基于時(shí)變Copula GARCH模型的金融風(fēng)險(xiǎn)度量

劉 娟1,， 王 沁，劉 曦 ，昌春艷

(1.湖南科技學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系計(jì)算數(shù)學(xué)研究所，湖南 永州 425199；2.西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 成都 610031)

Copula目前在金融領(lǐng)域的應(yīng)用非常廣泛，特別是在金融市場(chǎng)上的風(fēng)險(xiǎn)管理、投資組合的選擇、資產(chǎn)定價(jià)等方面。利用Copula函數(shù)，可以將若干個(gè)隨機(jī)變量的邊緣分布連接為聯(lián)合分布[1]。Copula函數(shù)的引入，可將金融資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)分解成單個(gè)資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)和投資組合產(chǎn)生的風(fēng)險(xiǎn)2部分，其中單個(gè)資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)可以由各自的邊緣分布來描述，而投資組合產(chǎn)生的風(fēng)險(xiǎn)則由他們的連接函數(shù)來刻畫。Copula建模的方法與普通的線性相關(guān)的建模方法不同，且其導(dǎo)出的相依指標(biāo)在單調(diào)變化下具有不變性[2-3]。時(shí)變Copula即變量之間相關(guān)系數(shù)的時(shí)變，最先提出時(shí)變相關(guān)Copula模型的是Patton[4],用一個(gè)類似ARMA(1,10)的過程來描述二元正態(tài)Copula函數(shù)的相關(guān)參數(shù)。Van den Goorbergh等[5]將動(dòng)態(tài)Copula模型應(yīng)用于2種不同的金融市場(chǎng)，并對(duì)其結(jié)果作對(duì)比分析。B. Candelon等[6]運(yùn)用時(shí)變Copula模型對(duì)金融危機(jī)后的股票市場(chǎng)進(jìn)行分析。龔樸等[7]建立了用于描述時(shí)變相依參數(shù)的新的演化方程，采用時(shí)變條件t-Copula模型對(duì)我國(guó)人民幣匯率制度改革前后美元、歐元和日元兌人民幣匯率之間的相關(guān)性進(jìn)行了研究。楊楠等[8]通過構(gòu)建效用評(píng)估函數(shù)，使用時(shí)變相關(guān)t-Copula模型、蒙特卡洛模擬和VaR計(jì)算方法系統(tǒng)研究了我國(guó)國(guó)際儲(chǔ)備的最優(yōu)結(jié)構(gòu)。

本文采用Kendall tau 來構(gòu)建其相關(guān)系數(shù)的時(shí)變性，從而達(dá)到時(shí)變Copula的目的。本文內(nèi)容安排如下：第1部分時(shí)變相關(guān)Copula理論；第2部分針對(duì)金發(fā)科技和ST國(guó)農(nóng)2支股票數(shù)據(jù)建立Copula模型；第3部分利用所建立的Copula模型計(jì)算VAR；第4部分是小結(jié)。

1 時(shí)變相關(guān)Copula

1.1 秩相關(guān)參數(shù)

時(shí)變相關(guān)Copula模型的關(guān)鍵在于Copula函數(shù)的相關(guān)參數(shù)的時(shí)變形式。Copula函數(shù)的相關(guān)參數(shù)常見的有Kendall tau 、spearman rho 、尾相關(guān)。 Kendall tau 、spearman rho是一個(gè)全局變量，而尾相關(guān)是一個(gè)局部變量，本文選取Kendall tau 作為Copula函數(shù)的相關(guān)參數(shù)。下面介紹Kendall tau[9]。

定義1設(shè)X=(x1，x2)，Y=(y1，y2)，且(x1,y1)、(x2,y2)是獨(dú)立同分布的隨機(jī)向量，令Kendall tau秩相關(guān)系數(shù)τ為

