基于增強(qiáng)條件公式的主動規(guī)則集可終止性判定＊

熊中敏，趙夢露，黃冬梅

（上海海洋大學(xué)信息學(xué)院，上海201306）

1 引言

由于集成有主動規(guī)則的數(shù)據(jù)庫系統(tǒng)具有自動反應(yīng)的功能，主動規(guī)則在SQL Server、Oracle、DB2和Informix等重要的商業(yè)數(shù)據(jù)庫系統(tǒng)中得到了運(yùn)用。主動規(guī)則近年來吸引了較多的關(guān)注，已經(jīng)應(yīng)用到許多新領(lǐng)域中：例如 XML 文檔［1，2］、RDF［3］、語義網(wǎng)絡(luò)［4］和傳感器數(shù)據(jù)庫［5］等等。遵循 Event－Condition－Action范型的主動規(guī)則之間的相互觸發(fā)可導(dǎo)致整個規(guī)則集的無限次執(zhí)行［6，7］，規(guī)則集的可終止性的判定成為一個難題［8］。為了限制觸發(fā)器級聯(lián)執(zhí)行的深度，現(xiàn)有商業(yè)數(shù)據(jù)庫系統(tǒng)采用門檻值的方法，比如Oracle定義該值為32。但是，定義合適的門檻值比較困難，定義過小，將誤判可終止的規(guī)則集為不可終止，導(dǎo)致放棄已執(zhí)行的正確結(jié)果；定義過大，真正的不可終止規(guī)則集被系統(tǒng)終止時已經(jīng)循環(huán)執(zhí)行多次，既浪費(fèi)系統(tǒng)資源又使系統(tǒng)性能惡化。

為了克服已有判定方法的不足，本文提出了觸發(fā)環(huán)的可執(zhí)行序列概念，建立包含可更新變量的條件公式的方法和由此產(chǎn)生的規(guī)則集可終止性判定方法。分析結(jié)果表明，所提出的方法可以發(fā)現(xiàn)現(xiàn)有方法不能發(fā)現(xiàn)的可終止性情形。通過對主動規(guī)則集可終止性理論的研究，可為設(shè)計具有良好行為特性的主動規(guī)則集提供理論依據(jù)，并有助于設(shè)計并實現(xiàn)主動數(shù)據(jù)庫系統(tǒng)的輔助分析工具，促進(jìn)主動規(guī)則作為一種機(jī)制在其他行業(yè)中得到更多、更充分的應(yīng)用。

2 相關(guān)知識

2.1 主動規(guī)則

主動規(guī)則常表示為 E－C－A 范型［7］，分別代表規(guī)則的觸發(fā)事件、規(guī)則條件、規(guī)則的執(zhí)行動作。ra和rb分別表示兩個規(guī)則：（1）若ra的觸發(fā)事件包含在rb的動作中，則稱rb可觸發(fā)ra；（2）若執(zhí)行rb的動作可使ra的條件成立，則稱rb可活化ra。這兩種關(guān)系形成兩種有向圖：觸發(fā)圖（TG）和活化圖（AG）。執(zhí)行規(guī)則動作后因使自身條件不成立而無法再執(zhí)行的規(guī)則稱為自惰化規(guī)則。以上內(nèi)容詳見文獻(xiàn)［7］。

