懸臂式SGCMG的高速轉(zhuǎn)子的徑向振動特性研究

羅睿智， 虎 剛， 王全武

(1.北京控制工程研究所，北京 100190；2.空間智能控制技術(shù)重點實驗室，北京 100190；3.中國長城工業(yè)總公司，北京 100195)

小型懸臂式SGCMG(主要由高速轉(zhuǎn)子、連接支架和低速伺服系統(tǒng)構(gòu)成)具有結(jié)構(gòu)緊湊，輸出力矩大，效率高等眾多優(yōu)點，而且在理論上還能輸出大范圍精細的控制力矩，因此它是敏捷衛(wèi)星等航天器實現(xiàn)快速姿態(tài)機動的理想執(zhí)行機構(gòu)，但是在SGCMG運行的過程中伴隨輸出的微幅高頻振動難以抑制，振動惡化了星上環(huán)境，降低了精密儀器(如高分辨率相機)的性能[1-4]。迄今為止，對這種單端固定支撐的高速轉(zhuǎn)子的振動特性認識尚不充分。其實，在結(jié)構(gòu)上與之類似的動量輪也面臨著同樣的問題亟待解決。

高速轉(zhuǎn)子的外形如圖1的左圖所示，右圖為其內(nèi)部結(jié)構(gòu)簡圖。其主要由輪體、軸承組件、電機和殼體等構(gòu)成；在轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動的過程中，輪體、電機轉(zhuǎn)子和軸承安裝殼及軸承外圈等零部件構(gòu)成一個整體并高速旋轉(zhuǎn)——旋轉(zhuǎn)體，支撐在懸臂主式軸上?？梢?，高速轉(zhuǎn)子中的旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)本質(zhì)是懸臂式非對稱支撐，從而使得主軸在A、B點對旋轉(zhuǎn)體的支撐剛度不等。

圖1 高速轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖

高速轉(zhuǎn)子是懸臂式SGCMG中儲存角動量的核心部件，同時也是影響衛(wèi)星姿態(tài)穩(wěn)定性和指向精度的最大干擾源之一[1-5]，因此有必要摸清其振動特性。文獻[3-6]都是將高速轉(zhuǎn)子簡化為等剛度對稱支撐的Jeffcott轉(zhuǎn)子，因而他們所建立的動力學(xué)模型中的徑向位移振動和轉(zhuǎn)角振動解耦。這與懸臂式SGCMG中高速轉(zhuǎn)子的結(jié)構(gòu)本質(zhì)不符，因此不能直接借用他們所建立的模型。文獻[5-6]都忽略了預(yù)緊軸承所激發(fā)的振動，并且未對測試瀑布圖中非工頻成分進行解釋。

針對高速轉(zhuǎn)子徑向振動特性的認識尚不準確不全面的問題，本文首先分析了懸臂式SGCMG中的高速轉(zhuǎn)子在高速旋轉(zhuǎn)過程中的激振源——動靜不平衡量所產(chǎn)生的離心力和力偶、處于預(yù)緊狀態(tài)的軸承的各活動部件工作面的幾何誤差所導(dǎo)致的預(yù)緊力的波動；然后在結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上建立了高速轉(zhuǎn)子的徑向動力學(xué)模型；最后利用結(jié)構(gòu)參數(shù)對模型進行仿真，并與試驗結(jié)果進行對比，從而驗證了模型的有效性。

1 建立坐標系

本體坐標系Fb：oxyz。其原點o位于旋轉(zhuǎn)體的質(zhì)心處，以旋轉(zhuǎn)體的離心力方向為x軸正方向，以旋轉(zhuǎn)體的最大慣量軸為y軸，且方向向右，z軸由右手法則確定。

參考坐標系Fr：OXYZ。其原點O位于旋轉(zhuǎn)體的質(zhì)心處，以主軸根部平面的法線向右為Y軸，以垂直于Y且向上為Z軸正向，X軸由右手法則確定。

兩坐標系如圖1所示。因Fb的三坐標軸為旋轉(zhuǎn)體的慣量主軸，故其慣量積矩陣為J=diag(Id,Ip,Id)。

2 旋轉(zhuǎn)體受力分析

高速轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的復(fù)雜結(jié)構(gòu)決定了引起它振動的因素也比較復(fù)雜，主要包括：在高速轉(zhuǎn)子運行的過程中，旋轉(zhuǎn)體的靜動不平衡量所產(chǎn)生的離心力和力偶和預(yù)緊軸承幾何誤差所產(chǎn)生的預(yù)緊力波動，還有軸承的摩擦、殼體的耦合振動、電機的紋波力矩和轉(zhuǎn)子熱變形等。因此高速轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動是一個復(fù)雜的動態(tài)過程。但是結(jié)合SGCMG的特點并經(jīng)過初步的對比分析，結(jié)果表明前兩項是主要的振源。

