低了18.20%、33.63%和46.44%；形狀參數(shù)β和最小比值υ隨腐蝕時間增加而增大，腐蝕時間增加到50 h、100 h和150 h時，β分別增加了5.02%、9.18%和12.75%，而υ的增加幅度與β大致相同，分別增加了5.13%、9.55%和13.26%。

表2 分布函數(shù)參數(shù)

首先，由表2中各參數(shù)值隨腐蝕時間的變化規(guī)律建立與之對應(yīng)的變化式α(t)、β(t)和υ(t)；然后，再將各參數(shù)變化式代入分布函數(shù)即可得到隨腐蝕時間變化的Weibull分布函數(shù)表達(dá)式為

(10)

式中，各參數(shù)隨腐蝕時間t的變化式為

(11)

β(t)=3.551 46-

(12)

υ(t)=1.042 49-

(13)

顯然，將式(11)和式(13)代入式(10)即能給出隨腐蝕時間變化的Weibull分布表達(dá)式，并繪制出相應(yīng)的概率密度變化曲面，如圖5所示。曲面形象地反映出了隨腐蝕時間t增加，隨機變量γ取值的離散程度逐漸減小的變化規(guī)律。若將隨機變量γ代入可靠度P為50%的S-N曲線方程，便可得到隨機腐蝕疲勞S-N曲線表達(dá)式

N=γ·N0.5=

γ·f(Smax,t)=

(14)

3 輸電塔線體系疲勞可靠性分析

本節(jié)以風(fēng)速V、腐蝕時間T、以及S-N曲線隨機因子γ作為隨機變量，采用文中建議自適應(yīng)響應(yīng)面法擬合出輸電塔線體系的極限狀態(tài)曲面并進(jìn)行可靠度分析。其中，隨機變量風(fēng)速V～N(11,1.35)和腐蝕時間T～N(1 018,98)；前已述及Weibull更能真實地反映γ的超值累積頻率的變化情況，因此，確定樣本點時概率密度函數(shù)采用式(10)。塔體服役期為100年[2]，損傷[D]為1。

圖7 輸電塔分段示意圖

3.1 腐蝕疲勞損傷計算

首先，根據(jù)自適應(yīng)響應(yīng)面法的實現(xiàn)算法構(gòu)造出樣本點，再由樣本點中各風(fēng)速值按文獻(xiàn)[2,16-17]的方法擬合出不同的風(fēng)速功率譜并轉(zhuǎn)化為氣動力。然后，對輸電塔線體系進(jìn)行時程分析，找出結(jié)構(gòu)中最不利受力桿件(關(guān)鍵桿件)的應(yīng)力時程，并采用雨流計數(shù)法對應(yīng)力時程進(jìn)行整理統(tǒng)計，得到各應(yīng)力幅及其在整個時程分析中出現(xiàn)的次數(shù)，再由文中建立的隨機腐蝕疲勞S-N曲線模型(即式(14))確定各應(yīng)力幅的疲勞壽命；最后，結(jié)合各應(yīng)力幅出現(xiàn)的次數(shù)和對應(yīng)的疲勞壽命采用Miner準(zhǔn)則計算出該平均風(fēng)速對應(yīng)功率譜對結(jié)構(gòu)構(gòu)件造成的實際損傷，由此損傷亦可確定構(gòu)件或結(jié)構(gòu)的疲勞壽命。

具體計算過程為：由上述步驟可計算出某平均風(fēng)速對應(yīng)風(fēng)速功率譜作用下輸電塔線結(jié)構(gòu)體系中待研究桿件的應(yīng)力時程[σi](應(yīng)力幅個數(shù)i=1,2…,k)，并通過雨流法得到應(yīng)力幅矩陣

S=[S1,S2,S3,…,Sk]

(15)

顯然，將式(15)確定的應(yīng)力幅和各樣本點中的t和γ代入式(14)可計算出各應(yīng)力幅對應(yīng)的疲勞壽命矩陣，即

N=[N1,N2,N3,…,Nk]

(16)