2.2 規(guī)則執(zhí)行模式

本文采取文獻(xiàn)［9］中的規(guī)則處理過程，如圖1所示。

Figure 1 Process based on rule execution mode圖1 基于規(guī)則執(zhí)行模式的處理過程

2.3 相關(guān)研究分析

本文研究主動規(guī)則集在編譯階段的可終止性判定問題，該研究當(dāng)前主要分為兩類：基于觸發(fā)圖和活化圖的方法和基于條件公式的方法。已有的研究工作都存在一定的局限。文獻(xiàn)［10］通過分析主動規(guī)則集的語法建立觸發(fā)圖進(jìn)行判定；文獻(xiàn)［7］利用活化圖進(jìn)行判定，建立活化圖的代數(shù)方法由文獻(xiàn)［11］提出；本文的前期研究文獻(xiàn)［12］根據(jù)規(guī)則的立即執(zhí)行語義，提出觸發(fā)環(huán)中規(guī)則同步執(zhí)行的思想并用來建立不可歸約規(guī)則集。雖然文獻(xiàn)［12］將規(guī)則集分析細(xì)化到觸發(fā)環(huán)分析，但這類方法都沒有考慮觸發(fā)環(huán)所有所屬規(guī)則能否在同一次執(zhí)行中執(zhí)行，只是考慮單個規(guī)則在規(guī)則集或觸發(fā)環(huán)的運(yùn)行當(dāng)中能否無限次執(zhí)行?；谝?guī)則集或觸發(fā)環(huán)建立條件公式的判定方法克服了這一缺陷。文獻(xiàn)［10］提出移出邊的方法，根據(jù)兩個規(guī)則的條件建立條件公式；文獻(xiàn)［13，14］提出移出路徑的思想，考慮一個觸發(fā)序列上所有規(guī)則條件建立更強(qiáng)的條件公式；本文前期工作文獻(xiàn)［15］根據(jù)規(guī)則的立即執(zhí)行語義，提出建立活化路徑的條件公式進(jìn)行判斷的方法，能更大程度地解決包含有自惰化規(guī)則［7］的規(guī)則集的可終止性判定問題。但是，這類方法具有以下不足：（1）條件公式中只包含不可更新變量或有限次更新變量，而有限次更新變量的判定是一個NP問題［14］；（2）如果規(guī)則集只包含有限次執(zhí)行的觸發(fā)環(huán)，不能有效判斷其終止性。下面通過一個實例說明上述已有判定方法的不足。

例1 圖2以O(shè)racle觸發(fā)器方式定義如下的主動規(guī)則。

Figure 2 Related active rule set definitions圖2 相關(guān)主動規(guī)則集定義

圖3 表示上述規(guī)則集關(guān)聯(lián)的觸發(fā)圖和活化圖，其中虛線表示活化邊，實線表示觸發(fā)邊。

Figure 3 TG＆AG associated with rule set in Figure 2圖3 與圖2中規(guī)則集關(guān)聯(lián)的TG圖和AG圖

圖3 中一個 TG環(huán)R1｛r1，r2，r3｝和一個 AG環(huán)R′1｛r1，r2，r3｝，R1以執(zhí)行序列r1r2r3r1循環(huán)觸發(fā)執(zhí)行。變量R.B、S.H、S.L、R.C 和R.D 既在R1的規(guī)則動作部分又在R1的規(guī)則條件部分，同時不出現(xiàn)在任何不屬于R1但可由其觸發(fā)可達(dá)的規(guī)則的動作部分。不屬于R1但可由其觸發(fā)可達(dá)的規(guī)則不能保證在R1的循環(huán)執(zhí)行中真正運(yùn)行。

（1）建立基于變量R.B的公式。R.B只在r1、r3的動作中賦予初值，由于公式中被更新變量應(yīng)基于同一個初始值變化，所以有公式：δ1＝（R.B＝0），δ2＝（R.B ＝1）∧（R.B ＝1）＝ （R.B ＝1）。它們的真值為true，是可滿足的。

（2）與變量R.B類似，建立基于變量S.H、R.C的公式：ξ1＝（S.H ＝1），ξ2＝（S.H ＝0），ξ3＝（R.C ＝1），ξ4＝（R.C ＝0）。它們的真值為true，是可滿足的。

（3）建立基于變量R.D的公式。R.D被r3賦予初值，被r2更新，出現(xiàn)在r3的條件中。不妨將r3看作R1循環(huán)執(zhí)行的第一個被觸發(fā)規(guī)則，由于公式中被更新變量應(yīng)基于同一個初始值變化，即R.D總代表一個初始值，所以如果R.D初值已被增量＋△L更新，則公式中包含R.D的條件謂詞應(yīng)將比較值以增量－△L更新，從而取得等價變換。建立的公式為：（R.D＜2－0.5）AND（R.D ＝1），真值為true，是可滿足的。

（4）建立基于變量S.L的公式。R1中沒有規(guī)則賦予S.L初值，S.L被r1更新，出現(xiàn)在r2的條件中。一旦r1再次作為被觸發(fā)規(guī)則，R1完成一次循環(huán)執(zhí)行，可建立以下公式：σ＝ （S.L ＝S.L ＋1）AND（S.L＜2）＝ （（S.L ＋1）＜2））。盡管當(dāng)r4賦S.L初值0且σ＝true，R1可循環(huán)執(zhí)行一次，但當(dāng)R1循環(huán)執(zhí)行到第三次，即S.L＝0，K＝2，使得σ＝ （（S.L＋K×1）＜2）＝false，導(dǎo)致r3不能真正被執(zhí)行，R1必可終止。