2.1 預(yù)緊軸承的零件的幾何誤差激勵

預(yù)緊軸承中的眾多活動部件的工作面不可避免地存在幾何誤差，如檢測的某一批軸承溝道的外形示意圖如圖2所示情形。顯然，軸承溝道存在明顯低次諧波及其組合趨勢。在內(nèi)外圈相對旋轉(zhuǎn)時軸承零件滾動表面的幾何誤差隨之旋轉(zhuǎn)，成為以2π為周期的周期函數(shù)。因此可以將這些幾何誤差展開成Fourier級數(shù)。根據(jù)軸承理論和Hertz接觸理論可得到預(yù)緊力波動量，該波動量最終傳遞到高速轉(zhuǎn)子上，激發(fā)高速轉(zhuǎn)子的振動。

圖2 軸承溝道的幾何誤差示意圖

按逆時針方向(與軸承外圈旋轉(zhuǎn)方向相同)依次對軸承中的滾動體進行編號：k，其中k∈{1,2,…,z}，z為單個軸承中的滾動體數(shù)。則對于非理想軸承，在任意t時刻，位于第k個滾動體處，外圈溝道在接觸點沿接觸角方向的幾何誤差記為δerk；內(nèi)圈溝道在接觸點沿接觸角方向的幾何誤差記為δirk。第k個滾動體在接觸點處沿接觸角方向的幾何誤差記為δeibk，其中，與外圈接觸點的幾何誤差記為δebk；與內(nèi)圈接觸點的幾何誤差記為δibk。它們都是展開成Fourier級數(shù)形式。

軸承的徑向(X和Z方向)預(yù)緊力波動量為：

(1)

(2)

其中，Dw為滾動體直徑(mm)；α為接觸角(°)；δα為彈性趨近量(在非理想軸承中，其中包含滾動面的幾何誤差)；Kωa和Kωr分別為軸向和徑向預(yù)緊力波動量的修正系數(shù)；ψk(t)為在任意t時刻第k個滾動體球心的相位。ωn為單個滾動體的固有頻率。通過(1,2)即可計算出處于預(yù)緊狀態(tài)的軸承在運行過程中，軸承滾動面的幾何誤差所導(dǎo)致的預(yù)緊力的波動量。

將A、B兩軸承的參數(shù)代入到(1,2)式中即可得到兩軸承各自滾動面的幾何誤差產(chǎn)生的預(yù)緊力的波動量，它們分別為ΔQArx,ΔQArz,ΔQBrx,ΔQBrz。從而可以進一步得到軸承組件的預(yù)緊力的波動量的徑向力和力矩。則對于該線性系統(tǒng)來說，A、B軸承的幾何誤差所產(chǎn)生的徑向激振力可表示為：

fec(t)=i(ΔQArx+ΔQBrx)+k(ΔQArz+ΔQBrz)

(3)

同理，激勵力矩可以表示為：

gec(t)=i(aΔQArx+bΔQBrx)+k(aΔQArz+bΔQBrz)

(4)

由此得到了軸承組件中的軸承的滾動面的幾何誤差在旋轉(zhuǎn)過程中產(chǎn)生的預(yù)緊力的波動量。其中，間距a,b,c如圖1所示。

2.2 旋轉(zhuǎn)體的不平衡量激勵

在高速轉(zhuǎn)子運行的過程中，旋轉(zhuǎn)體的靜不平衡量ust和動不平衡量udy將分別產(chǎn)生一個離心力fac和一個不平力矩gac直接作用于轉(zhuǎn)子上[4-6]，引起高速轉(zhuǎn)子的振動。該力和力偶分別為：

(5)

(6)

其中，ωy為高速轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)角頻率；βf和βm為不平衡力和力矩的初始相位。

2.3 高速轉(zhuǎn)子的總激勵

盡管高速轉(zhuǎn)子還將受到重力等常值力，但是它們只引起主軸等零部件的靜變形，故在振動分析中不予體現(xiàn)。則對旋轉(zhuǎn)體的總的激勵力為：

f(t)=fx(t)i+fz(t)k=fac+fec

(7)

