“兩角和與差的余弦”教學(xué)設(shè)計與反思

陸庭

摘 要： 兩角和與差的余弦是《三角恒等變換》第一節(jié)內(nèi)容，也是最重要的一節(jié)內(nèi)容。它是前面三角函數(shù)知識的延續(xù)，又是推導(dǎo)正弦和（差）角公式、正切和（差）角公式及倍角公式的基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞： 角 余弦 數(shù)學(xué) 教學(xué)

一、教學(xué)內(nèi)容分析

本節(jié)內(nèi)容是高一數(shù)學(xué)必修4（蘇教版）第三章《三角恒等變換》第一節(jié)的內(nèi)容，重點放在兩角差的余弦公式的推導(dǎo)和證明上，其次是利用公式解決一些簡單的三角函數(shù)問題。

在學(xué)習(xí)本章之前，已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)及向量的有關(guān)知識，從而為溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的聯(lián)系提供了重要的工具。本章我們將使用這些工具探討三角函數(shù)值的運算。本節(jié)內(nèi)容不僅是推導(dǎo)正弦和（差）角公式、正切和（差）角公式及倍角公式的基礎(chǔ)，對于三角變換，三角恒等式的證明，三角函數(shù)式的化簡、求值等三角問題的解決有重要的支撐作用，而且其推導(dǎo)過程本身就具有重要的教育價值。

二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析

本節(jié)課的主要內(nèi)容是“兩角差的余弦公式的推導(dǎo)及證明”，用到的工具有“單位圓中三角函數(shù)的定義”和“平面向量數(shù)量積的定義及坐標(biāo)表示”，都屬于基礎(chǔ)知識，內(nèi)容簡單，容易理解和接受。但是在向量法證明的過程中，向量夾角的范圍是[0，π]，與兩角差α-β的范圍不一致，學(xué)生對角的范圍說明不清，是本節(jié)課的難點。

三、設(shè)計思想

教學(xué)理念：以“研究性學(xué)習(xí)”為載體，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、小組合作的能力。

教學(xué)原則：注重學(xué)生自主學(xué)習(xí)與探究能力的培養(yǎng)，體現(xiàn)學(xué)生個性的發(fā)展與小組合作共性的融合。

教學(xué)方法：先學(xué)后教，小組合作，師生互動。

四、教學(xué)目標(biāo)

知識與技能：了解用向量法推導(dǎo)兩角差的余弦公式的過程，掌握兩角和（差）的余弦公式并能運用公式進(jìn)行簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值。

過程與方法：自主探究兩角差的余弦公式的表現(xiàn)形式，經(jīng)歷用向量的數(shù)量積推導(dǎo)兩角差的余弦公式的過程，并能獨立利用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解化歸思想在三角變換中的作用。

情感態(tài)度與價值觀：體驗和感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程，感悟事物之間普遍聯(lián)系和轉(zhuǎn)化的關(guān)系。

五、教學(xué)重點與難點

重點：兩角差的余弦公式的推導(dǎo)及證明。

難點：引入向量法證明兩角差的余弦公式及兩角差范圍的說明。

六、教學(xué)程序設(shè)計1.情境創(chuàng)設(shè)，課上展示。

課前探究：

課上展示：請同學(xué)們展示一下課前所得到的結(jié)果吧。

設(shè)計意圖：課前以問題串的形式給學(xué)生指明研究方向。問題層層遞進(jìn)，從特殊到一般，使學(xué)生的研究具有一定的坡度性。既讓學(xué)生容易上手，又讓學(xué)生在研究過程中慢慢深入與提高。

主要目的：讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)兩角差的余弦公式的表達(dá)形式。

通過課上展示，學(xué)生把課下研究出來的成果與全班同學(xué)共享，產(chǎn)生共鳴，為進(jìn)一步研究兩角差的余弦公式做好準(zhǔn)備，同時增強表達(dá)能力及自信心。

2.合作探究，小組展示。

探究一：兩角差的余弦公式的推導(dǎo)

問題4：問題2中我們所得到的結(jié)論對于任意角還成立嗎？你能證明嗎？

問題5：觀察我們得到結(jié)論的形式，你能聯(lián)想到什么呢？

探究二：兩角和的余弦公式的推導(dǎo)

問題6：你能根據(jù)差角的余弦公式推導(dǎo)出和角的余弦公式嗎？

問題7：比較差角的余弦公式與和角的余弦公式，它們在結(jié)構(gòu)上有何異同點？

通過小組展示，各個小組之間產(chǎn)生思維的碰撞，迸出火花，得到新的靈感與智慧。從而培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)結(jié)協(xié)作與小組合作的能力。

3.鞏固知識，例題講解。

例1：利用兩角和與差的余弦公式證明下列誘導(dǎo)公式：

例3：化簡cos100°cos40°+sin80°sin40°

設(shè)計意圖：教師對各小組展示內(nèi)容做適當(dāng)點評，并且對“向量法證明的優(yōu)點”，“向量法證明過程的完善”，“向量法中向量夾角與兩角差的范圍的統(tǒng)一”做簡要講解。

例1，例2都是公式的直接應(yīng)用。例1讓學(xué)生體會誘導(dǎo)公式將余弦的和差角公式推導(dǎo)出正弦的和差角公式，為下節(jié)課埋下伏筆。例2中根據(jù)cos15°的值求sin15°的值，tan15°的值的過程都是為推導(dǎo)正弦和差公式，正切和差公式做鋪墊。

變式將例2中具體的角變成抽象的角，利用同角三角函數(shù)公式求解。在由sinα的值求cosα的值或由cosβ的值求sinβ的值時，要注意根據(jù)角的范圍確定三角函數(shù)值的符號。

例3：是公式的逆用，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的能力，讓學(xué)生對公式結(jié)構(gòu)再認(rèn)識。

4.提升總結(jié)，鞏固練習(xí)。

提升總結(jié)：針對上面的3個例題，談?wù)勀銓W(xué)到了什么？

（2）利用兩角和差的余弦公式求值時，應(yīng)注意觀察、分析題設(shè)和公式的結(jié)構(gòu)特點，從整體上把握公式，靈活的運用公式。

（3）在解題過程中，要注意角的范圍，確定三角函數(shù)值的符號，以防增根、漏根。

設(shè)計意圖：主要以學(xué)生總結(jié)為主，老師做適當(dāng)點評及補充。

七、教學(xué)反思

本節(jié)課主要以學(xué)生的自主學(xué)習(xí)、小組合作為主，充分發(fā)揮了學(xué)生的自主探究能力和團(tuán)隊協(xié)作能力，提高了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探究問題和解決問題的能力。情境創(chuàng)設(shè)中利用三個問題讓學(xué)生在課前提前熟悉本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容“是什么”，“我能得到哪些結(jié)論”，調(diào)動了學(xué)生的思維與學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)了學(xué)生的求知欲。但是

但是如果給出圖像，則又會限制數(shù)學(xué)優(yōu)秀的學(xué)生的解題思路與方法，這對矛盾是由學(xué)生的差異所決定的。教師在課堂上應(yīng)指導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生，注意教學(xué)的示范性，明確解題的規(guī)范性，實現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中知識的跨越。總之，教學(xué)有法，教無定法，貴在得法，為了提高課堂教學(xué)效率，我們要從學(xué)生的實際出發(fā)，以學(xué)法帶動教法，為高效課堂保駕護(hù)航。