圖2中存在觸發(fā)環(huán)，文獻(xiàn)［6，10］不能判斷此規(guī)則集可終止；利用文獻(xiàn)［7，12］中的方法分析，只有r4從圖2中移出，它們不能判斷此規(guī)則集可終止；規(guī)則集中的變量都是可更新的，沒有不可更新變量和有限次更新變量被文獻(xiàn)［10，13～15］中的方法發(fā)現(xiàn)，它們不能判斷此規(guī)則集可終止。

3 活化路徑和活化路徑集

為了表達(dá)規(guī)則之間的可無限次維持的活化關(guān)系，文獻(xiàn)［15］提出了活化路徑等概念。

定義1［15］若規(guī)則ri∈規(guī)則集R且有〈ri，rj〉∈TG，則稱rj可由R直接觸發(fā)可達(dá)；若rj可由R直接觸發(fā)可達(dá)或存在規(guī)則rt可由R直接觸發(fā)可達(dá)使得〈rt，rj〉∈TG，則稱rj由R 觸發(fā)可達(dá)。

定義2［15］若規(guī)則ri∈規(guī)則集R且有〈ri，rj〉∈AG，則稱規(guī)則rj可由R直接活化可達(dá)；若rj可由R直接活化可達(dá)或存在規(guī)則ra可由R直接活化可達(dá)使得〈ra，rj〉∈AG，則稱rj由R 活化可達(dá)。

定義3［15］r的一個活化規(guī)則表示為ra，與ra相關(guān)的r的活化路徑Pa定義如下：（1）若ra∈一個活化環(huán)Ra，則Pa表示為Ra；（2）若ra?一個活化環(huán)Ra但可由Ra活化可達(dá)，則Pa表示為Ra∪p′，p′滿足下述特性：①ra可沿p′由Ra活化可達(dá)，但p′?Ra中任一規(guī)則；②p′是極小化的，即p′上任一規(guī)則被消除，則屬性①就不滿足。

文獻(xiàn) ［7］已經(jīng)證明從R的不可歸約規(guī)則集中移出的規(guī)則必有限次執(zhí)行。在后文中非特別說明，定理中所指的規(guī)則、TG環(huán)和AG環(huán)均包含在一個不可歸約規(guī)則集中。

推論1［15］一個觸發(fā)環(huán)RT中任意一個規(guī)則表示為r，若r總存在一條活化路徑Pa且可由RT觸發(fā)可達(dá)Pa中任一規(guī)則，則RT將具有非終止性；否則，RT必可終止。

4 基于活化路徑建立條件公式

推論1沒有考慮活化路徑中的規(guī)則是否可以同時執(zhí)行，其判斷具有保守性。

定義4［15］觸發(fā)環(huán)的規(guī)則執(zhí)行序列 RES（Rule Execute Sequence）表示為：當(dāng)觸發(fā)環(huán)中至少一個規(guī)則被一個事務(wù)觸發(fā)時，從r1到rn的循環(huán)執(zhí)行，記作〈〈r1，…，rn〉〉＋，其中每個元素ri是互不相同的。屬于觸發(fā)環(huán)RT的所有RES，記作RESSet（RT）。

例2 在圖3中，TG環(huán)R1｛r1，r2，r3｝具有兩個RES：RES1＝〈〈r1，r2，r3〉〉＋，RES2＝〈〈r1，r2，r4，r3〉〉＋，RES－Set（R1）＝｛RES1，RES2｝。

定義5 規(guī)則r∈TG環(huán)RT且Pa為r的一條活化路徑，δ為RT的一條執(zhí)行序列，若滿足特性：（1）δ包含Pa；（2）任一規(guī)則移出δ，則屬性（1）不成立或RT上有一個規(guī)則不能被觸發(fā)。則稱δ相對于Pa是極小化的。