對旋轉(zhuǎn)體的總的激勵力矩為：

g(t)=gx(t)i+gz(t)k=gac+gec

(8)

3 高速轉(zhuǎn)子的動力學(xué)建模

高速轉(zhuǎn)子運行的零初始時刻，F(xiàn)b與Fr三軸對應(yīng)平行，其通過2-1-3旋轉(zhuǎn):θoy,θox,θoz，其中θox和θoz都是非常小的角度，因此其對應(yīng)的三角函數(shù)可以近似線性化。則Fb相對于Fr的角速度，即旋轉(zhuǎn)體的轉(zhuǎn)速在參考坐標系中可以表示為：

(9)

其中，R1(θox),R2(θoy),R3(θoz)為Euler旋轉(zhuǎn)矩陣。則高速轉(zhuǎn)子的徑向轉(zhuǎn)動動能為：

(10)

高速轉(zhuǎn)子質(zhì)心的徑向平動動能為：

(11)

則高速轉(zhuǎn)子總的動能：

(12)

選取x1=υox,x2=υoz；x3=θox,x4=θoz作為廣義坐標：則Lagrange方程為：

(13)

(14)

式中各個剛度系數(shù)的物理意義為：Kfrx,Kfrz分別為轉(zhuǎn)子中心在x,z方向有單位位移時需要加在o點的沿x,z方向的力；Kfθx,Kfθz分別為轉(zhuǎn)子繞ox，oz軸有單位轉(zhuǎn)角時所需加于o點的沿z,x方向的力；Kmθx,Kmθz分別為轉(zhuǎn)子繞ox,oz軸有單位轉(zhuǎn)角時需要加的對ox,oz軸的力矩；Kfυx,Kfυz分別為轉(zhuǎn)子在z,x方向產(chǎn)生單位位移時，所需對ox,oz軸的力矩。Id和Ip分別為高速轉(zhuǎn)子的徑向和軸向轉(zhuǎn)動慣量。

在高速轉(zhuǎn)子運行過程中，各零部件的相對變形量都很小，不妨假設(shè)其中所有零部件的變形量都處于選用材料的線彈性范圍內(nèi)，即式14,式15中的剛度參數(shù)為常量；同時假設(shè)其中的阻尼參數(shù)也都為常量。即，高速轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是一個線性系統(tǒng)。

根據(jù)兩坐標系的關(guān)系可得到高速轉(zhuǎn)子基座上的振動力和力矩與質(zhì)心處振動力和力矩之間的關(guān)系：

(16)

其中，兩坐標間距：L=b+c，如圖1所示。

4 模型求解

由于動力學(xué)方程(14～16)是耦合的二階線性常微分非齊次方程組，其非齊次項也較為復(fù)雜，不便于求得解析解，故采用龍格庫塔法進行數(shù)值仿真。

根據(jù)高速轉(zhuǎn)子的結(jié)構(gòu)特征可以計算出模型所需參數(shù)如下：旋轉(zhuǎn)體的質(zhì)量為：m=5 kg；徑向轉(zhuǎn)動慣量為：Id=0.021 kg·m2；極慣量為：Ip=0.04 kg·m2；高速主軸的彈性模量為：E=2.10×1011Pa；a=22.5 mm，b=38 mm，c=14 mm。根據(jù)靜變形可確定懸臂梁的徑向等效剛度：Kmυx=Kmυz=1.2×106N·m/m;Kfαx=Kfαz=7.9×105N/rad;Kfrx=Kfrz=2.6×107N/m;Kmθx=Kmθz=3.6×104N·m/rad。

在不平衡量和軸承的幾何誤差激勵下，仿真得到高速轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的基座上輸出的振動力和力矩的瀑布圖及其對應(yīng)轉(zhuǎn)速下的系統(tǒng)特征值分布情況——固有頻率曲線如圖3、圖4所示。

圖3,4中間的兩條V字形曲線代表系統(tǒng)的正特征頻率隨轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速變化的曲線。圖5表示轉(zhuǎn)子質(zhì)心沿X方向振動位移和轉(zhuǎn)角瀑布圖；而Z方向振動位移和轉(zhuǎn)角瀑布圖與X方向類似，在此不再單獨列出。

