“ 三角形三邊關(guān)系”的教學(xué)困惑與價(jià)值思考

郭巧紅

幾何圖形邊的關(guān)系在小學(xué)階段，主要研究圖形邊的大小關(guān)系和位置關(guān)系。三角形是最簡(jiǎn)單的封閉圖形，對(duì)三角形邊的關(guān)系的探索，是小學(xué)研究幾何圖形邊的大小關(guān)系的開始，是對(duì)三角形認(rèn)識(shí)的一次升華，是從圖形外部的整體感知到圖形內(nèi)部的內(nèi)在規(guī)律的一次探索過程，是從圖形要素的認(rèn)識(shí)到要素之間關(guān)系的一次遞進(jìn)過程，是從直觀觀察到思想感悟的一次體驗(yàn)過程，它是將來學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)其他幾何圖形、探索圖形奧秘的重要基礎(chǔ)。

下面，以《三角形三邊關(guān)系》一課為例，談一談筆者對(duì)這一課的教學(xué)困惑和教學(xué)價(jià)值的幾點(diǎn)思考。

一、教學(xué)困惑：3 cm、5 cm、8 cm，能不能圍成三角形

三角形三邊關(guān)系是探究教學(xué)中的經(jīng)典課例，教師在組織學(xué)生探究學(xué)習(xí)時(shí)，主要采用以下幾個(gè)步驟：第一，提供探究材料，有的用小木棒（4根），有的用紙條（4段），木棒或紙條的長(zhǎng)度由教師事先設(shè)計(jì)好。第二，提出探究猜測(cè)問題，任意選擇3根（3段）是否能圍成一個(gè)三角形？第三，組織實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生開始動(dòng)手操作（嘗試圍三角形）。第四，學(xué)生匯報(bào)探究結(jié)論，這時(shí)爭(zhēng)論的焦點(diǎn)開始聚集到3 cm、5 cm、8 cm能不能圍成三角形？有的學(xué)生說“能”，并進(jìn)行了展示，有的學(xué)生說“不能”，也進(jìn)行了展示。雖然教師非常贊賞并支持后者的觀點(diǎn)，但是，這種“不能圍成”的展示常常由于缺乏說服力，而導(dǎo)致爭(zhēng)論不休，探究結(jié)論無法統(tǒng)一，呈現(xiàn)模糊化。一節(jié)課結(jié)束了，這場(chǎng)爭(zhēng)論卻沒有隨著下課鈴聲的響起而停止，雖然教師一再強(qiáng)調(diào)“3 cm、5 cm、8 cm的三根木棒不能圍成三角形”這一結(jié)論，但是對(duì)于那些通過親自動(dòng)手操作得到（其實(shí)有誤差）“3 cm、5 cm、8 cm的三根木棒能圍成三角形”這一結(jié)論的學(xué)生來說，始終疑惑不解?！安蛔寣W(xué)生圍還能說清楚，圍了反而就變糊涂了”，這便是教師執(zhí)教這一課時(shí)存在的最大困惑。

二、價(jià)值思考：《三角形三邊關(guān)系》一課的教學(xué)價(jià)值何在

探究一般由“猜想”和“驗(yàn)證”兩部分組成，探究問題的結(jié)論一般是未知的或不確定的，這樣才能激發(fā)學(xué)生的探究欲望，也才具備探究的意義。由于問題的結(jié)論未知或不確定，因此，可以組織學(xué)生憑借經(jīng)驗(yàn)或直覺提出猜想，然后再驗(yàn)證猜想是否正確，最后得出結(jié)論。三角形的三條邊具有什么關(guān)系？這個(gè)問題的結(jié)論對(duì)小學(xué)生而言是未知的、不確定的，是可以構(gòu)成探究問題的。探究過程的難點(diǎn)在于提出 “三角形任意兩邊之和大于第三邊”這樣的猜想。然而，學(xué)生具有比較兩條邊的長(zhǎng)短關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)，卻缺乏“把兩條邊的長(zhǎng)度加起來再與第三條邊比較”的經(jīng)驗(yàn)，因此，學(xué)生怎么能想到從這個(gè)獨(dú)特的角度提出猜想，值得反思。另一方面，大多數(shù)教師都忽視了學(xué)生已有思維經(jīng)驗(yàn)，只是重視通過操作小棒（牙簽、吸管或紙條），組織學(xué)生進(jìn)行驗(yàn)證。操作過程中會(huì)產(chǎn)生幾個(gè)爭(zhēng)議點(diǎn)，大多數(shù)學(xué)生已經(jīng)能夠憑借生活經(jīng)驗(yàn)、直觀觀察或依據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”對(duì)猜想（多數(shù)情況下是由教師給出的）作出合理論證，那么接下來的操作小棒圍三角形的驗(yàn)證過程還有必要嗎？當(dāng)學(xué)生能想到從“把兩邊加起來再與第三邊比較”這一角度研究三角形三邊的關(guān)系時(shí)，對(duì)于一個(gè)顯然成立的結(jié)論還有必要進(jìn)行探究嗎？這樣明顯的“猜想”是否還有必要驗(yàn)證？通過操作小棒驗(yàn)證3 cm、5 cm和8 cm圍不成三角形而引發(fā)學(xué)生的爭(zhēng)議和困惑，這樣的操作是否值得？積累這種圍不成的操作活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，其價(jià)值何在？用意為哪般？