以下的調(diào)整操作保證RES－Set（RT）中RES相對于Pa是極小化的。

定義6 TG環(huán)RT的一條RES表示為δ，RT上一個規(guī)則的活化路徑表示為Pa，定義操作Curtail（δ，RT，Pa）如下：若在δ上子序列P 滿足如下性質(zhì)：（1）P的起點(diǎn)A?RT但A∈Pa；（2）P 的終點(diǎn)B∈RT；（3）r表示P 上除了起點(diǎn)A 和終點(diǎn)B之外的點(diǎn)，則r?RT且r?Pa。則起點(diǎn)A和終點(diǎn)B保留在P上，余下的點(diǎn)裁剪掉。

定理1 若規(guī)則r不屬于TG環(huán)RT并且不能為其觸發(fā)可達(dá)，則r不能與RT同步運(yùn)行。

證明 通過反證法證明。假設(shè)r在RT上規(guī)則r′之后得到運(yùn)行，根據(jù)前述的規(guī)則執(zhí)行語義，必有r′觸發(fā)r。根據(jù)定義1可知：r可由RT觸發(fā)可達(dá)，與定理的前提產(chǎn)生矛盾，假設(shè)不成立，定理成立。 □

若r不屬于RT但可由其觸發(fā)可達(dá)，不能保證r能和RT同步執(zhí)行，為判斷RT的終止性建立的條件公式中的變量不應(yīng)被r的動作更新；否則，無法明確評估此變量在RT的循環(huán)執(zhí)行中的更新變化。根據(jù)定理1，提出以下定義。

定義7 若變量X出現(xiàn)在TG環(huán)RT的規(guī)則條件部分，但不出現(xiàn)在屬于RT的規(guī)則或不屬于RT但可由其觸發(fā)可達(dá)的規(guī)則的動作部分，則稱X為RT的不可更新變量。

定義8 若變量X同時出現(xiàn)在TG環(huán)RT的規(guī)則條件部分和動作部分，但不出現(xiàn)在不屬于RT卻可由其觸發(fā)可達(dá)的規(guī)則的動作部分，則稱X為RT的可更新變量。

由于公式中可更新變量應(yīng)基于同一個初始值變化，而變量常常多次賦初值，故提出以下定義。

定義9 在TG環(huán)RT中，若規(guī)則r給一個可更新變量X賦初值，則r稱為X的一個斷點(diǎn)。

4.1 基于不可更新變量建立條件公式

根據(jù)定義7，基于不可更新變量X建立的條件公式為TG環(huán)RT中規(guī)則條件部分包含X的謂詞的邏輯組合。詳細(xì)方法見文獻(xiàn)［13，14］。

4.2 基于可更新變量建立條件公式

在條件公式中，所有謂詞中同一個可更新變量都是基于同樣的初始值，初始值由其斷點(diǎn)規(guī)則賦值，如果某個謂詞中變量已發(fā)生增量＋△X的更新，變量始終看作其初始值，則應(yīng)將比較值以增量－△X更新，并稱這種等價變換為相對于斷點(diǎn)規(guī)則的更新投影。

（1）如果觸發(fā)環(huán)RT的可更新變量X在RT的執(zhí)行序列ξ中無斷點(diǎn)，則任選ξ中規(guī)則r為首個被觸發(fā)規(guī)則，對其后執(zhí)行規(guī)則中包含X的條件謂詞做相對于r的更新投影，只能建立一個公式；

（2）如果觸發(fā)環(huán)RT的可更新變量X在R的執(zhí)行序列ξ中有斷點(diǎn)r，則將r選為首個被觸發(fā)規(guī)則，對其后執(zhí)行規(guī)則中包含X的條件謂詞作相對于r的更新投影，建立一個公式。

基于可更新變量建立條件公式的算法如算法1所示。

算法1 Formula－constructing

輸入：TG環(huán)RT的執(zhí)行序列ξ和RT的可更新變量X；

輸出：條件公式集SC。

Begin

SC：＝?