τ=P[(x2-x1)(y2-y1)>0]-P[(x2-

x1)(y2-y1)<0]=2P[(x2-x1)(y2-y1)>0]-1

(1)

若隨機(jī)變量X、Y的邊緣分布分別為F(x)、G(y),相應(yīng)的Copula函數(shù)為C(u、v)，其中u=F(x),v=G(y)，u,v∈I,I=[0,1]，則Kendall tau秩相關(guān)系數(shù)τ為

τ=4?I2C(u,v)dC(u,v)-1

(2)

1.2 Copula函數(shù)及邊緣分布函數(shù)的選取

由于金融時(shí)間序列的分布多呈現(xiàn)時(shí)變、波動(dòng)集群、高峰等特性，本文選取Copula函數(shù)為二元正態(tài)Copula函數(shù)，對(duì)應(yīng)的邊緣分布為GARCH模型。

二元正態(tài)Copula函數(shù)的分布函數(shù)及其密度函數(shù)的表達(dá)式分別為：

(3)

(4)

其中：Φ-1(·)是標(biāo)準(zhǔn)一元正態(tài)分布函數(shù)Φ(·)的逆函數(shù)；ρ為相關(guān)參數(shù)，即為Φ-1(u)與Φ-1(t)的線性相關(guān)系數(shù)；u、t為邊緣分布數(shù)據(jù)。

Bollerslev給出的GARCH(p,q)模型[10]為：

(7)

其中εt是隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)，且E(εt)=0。

2 Copula模型的建立

2.1 數(shù)據(jù)的選取及其描述性統(tǒng)計(jì)

本文選取ST國(guó)農(nóng)和金發(fā)科技2支股票的日收盤價(jià)，數(shù)據(jù)選取2011年1月4日到2012年5月31日之間的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來自CCER數(shù)據(jù)庫。P為收盤價(jià)，收益率：Rt=lnpt-lnpt-1,由此得到金發(fā)科技和ST國(guó)農(nóng)的日收益率數(shù)據(jù)。在組合中，金發(fā)科技和ST國(guó)農(nóng)的權(quán)重比分別為1∶1和3∶7。表1為各收益率序列的總體指標(biāo)，表2為指數(shù)收益率序列的單位根檢驗(yàn)值。2種股票的日收益率線圖如圖1所示。

表1 ST國(guó)農(nóng)和金發(fā)科技的描述性統(tǒng)計(jì)

圖1 2種股票的日收益率線圖

由表1和圖1可以看出，2只股票有一定的叢集性，存在尖峰的現(xiàn)象。ST國(guó)農(nóng)數(shù)據(jù)較金發(fā)科技數(shù)據(jù)平穩(wěn)。

表2 金發(fā)科技與ST國(guó)農(nóng)的單位根檢驗(yàn)

ADF檢驗(yàn)的原假設(shè)是2支股票均存在單位根，由表2可以看出，其P值趨于0，所以拒絕原假設(shè)，2支股票不存在單位根，數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的時(shí)間序列。

2.2 GARCH模型的建立

根據(jù)前面的描述性統(tǒng)計(jì)，本文對(duì)其邊緣分布建立GARCH(1,1)-Norm模型，得到其參數(shù)估計(jì)如表3所示。

表3 GARCH(1,1)-Norm模型的參數(shù)估計(jì)

觀察表3，2只股票其α+β項(xiàng)的值均小于1，故可知其GARCH(1,1)模型是平穩(wěn)的，95%的置信水平下其參數(shù)估計(jì)是顯著的。所建立的GARCH(1,1)模型分別為：

2.3 時(shí)變Copula

根據(jù)Kendall tau的定義，本文采用滑動(dòng)窗寬的方法來構(gòu)建時(shí)變Kendall tau,其具體步驟如下：

1)對(duì)金發(fā)科技與ST國(guó)農(nóng)所建立的GARCH模型中的et1,et2作概率積分變換，得到的數(shù)據(jù)分別用u,t表示。