同時，由雨流計數(shù)法經(jīng)統(tǒng)計分析可得到整個計算期內(nèi)式(15)中各等效應(yīng)力幅出現(xiàn)的循環(huán)次數(shù)

n=[n1,n2,n3,…,nk]

(17)

根據(jù)Miner累積損傷理論，即可得到桿件的損傷矩陣

(18)

由式(18)即可計算出各平均風(fēng)速的模擬風(fēng)場在計算期對構(gòu)件造成的損傷。

3.2 疲勞損傷可靠性分析

腐蝕疲勞作用下結(jié)構(gòu)可靠度功能函數(shù)可表示為

g(x)=D-d(x)

(19)

式中，d(x)表示由式(18)確定的腐蝕疲勞損傷值，x=(v,t,γ)表示基本隨機變量。顯然，d(x)為隱式函數(shù)，因此g(x)亦為隱式函數(shù)，可用建議自適應(yīng)響應(yīng)面法擬合出g(x)的顯示表達(dá)式并求解其可靠度，具體計算過程如下：

① 由交叉項判斷準(zhǔn)則確定交叉項vt、vγ和γt的存在性。根據(jù)建議算法，首先由1.2節(jié)步驟(1)～(2)選取4個樣本點，再按步驟(3)判斷交叉項是否存在，并確定自適應(yīng)響應(yīng)面的形式，詳細(xì)過程示于表3。

表3 自適應(yīng)響應(yīng)面形式的確定過程

② 按照步驟(4)確定初始響應(yīng)面為

g(x)=2.421 6+1.114 7v-0.001 4t-10.027 5γ

-0.074 2v2-4.086 9×10-7t2+

5.339 6γ2+0.000 14vt

(20)

利用Monte Carlo法可計算出失效概率為22.88%(抽樣數(shù)為1×105，下同)。

③ 同時由JC法給出其驗算點X*的坐標(biāo)為(13.1, 1 018.4,1)。然后，根據(jù)步驟(5)可確定新的選點中心和其他6個新的樣本點。綜合利用上述樣本點進(jìn)行回歸分析，可確定最終的自適應(yīng)響應(yīng)面為

g(x)=-6.311 2+0.834 1v+0.004 0t+4.590 1γ

-0.060 3v2-3.697 6×10-6t2-

2.044 6γ2+0.000 2vt

(21)

與之對應(yīng)的失效概率為36.92%。

同時，采用傳統(tǒng)的不含交叉項的響應(yīng)面法，根據(jù)Bucher選點方案，通過兩次迭代得到的響應(yīng)面為

g(x)=-7.589 6+0.958 1v+0.005 1t+4.430 7γ

-0.056 68v2-3.011 88×10-6t2-2.038 18γ2

(22)

對應(yīng)的失效概率為19.52%。顯然，式(21)因為考慮了存在相互影響的隨機變量之間的交叉項，其失效概率與不考慮交叉項的式(22)存在較大差異。最后，由文獻(xiàn)[3]的方法，采用ANSYS中的Monte Carlo法即可驗證結(jié)構(gòu)可靠度分析中建議自適應(yīng)響應(yīng)面法的有效性。

4 結(jié) 論

本文首先通過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)給出了交叉項是否存在的判斷準(zhǔn)則，考慮了相互影響隨機變量之間的交叉項，舍棄了不存在的交叉項，建立了更為合理和精確的自適應(yīng)響應(yīng)面法。同時，為了克服傳統(tǒng)材性試件S-N曲線模型的不足，文中通過Q345等邊角鋼的腐蝕疲勞試驗建立了構(gòu)件隨機腐蝕疲勞S-N曲線模型。最后，結(jié)合自適應(yīng)響應(yīng)面法和構(gòu)件隨機S-N曲線模型對輸電塔線體系進(jìn)行了疲勞可靠性分析，驗證了隨機變量交叉項判斷準(zhǔn)則能有效地保留相互影響隨機變量之間的交叉項；建議自適應(yīng)響應(yīng)面法在保證精度的同時能顯著減少計算量；構(gòu)件隨機腐蝕疲勞S-N曲線模型在結(jié)構(gòu)可靠度分析中既簡單易行又能考慮構(gòu)件截面形式的影響。

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