基于迭代UKF的主動(dòng)段彈道跟蹤算法研究＊

孫 雷，李 冬，易東云

（1.國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué)理學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙410073；2.南京炮兵學(xué)院，江蘇 南京211132）

1 引言

衛(wèi)星主要采用星載紅外傳感器，通過(guò)被動(dòng)探測(cè)，獲得彈道導(dǎo)彈的到達(dá)角信息，實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)發(fā)射的監(jiān)視、跟蹤、彈道估計(jì)等功能［1，2］。彈道導(dǎo)彈的飛行過(guò)程分為主動(dòng)段和被動(dòng)段，主動(dòng)段包括垂直上升段、轉(zhuǎn)彎段、過(guò)渡段和穩(wěn)定段。紅外傳感器只能獲取導(dǎo)彈目標(biāo)的到達(dá)角和輻射強(qiáng)度信息，觀測(cè)情形如圖1所示。

衛(wèi)星在只有角度測(cè)量信息下對(duì)于彈道導(dǎo)彈主動(dòng)段的跟蹤屬于無(wú)源跟蹤，導(dǎo)彈目標(biāo)的狀態(tài)方程和測(cè)量方程都是非線性的，并且衛(wèi)星與目標(biāo)距離較遠(yuǎn)，可觀測(cè)性較弱。這些都對(duì)主動(dòng)段彈道跟蹤問(wèn)題帶來(lái)了較大的困難，因此尋找一種快速收斂且具有較高精度的跟蹤算法十分關(guān)鍵。

Figure 1 Obervation of the trajectory form the satellite圖1 衛(wèi)星對(duì)導(dǎo)彈主動(dòng)段的觀測(cè)

擴(kuò)展卡爾曼濾波 EKF（Extended Kalman Fil－ter）是常用的非線性濾波算法，但在實(shí)際應(yīng)用中它存在明顯的缺陷。無(wú)跡卡爾曼濾波 UKF（Unscented Kalman Filter）是目前受到廣泛使用的非線性濾波算法，通過(guò)選取一些樣點(diǎn)更精確地給出狀態(tài)變量經(jīng)過(guò)非線性變化后的均值和方差，減小了線性化帶來(lái)的誤差，避免了EKF算法在求解Jacobi矩陣帶來(lái)的Fisher矩陣病態(tài)問(wèn)題。但是，標(biāo)準(zhǔn)的UKF算法存在收斂速度慢、精度不高的問(wèn)題。一種易于實(shí)現(xiàn)的提高非線性近似精度的方式是使用迭代測(cè)量更新的方式，這在EKF上已經(jīng)得到了成功的應(yīng)用［3］。與迭代EKF的思想類似，可以使用狀態(tài)的估計(jì)值代替預(yù)測(cè)值來(lái)重新進(jìn)行無(wú)跡變換UT（Unscented Transformation），得到新的濾波參數(shù)，并再次利用觀測(cè)值來(lái)改善估計(jì)狀態(tài)，從而提高狀態(tài)估計(jì)的精度，已有文獻(xiàn)提出迭代UKF的思想和易于實(shí)現(xiàn)的迭代測(cè)量更新的UKF算法［4，5］。

本文通過(guò)分析彈道導(dǎo)彈在主動(dòng)段的受力情況，引入一種基于重力轉(zhuǎn)彎模型的狀態(tài)方程。根據(jù)基于迭代測(cè)量更新的UKF思想，研究其在衛(wèi)星觀測(cè)信息下的迭代更新過(guò)程，從而建立基于迭代UKF的主動(dòng)段跟蹤算法。仿真結(jié)果表明，迭代UKF算法與標(biāo)準(zhǔn)UKF算法相比，收斂速度更快、跟蹤精度更好，是一種適應(yīng)性更強(qiáng)的導(dǎo)彈目標(biāo)主動(dòng)段跟蹤算法。

2 主動(dòng)段彈道估計(jì)模型

主動(dòng)段為彈道導(dǎo)彈飛行的第一個(gè)階段，其強(qiáng)機(jī)動(dòng)特性和變質(zhì)量過(guò)程使得主動(dòng)段彈道動(dòng)力學(xué)特性十分復(fù)雜。主動(dòng)段時(shí)間并不長(zhǎng)，一般在幾十秒到幾百秒范圍內(nèi)，但是主動(dòng)段的跟蹤對(duì)于被動(dòng)段的狀態(tài)估計(jì)以及導(dǎo)彈的射程和落點(diǎn)卻起著決定性作用。

對(duì)主動(dòng)段彈道準(zhǔn)確地建模是實(shí)現(xiàn)彈道導(dǎo)彈跟蹤的前提，主動(dòng)段的跟蹤模型分為導(dǎo)彈的主動(dòng)段狀態(tài)模型和預(yù)警衛(wèi)星觀測(cè)模型。