圖2 滑動(dòng)窗口為50的Kendall tau 線圖

Kendall tau是一個(gè)全局變量，它反映了變量之間相關(guān)系數(shù)隨時(shí)間發(fā)生的變化。

總體參數(shù)ρ與Kendall tau存在如下的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系

(8)

根據(jù)ρ與Kendall tau存在的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系得到ρ的時(shí)變圖(見圖3)。

圖3 總體參數(shù)ρ的時(shí)變圖

3 蒙特卡洛模擬計(jì)算VaR

建立了恰當(dāng)?shù)臅r(shí)變正態(tài)Copula模型的前提下，采用蒙特卡洛模擬方法計(jì)算資產(chǎn)組合風(fēng)險(xiǎn)值的程序如下：

Step1: 利用時(shí)變參數(shù)ρt產(chǎn)生100個(gè)隨機(jī)數(shù)對(duì)(μ1,μ2)～CGaussian(.,.)，取第50個(gè)數(shù)對(duì)為(μt1,μt2)。

Step3:用所建立的GARCH(1,1)模型，計(jì)算

(9)

Rt1=0.5xt1+0.5xt2

(10)

Rt2=0.3xt1+0.7xt2

(11)

其中：Rt1為金發(fā)科技和ST國(guó)農(nóng)的比例為1∶1的組合：Rt2為金發(fā)科技和ST國(guó)農(nóng)的比例為3∶7的組合。

Step4: 將所得的Rt1、Rt2按從小到大的順序排序，取對(duì)應(yīng)分位數(shù)下的值即為所求VaR。

本文對(duì)VaR的準(zhǔn)確性檢驗(yàn)采用的是Kupic等的失敗檢驗(yàn)法[11]。該方法假定VaR估計(jì)具有時(shí)間的獨(dú)立性，實(shí)際損失超過VaR的估計(jì)為失敗，實(shí)際損失低于VaR為成功。假定計(jì)算VaR的置信度為C，實(shí)際考察天數(shù)為T，失敗天數(shù)為N，則失敗率為p(N/T)。GARCH(1,1)-Norm下的VaR如表4所示。

表4 GARCH(1,1)-Norm下的VaR

由表4可以得出，ST國(guó)農(nóng)在置信水平為95%時(shí)，其風(fēng)險(xiǎn)要比金發(fā)科技的好，但是在置信水平為99%時(shí)，其風(fēng)險(xiǎn)要比金發(fā)科技大。無論置信水平是在95%或者是99%，其組合資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)均要小于單個(gè)資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)，這跟實(shí)際情況是相符的，當(dāng)組合權(quán)重分別為0.5和0.5時(shí)其風(fēng)險(xiǎn)要比其組合權(quán)重為0.3和0.7的低，不同權(quán)重的資產(chǎn)組合其風(fēng)險(xiǎn)不同。

4 結(jié)論

本文選取ST國(guó)農(nóng)和金發(fā)科技2支股票的日收盤價(jià)，取其對(duì)數(shù)收益率，對(duì)每只股票的數(shù)據(jù)建立GARCH(1,1)-Norm模型，根據(jù)GARCH(1,1)-Norm模型的殘差項(xiàng)建立時(shí)變Kendall tau,由時(shí)變Kendall tau 模擬產(chǎn)生服從二元正態(tài)Copula的隨機(jī)數(shù)據(jù)，最終根據(jù)其產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)據(jù)，利用蒙特卡羅模擬技術(shù)計(jì)算其單個(gè)資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)和組合資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)，得出組合投資能減低風(fēng)險(xiǎn)的結(jié)論。

同時(shí)由表4可以看出不同權(quán)重的資產(chǎn)組合其風(fēng)險(xiǎn)不同，本文只是列舉2種不同的權(quán)重，而如何找到不同股票數(shù)據(jù)的最佳權(quán)重，有待進(jìn)一步研究。

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