（1）IF X 在ξ中無斷點(diǎn)規(guī)則

r表示ξ中任一規(guī)則并作為其循環(huán)執(zhí)行的首個觸發(fā)規(guī)則；P表示r的條件中包含X的一個謂詞；δ1表示首個建立的公式；Updated（X）表示在X上已完成的一組更新；δ1：＝P；

IF r的動作以＋△X更新X

Updated（X）＝｛－△X｝；

ENDIF

IF r的動作以－△X更新X

Updated（X）＝｛＋△X｝；

ENDIF

ENDIF

IF X在ξ中有多個斷點(diǎn)

r表示X的任意斷點(diǎn)規(guī)則并選作ξ循環(huán)執(zhí)行中首個觸發(fā)規(guī)則；P表示r的動作中賦X 初值的謂詞；

δ1：＝ P；Updated（X）＝?；

ENDIF

（2）r′表示ξ的循環(huán)執(zhí)行中下一個觸發(fā)規(guī)則；

IF r′的條件中有形如X compare n 的謂詞P／＊compare表示 “＞，＜”等比較符，n表示常數(shù)＊／

FOR?deltax∈Updated（X）Do

n：＝n＋deltax；

ENDFOR

δ1：＝δ1∧P；

ENDIF

IF r′不為r且不是X 在ξ中的斷點(diǎn)

IF r′的動作以＋△X更新X

Updated（X）＝Updated（X）∪｛－△X｝；

ENDIF

IF r′的動作以－△X更新X

Updated（X）＝Updated（X）∪｛＋△X｝；

ENDIF

Goto（2）

ENDIF

IF r′不為r但作為X 在ξ中的斷點(diǎn)

SC：＝SC∪｛δ1｝；P′ 表示r′的動作中賦X 初值的謂詞；

δ2：＝ P′；Updated（X）＝?；Goto（2）

ENDIF

IF r′即為r／＊ξ完成一次循環(huán)執(zhí)行＊／

δn表示當(dāng)前建立的公式；SC：＝SC∪｛δn｝；

Return（SC）；

ENDIF

END

5 TG環(huán)的可終止性分析

ρ表示TG環(huán)RT的一個規(guī)則執(zhí)行序列，F(xiàn)ormula（ρ）表示利用算法1和文獻(xiàn)［13，14］中方法分別基于RT的可更新變量和不可更新變量為ρ建立的一組條件公式。

定理2 r表示一個TG環(huán)RT中的任意一個規(guī)則，若r總存在一個有效活化路徑Pa且Pa中任一規(guī)則可由RT觸發(fā)可達(dá)，同時RT滿足如下性質(zhì)：若?ρ∈RES－Set（RT），滿足Rules－Set（ρ）?Rules－Set（Pa）且?δ∈Formula（Curtail（ρ，RT，Pa）），有δ≠false，則RT將具有非終止性；否則，RT必可終止。

證明 由定義5、定義6可知：對RES－Set（RT）中任意執(zhí)行序列ρ，若都存在一個條件公式σ∈Formula（Curtail（ρ，RT，Pa）），有σ＝false，則RT或Pa上必有一個規(guī)則不能在ρ的循環(huán)中運(yùn)行。這導(dǎo)致RT上必有一個規(guī)則因條件不滿足或自惰化規(guī)則r的條件不能被Pa再次活化而不能真正運(yùn)行，從而導(dǎo)致執(zhí)行序列ρ不能循環(huán)運(yùn)行而終止，即RT必可終止。反之，因為條件公式都能滿足，Pa上所有規(guī)則和r都能被RT的一個執(zhí)行序列ρ包含并與其同步循環(huán)執(zhí)行，并且r能夠在自惰化后被Pa活化，即ρ可循環(huán)運(yùn)行，故RT將具有非終止性。 □

定義10 在TG環(huán)RT中，若可更新變量X在RT中沒有斷點(diǎn)規(guī)則，則X是RT的可累積更新變量。

如果X是RT的可累積更新變量，通過算法1只能為其建立一個條件公式，Sum（△X）表示RT按某一執(zhí)行序列循環(huán)執(zhí)行過程中對X產(chǎn)生的所有更新累積后的凈效果。

定理3 X表示TG環(huán)RT的可累積更新變量，δ（X）表示通過算法1為RT的執(zhí)行序列ρ建立的一個基于X 的條件公式，δ（X＋k×Sum（△X））表示當(dāng)ρ循環(huán)執(zhí)行k次，X產(chǎn)生可累積更新后δ（X）的表現(xiàn)形式。如果δ（X＋k×Sum（△X））＝false，則ρ必可終止。

