二元函數(shù)一致連續(xù)的判定*

郝兆才，張歆秋，栗會平，張國強(qiáng)，明文燕，呂亞楠，徐龍鑫

(曲阜師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 曲阜 273165)

二元函數(shù)一致連續(xù)的判定*

郝兆才，張歆秋，栗會平，張國強(qiáng)，明文燕，呂亞楠，徐龍鑫

(曲阜師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 曲阜 273165)

將一元函數(shù)一致連續(xù)的3個基本判定定理進(jìn)行推廣，給出了二元函數(shù)一致連續(xù)的3個判別法.

二元函數(shù)；連續(xù)；一致連續(xù)；充要條件

函數(shù)一致連續(xù)是數(shù)學(xué)分析課程的重要學(xué)習(xí)內(nèi)容，是重點和難點之一，在微積分學(xué)及其他學(xué)科中的應(yīng)用極為廣泛.現(xiàn)行數(shù)學(xué)分析教材對一元函數(shù)的一致連續(xù)性已有詳細(xì)敘述，但對二元函數(shù)的一致連續(xù)性往往只略加提及.對二元函數(shù)一致連續(xù)性的判定最常用的是定義和康托定理法.用定義判定比較復(fù)雜，而使用康托定理又限于有限閉區(qū)域，從而尋找新的判定方法就顯得非常重要.

目前已有文獻(xiàn)對二元函數(shù)一致連續(xù)性的判別進(jìn)行了研究.如文獻(xiàn)[1]列舉了一元函數(shù)一致連續(xù)的幾個結(jié)果，并將其推廣到了二元函數(shù)；文獻(xiàn)[2]給出了二元函數(shù)一致連續(xù)的幾個判定方法；文獻(xiàn)[3]對文獻(xiàn)[2]中一個錯誤結(jié)論進(jìn)行分析，得出一個二元函數(shù)在R2上一致連續(xù)的充分條件.利用導(dǎo)數(shù)、連續(xù)模數(shù)等方法來判定二元函數(shù)的一致連續(xù)性是非常重要而且簡便的方法，但就筆者所知這方面的結(jié)果目前很少.

筆者在廣泛閱讀各種文獻(xiàn)資料的基礎(chǔ)上，受文獻(xiàn)[1-6]的啟發(fā)，將一元函數(shù)一致連續(xù)的3個基本的判定定理(即下文的引理1，2，3)進(jìn)行了推廣，給出了二元函數(shù)一致連續(xù)的導(dǎo)數(shù)法及連續(xù)模數(shù)判別法等3個判定方法，彌補(bǔ)了相關(guān)文獻(xiàn)資料關(guān)于函數(shù)一致連續(xù)性問題判定方法的不足，大大簡化并拓寬了函數(shù)一致連續(xù)性的可判別范圍.

為便于對照先列出一元函數(shù)一致連續(xù)的幾個結(jié)果：

引理2[5]函數(shù)f(x)在區(qū)間I上一致連續(xù)的充要條件是?ε>0,?x′,x″∈I,?N>0,使當(dāng)|f(x′)-f(x″)|>N|x′-x″|時,恒有|f(x′)-f(x″)|<ε.

下面將上述引理推廣到二元函數(shù)：

從而f(x,y)在D上非一致連續(xù)，矛盾，因而λ和η為有限數(shù).

定理2 函數(shù)f(x,y)在D上一致連續(xù)??ε>0,?P,Q∈D,?N>0,使得當(dāng)|f(P)-f(Q)|>N·d(P，Q)時，有|f(P)-f(Q)|<ε.

證明(1)先證明當(dāng)D為凸區(qū)域時結(jié)論成立.

(2) 當(dāng)D為一般區(qū)域時，區(qū)域D可分為有限個左開右閉區(qū)域之并，在每個小區(qū)域上由(1)結(jié)論成立，因而在整個區(qū)域D上結(jié)論成立.

[1] 翟明清.淺析二元函數(shù)一致連續(xù)性[J].滁州學(xué)院學(xué)報,2004,6(3):98-99.

[2] 劉玉璉,付沛仁.數(shù)學(xué)分析講義(下)[M].北京:高等教育出版社，2001.

[3] 何 美.R2上連續(xù)函數(shù)一致連續(xù)性的判定[J].大同職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報,2002,16(2):58-59.

[4] 楊 峻,何朝兵.函數(shù)一致連續(xù)性的判定[J].安陽師范學(xué)院學(xué)報,2006(5):10-11.

[5] 王少英.任意區(qū)間上一致連續(xù)函數(shù)的判定[J].雁州師范學(xué)院學(xué)報,2007,23(2):92-94.

[6] 田立平,陳 昌.論連續(xù)函數(shù)的一致連續(xù)性[J].河南教育學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版,2011,20(3):1-3.

(責(zé)任編輯 向陽潔)

CriteriaoftheUniformContinuityofTwo-VariableFunctions

HAO Zhaocai,ZHANG Xinqiu,LI Huiping,ZHANG Guoqiang,MING Wenyan,Lü Ya’nan,XU Longxin

(Institute of Mathematical Sciences,Qufu Normal University,Qufu 273165,Shandong China)

The three judging theorems for the uniform continuity of one-variable functions are extended,and thus three criteria of the uniform continuity of two-variable functions are given.

two-variable functions;continuity;uniform continuity;necessary and sufficient condition

1007-2985(2014)02-0001-02

2013-04-27

郝兆才(1972-),男,山東棗莊人,曲阜師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院教授,主要從事非線性泛函分析研究.

O171

A

10.3969/j.issn.1007-2985.2014.02.001