2.1 主動(dòng)段彈道模型

導(dǎo)彈在主動(dòng)段的受力情況十分復(fù)雜，主要包括推力、重力、氣動(dòng)阻力等。對(duì)用于主動(dòng)段彈道估計(jì)的目標(biāo)狀態(tài)方程已有相關(guān)的研究［6，7］，其中一種為基于重力轉(zhuǎn)彎假設(shè)的狀態(tài)方程。重力轉(zhuǎn)彎假設(shè)是指假設(shè)導(dǎo)彈在主動(dòng)段飛行過(guò)程中，攻角很小，幾乎為零，推力與阻力均沿速度方向，重力是使彈道彎曲的唯一因素，因此稱為重力轉(zhuǎn)彎。本文使用的目標(biāo)狀態(tài)方程就是重力轉(zhuǎn)彎模型。

設(shè)導(dǎo)彈在地心慣性坐標(biāo)系ECI（Earth Cen－tered Intertial）下的位置速度矢量分別為r和v，則r＝ ［x y z］T，v＝˙r＝ ［˙x ˙y ˙z］T。導(dǎo)彈受到的力可以分為沿重力方向的力和沿速度方向的力，在重力轉(zhuǎn)彎假設(shè)條件下，導(dǎo)彈彈道參數(shù)的主動(dòng)段動(dòng)力學(xué)方程可記為：

其中，μ為地球引力常數(shù)，α為導(dǎo)彈推力加速度大小。考慮實(shí)際中大氣透過(guò)率的影響，紅外傳感器在導(dǎo)彈飛出稠密大氣層后才能發(fā)現(xiàn)目標(biāo)，因此這里忽略氣動(dòng)加速度的影響。

下面分析推力加速度大小α隨時(shí)間變化的情況。設(shè)導(dǎo)彈推力大小為常值T，則推力加速度可以寫(xiě)成：

其中，m（t）為t時(shí)刻導(dǎo)彈的瞬時(shí)質(zhì)量，σ為發(fā)動(dòng)機(jī)秒耗量，t0為初始時(shí)刻。

上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)后可以得到：

結(jié)合公式（1）和公式（4），就可以得到基于重力轉(zhuǎn)彎模型的主動(dòng)段狀態(tài)方程：

目 標(biāo) 的 狀 態(tài) 記 為：X ＝ ［x，y，z，˙x，˙y，˙z，α，∑］T，則主動(dòng)段動(dòng)力學(xué)模型（5）可以表示為：

其中，X為目標(biāo)的狀態(tài)，w為零均值不相關(guān)的狀態(tài)噪聲。根據(jù)給定的初始條件，采用數(shù)值積分的方法對(duì)公式（6）求解就可以得到導(dǎo)彈在主動(dòng)段某一時(shí)刻的位置和速度。

2.2 衛(wèi)星角度觀測(cè)方程

在衛(wèi)星測(cè)量坐標(biāo)系 UEN（Up East North）中，角測(cè)量方程定義如下：

其中，ψ和γ分別是目標(biāo)在UEN坐標(biāo)系下的方位角和俯仰角，如圖2所示。

Figure 2 Satellite observation model圖2 衛(wèi)星觀測(cè)模型

觀測(cè)模型基于目標(biāo)的角度測(cè)量信息，設(shè)在Tk時(shí)刻目標(biāo)在ECI坐標(biāo)系下的狀態(tài)變量為Xk，其中位置變量為rk，衛(wèi)星的位置變量記為sk，根據(jù)ECI坐標(biāo)系與UEN坐標(biāo)系的關(guān)系，Tk時(shí)刻衛(wèi)星的視線測(cè)量矢量zk可以表示為：

3 迭代UKF濾波算法

UKF算法是基于UT變換和Kalman濾波技術(shù)的一種濾波算法［8，9］，其通過(guò)特別選取一些樣點(diǎn)，更好地近似隨機(jī)變量經(jīng)過(guò)非線性變化后的均值和方差。將系統(tǒng)圍繞狀態(tài)估計(jì)重新進(jìn)行UT變換計(jì)算濾波參數(shù)，然后再一次利用觀測(cè)值改善對(duì)狀態(tài)的估計(jì)，這就是迭代 UKF——IUKF（Iterated UKF）的思想。

3.1 UT變換

UT變換是一種計(jì)算隨機(jī)變量在經(jīng)歷非線性變換后的統(tǒng)計(jì)特性的方法?？紤]一個(gè)隨機(jī)變量x（維數(shù)為L(zhǎng)），通過(guò)一個(gè)非線性函數(shù)y＝f（x）得到隨機(jī)變量y，假設(shè)x具有均值ˉx與協(xié)方差Px，為計(jì)算y的統(tǒng)計(jì)特性，首先根據(jù)下式：得到2L＋1個(gè)Sigma采樣點(diǎn)，其中λ＝φ2（L＋κ）－L為尺度參數(shù)，常數(shù)φ決定這些Sigma采樣點(diǎn)在xˉ附近的擴(kuò)展范圍；κ是另一個(gè)尺度因子，通常取為0或3－L；（是矩陣方根的第i列，矩陣方根可以通過(guò)Cholesky分解得到。將Sigma采樣點(diǎn)代入非線性函數(shù)：