證明 假設(shè)由算法1為RT的執(zhí)行序列ρ建立的基于不可更新變量、可更新變量的所有條件公式都可滿足，并按定理2判斷RT將具有非終止性，可按ρ循環(huán)執(zhí)行。在循環(huán)執(zhí)行到第（k＋1）次時，經(jīng)過ρ的k次循環(huán)過程中累積的更新后，X改變?yōu)椋╔＋k×Sum（△X））。如果通過算法1建立的公式δ（X＋k×Sum（△X））＝false，則ρ的第（k＋1）次循環(huán)中至少有一個規(guī)則因為條件無法滿足而不能運(yùn)行，導(dǎo)致ρ必可終止。 □

設(shè)R表示任意不可歸約規(guī)則集，ST＝｛RT｜RT為R中的TG環(huán)｝。TG環(huán)的可終止性分析算法如算法2所示。

算法2 Refined Termi－test

輸入：R的TG環(huán)集ST；

輸出： 如果判斷可終止，返回true；否則，返回false。Begin

（1）FOR每個TG環(huán)RT∈ST

Sign：＝false；／／假設(shè)RT不是可終止的

FOR每個規(guī)則r∈Rules－Set（RT）

flag：＝true；／／假設(shè)r是可終止的

IF（?Pa∈Path－Setact（r）滿足Pa是活化路徑且?r′∈Rules－Set（Pa），r′由RT觸發(fā)可達(dá)）

IF（?ρa(bǔ)∈RES－Set（RT）滿足ρ包含Pa且有：?δ∈Formula（Curtail（ρ，RT，Pa）），δ≠false，同時RT不存在當(dāng)ρ完成K 次循環(huán)后滿足δ（X＋k×Sum（△X））＝false的可累積更新變量X）

flag：＝false；／／r可非終止運(yùn)行

ENDIF

ENDIF

IF flag

Sign：＝true；break；／／RT是可終止的

ENDIF

ENDFOR

IF NOT（Sign）

Return（false）；／／R不是可終止的

ENDIF

ENDFOR

（2）Return（true）；／＊無不可終止TG環(huán)，R可終止運(yùn)行＊／

END

定理4 算法2是正確的、可終止的。其時間復(fù)雜度為O（m×p2×n），其中m表示觸發(fā)環(huán)的個數(shù)，p表示規(guī)則集R中的規(guī)則個數(shù)，n表示活化環(huán)個數(shù)。

證明 定理2、定理3保證了算法的正確性；因為不可歸約規(guī)則集R中TG環(huán)個數(shù)、一個TG環(huán)的RES個數(shù)、AG環(huán)個數(shù)、主動規(guī)則的個數(shù)、規(guī)則的活化路徑個數(shù)、一個TG環(huán)中不可更新變量和可更新變量的個數(shù)都是有限的，故算法2可自動終止。很明顯，算法的時間復(fù)雜度由觸發(fā)環(huán)RT的可終止性判定決定，即決定是否存在flag＝false。在最壞情況下m個觸發(fā)環(huán)都需要被檢驗；每個觸發(fā)環(huán)所包含的規(guī)則個數(shù)Rules－Set（RT）不超過規(guī)則集R中的規(guī)則個數(shù)p；在最壞情況下每個規(guī)則都能由任何活化環(huán)活化可達(dá)，p個規(guī)則可以最多有（p×n）個活化路徑，將每個活化路徑中規(guī)則的觸發(fā)可達(dá)判定和與之相關(guān)的條件公式的檢測看作是基本操作，則最內(nèi)層的For語句最多可執(zhí)行基本操作 （m×p×（p×n））次。故算法的時間復(fù)雜度為O（m×p2×n）。 □

6 結(jié)束語

現(xiàn)有方法在判斷含有自惰化規(guī)則的規(guī)則集可終止性時存在不足，為此，本文提出了觸發(fā)環(huán)的執(zhí)行序列的概念，從而將觸發(fā)環(huán)和規(guī)則的執(zhí)行語義結(jié)合在一起；并進(jìn)一步提出了觸發(fā)環(huán)執(zhí)行序列上的可更新變量、不可更新變量的概念，給出了建立包含可更新變量的條件公式的方法和由此產(chǎn)生的判斷規(guī)則集可終止性的技巧；同時，還給出了運(yùn)用該方法的判定定理及其相應(yīng)的算法。

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