圖3 徑向(X,Z)振動力瀑布圖及其固有頻率曲線

5 試驗驗證

利用Kistler的9256CQ多分量測力臺、電荷放大器和OROS的8通道數(shù)據(jù)采集設(shè)備在精密隔振光學(xué)平臺上對某型號的SGCMG的高速轉(zhuǎn)子進行微振動測試。測得系統(tǒng)徑向振動的瀑布圖如圖6,圖7所示。

圖6 徑向(X,Z)振動力瀑布圖

圖7 徑向(X,Z)振動力矩瀑布圖

6 仿真和實測結(jié)果對比分析

(1) 從圖5可見，高速轉(zhuǎn)子各零部件的振動位移和轉(zhuǎn)角分別在1μm或者10μrad左右，各零部件的相對變形量都很小，都處于所用材料的線彈性范圍內(nèi)，故高速轉(zhuǎn)子的徑向振動整體上表現(xiàn)為線性占主導(dǎo)。

(2) 仿真圖中的頻率成分覆蓋了測試圖中表現(xiàn)出來的幾乎所有的頻率成分，從而驗證了“徑向激振的頻率成分主要來源于高速旋轉(zhuǎn)體的靜動不平衡量和預(yù)緊軸承工作面的幾何誤差”的分析的合理性。

(3) 圖3～7都表明許多倍頻響應(yīng)大于基頻振動。這主要是因為預(yù)緊軸承在運行的過程中，其滾動面的幾何誤差產(chǎn)生了較大的預(yù)緊力波動，同時頻率成分與系統(tǒng)的模態(tài)頻率曲線相交，致使系統(tǒng)諧振。

(4) 圖3～7都存在兩個V形諧振頻率線。這是由于懸臂式SGCMG中的高速轉(zhuǎn)子是不等剛度非對稱支撐，導(dǎo)致轉(zhuǎn)子的徑向平動和轉(zhuǎn)動動力學(xué)方程耦合，系統(tǒng)存在四個正虛部的特征根，它們都是高速轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的函數(shù)，當外部的激勵穿越這些模態(tài)頻率曲線時，將導(dǎo)致高速轉(zhuǎn)子系統(tǒng)徑向諧振。

(5) 在瀑布圖中，倍頻放射線穿越“V”字形固有頻率曲線時，①放射線與固有頻率曲線在穿越點的夾角越小，該放射線穿越諧振帶的速度越慢，即需要在較寬的轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)才能穿過諧振帶。因而在轉(zhuǎn)子變速時，該倍頻放射線對系統(tǒng)的平穩(wěn)性影響越大；②放射線與固有頻率曲線的夾角越大，其穿越諧振帶的速度越快。因而該倍頻放射線對系統(tǒng)轉(zhuǎn)速升降的平穩(wěn)性影響越小。圖3～7都表現(xiàn)為每對V形曲線的右曲線比左曲線的響應(yīng)要大。因此在變速SGCMG和動量輪的結(jié)構(gòu)設(shè)計中，應(yīng)通過結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化來盡量避免較大的激勵以較小的角度穿越諧振帶。

(6) 仿真和實測結(jié)果表明：在某些轉(zhuǎn)速范圍振動較小，因此根據(jù)微振動的測試結(jié)果選擇高速轉(zhuǎn)子/動量輪的工作轉(zhuǎn)速(范圍)成為減小振動的有效方法。

仿真圖和實測圖在幅值以及模態(tài)頻率的大小上還存在一定的差異，這可能是因為仿真中的參數(shù)取得與實際情況存在一定差別，尤其是預(yù)緊軸承滾動表面的幾何誤差所產(chǎn)生的預(yù)緊力的波動量的幅值和相位難以準確得到，這還需要后續(xù)的參數(shù)辨識。

7 結(jié) 論

通過對SGCMG中的高速轉(zhuǎn)子徑向振動特性的分析和試驗驗證，可得到如下一些結(jié)論：

(1) 由高速轉(zhuǎn)子的靜動不平衡量所產(chǎn)生的離心力和力偶以及預(yù)緊軸承滾動面的幾何誤差所導(dǎo)致的預(yù)緊力的波動等是激勵高速轉(zhuǎn)子振動主導(dǎo)因素。

(2) 懸臂式高速轉(zhuǎn)子的徑向平動和轉(zhuǎn)動動力學(xué)方程耦合，使得系統(tǒng)的振動輸出呈現(xiàn)雙V字形形式。所建立的動力學(xué)模型(二階線性非齊次微分方程組)基本反映了高速轉(zhuǎn)子這一徑向低頻振動特性。

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