通過(guò)下式計(jì)算y的均值和協(xié)方差矩陣：

其中，權(quán)Wi由下式給出：其中，β為狀態(tài)分布參數(shù)，對(duì)于高斯分布，β＝2是最優(yōu)的。如果狀態(tài)變量是單變量，則最佳的選擇是β＝0。

3.2 迭代UKF（IUKF）濾波算法

將UT變換應(yīng)用于Kalman濾波，就可以得到UKF濾波算法。將UKF濾波算法狀態(tài)估計(jì)結(jié)果Xk重新進(jìn)行UT變換，計(jì)算濾波的參數(shù)，再次利用觀測(cè)值改善對(duì)狀態(tài)的估計(jì)結(jié)果，這樣就得到了迭代UKF算法。

對(duì)于非線性的狀態(tài)方程和測(cè)量方程：

對(duì)于本文研究的導(dǎo)彈主動(dòng)段的跟蹤問(wèn)題，上式中的狀態(tài)方程就是2.1節(jié)中的方程（6），測(cè)量方程就是2.2節(jié)中的方程（8）。對(duì)于狀態(tài)變量Xk的估計(jì)，首先由k時(shí)刻的UKF算法計(jì)算得到狀態(tài)估計(jì)和協(xié)方差分別為＾Xk和P－k，由＾Xk和Pk生成的新采樣點(diǎn)可重新求得濾波器的增益Kk，再利用觀測(cè)值對(duì)狀態(tài)估計(jì)進(jìn)行改善，具體步驟如下：

（1）初始化。

（2）計(jì)算采樣點(diǎn)。

（3）時(shí)間更新。

（4）測(cè)量更新。

其中，Rv為系統(tǒng)狀態(tài)噪聲方差，Rn為系統(tǒng)測(cè)量噪聲方差，xα＝ ［xTvTnT］。

（5）重新計(jì)算采樣點(diǎn)，更新估計(jì)結(jié)果。

Step 2 定義：

Step 4 j＝j(luò)＋1，g＝η·g，重新計(jì)算采樣點(diǎn)：

將公式（18）代入公式（16）和公式（17）式重新計(jì)算濾波參數(shù)，得到新的估計(jì)結(jié)果：

轉(zhuǎn)向Step 2。

最后將公式（19）作為k時(shí)刻的濾波狀態(tài)和協(xié)方差估計(jì)結(jié)果。

在上述IUKF算法流程中，為滿足迭代要求，一般取0＜η≤1。

與UKF算法相比，IUKF算法增加了迭代測(cè)量更新運(yùn)算，每次迭代增加的運(yùn)算量主要是樣點(diǎn)的非線性變換。總體來(lái)說(shuō)，IUKF算法比UKF算法增加了一些計(jì)算量，但其計(jì)算復(fù)雜度仍然為同一量級(jí)。由于不同的非線性變換形式帶來(lái)的計(jì)算量有較大不同，這將影響IUKF算法與UKF算法之間計(jì)算量的差別。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

在仿真計(jì)算機(jī)CPU為P4雙核、2.7GHz、內(nèi)存為1GB的情況下，使用Matlab工具進(jìn)行仿真計(jì)算。仿真實(shí)驗(yàn)中，測(cè)量數(shù)據(jù)間隔Ts取0.5s，視線測(cè)量誤差σLOS分別取30μrad和60μrad。目標(biāo)為某2 000km彈道導(dǎo)彈，主動(dòng)段飛行時(shí)間為100s，首次觀測(cè)時(shí)間為第20s。選取兩顆地球同步軌道衛(wèi)星觀測(cè)。Monte－Carlo次數(shù)為50次。圖3是測(cè)量數(shù)據(jù)間隔為0.5s、σLOS為30μrad情況下UKF算法和IUKF算法對(duì)目標(biāo)速度和位置的跟蹤誤差仿真結(jié)果。圖4是測(cè)量數(shù)據(jù)間隔為0.5s、σLOS為60 μrad情況下UKF算法和IUKF算法仿真結(jié)果。

Figure 3 Simulation results of UKF and IUKF whenδLOS ＝30μrad圖3 σLOS取30μrad時(shí)UKF與IUKF仿真結(jié)果

Figure 4 Simulation results of UKF and IUKF whenδLOS ＝60μrad圖4 σLOS取60μrad時(shí)UKF與IUKF仿真結(jié)果

從圖3和圖4的仿真結(jié)果可以看出，IUKF算法對(duì)新的觀測(cè)值反應(yīng)更迅速，在相同的仿真條件下，IUKF算法比UKF算法收斂速度更快、收斂精度更高。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文圍繞衛(wèi)星在僅有角度測(cè)量信息下彈道導(dǎo)彈的主動(dòng)段跟蹤問(wèn)題，對(duì)常用的非線性濾波UKF算法進(jìn)行改進(jìn)，提出了IUKF算法。采用重力轉(zhuǎn)彎模型建立主動(dòng)段狀態(tài)方程，結(jié)合UKF算法與IUKF算法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)表明，本文提出的方法收斂速度更快、收斂精度更高，適用于基于衛(wèi)星角度測(cè)量信息下導(dǎo)彈目標(biāo)主動(dòng)段跟蹤的應(yīng)用。

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