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011）》在第二學(xué)段的課程內(nèi)容中提出“通過觀察、操作，了解三角形兩邊之和大于第三邊”的目標(biāo)要求。由此可見，《課程標(biāo)準(zhǔn)》并沒有在第二學(xué)段提出“探索”的過程目標(biāo)要求，而是提出“了解”的結(jié)果目標(biāo)要求，“了解”是指從具體實(shí)例中知道或舉例說明對(duì)象的有關(guān)特征；根據(jù)對(duì)象的特征，從具體情境中辨認(rèn)或者舉例說明對(duì)象。“了解”的同義詞是“知道”和“初步認(rèn)識(shí)”，屬于結(jié)果目標(biāo)中要求最低的水平。因此，在本課的教學(xué)過程中，部分教師不僅沒有準(zhǔn)確把握好本課的結(jié)果目標(biāo)要求，而且忽視了本課在過程目標(biāo)中的數(shù)學(xué)思想價(jià)值。

《課程標(biāo)準(zhǔn)》在課程總目標(biāo)中提出了“四基”的目標(biāo)要求，強(qiáng)調(diào)教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生在基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的學(xué)習(xí)過程中，感悟數(shù)學(xué)的基本思想與積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。因此，從“四基”的角度分析，筆者認(rèn)為：教師不應(yīng)只看到本節(jié)課在基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能方面的教學(xué)價(jià)值，更不應(yīng)花大量時(shí)間在動(dòng)手操作上，教師應(yīng)該看到本節(jié)課在“基本思想”和“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”方面的教學(xué)價(jià)值，值得花一些時(shí)間讓學(xué)生在知識(shí)與技能的學(xué)習(xí)過程中，感悟數(shù)學(xué)思想、積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。就如三角形三邊關(guān)系中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)基本思想是“推理思想”，其中包括歸納思想、演繹思想和類比思想。教學(xué)建議如下。

第一，在新課展開的環(huán)節(jié)中，教師可以通過引導(dǎo)學(xué)生觀察銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角形中三條邊之間的關(guān)系，歸納得出“三角形兩邊之和大于第三邊”的直觀結(jié)論。在這個(gè)過程中，讓學(xué)生經(jīng)歷從個(gè)別事例的觀察到歸納得出一般結(jié)論的過程，體會(huì)感悟數(shù)學(xué)中的歸納思想，積累歸納的思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

第二，在知識(shí)鞏固練習(xí)的環(huán)節(jié)中，教師可以通過設(shè)計(jì)一組具體練習(xí)，即給出三條線段的具體長(zhǎng)度，讓學(xué)生判斷由這三條線段是否能圍成三角形，并說明理由。在這個(gè)過程中，不僅能夠讓學(xué)生鞏固了知識(shí)，形成了技能，而且還讓學(xué)生經(jīng)歷了從一般結(jié)論到個(gè)別事例的具體應(yīng)用過程，體會(huì)感悟數(shù)學(xué)中的演繹思想，積累演繹的思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

第三，在知識(shí)拓展提高的環(huán)節(jié)中，教師可以啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生從三角形的世界中走出來，進(jìn)一步拓展觀察和研究的視野，大膽思考并猜想四邊形、五邊形、六邊形等多邊形，它們的邊與邊之間是否同樣也有相同或相似的規(guī)律？在這個(gè)過程中，讓學(xué)生體會(huì)感悟數(shù)學(xué)中的類比思想，積累類比的思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

在“三角形三邊關(guān)系”的探索學(xué)習(xí)過程中，蘊(yùn)涵著數(shù)學(xué)中的歸納思想、演繹思想和類比思想，它們是促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)用推理進(jìn)行問題思考的重要素材，亦是探索數(shù)學(xué)圖形要素之間大小關(guān)系和位置關(guān)系的重要思想和經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。因此，從“四基”的角度分析，本課的教學(xué)不能僅僅停留在動(dòng)手操作、直觀觀察，以及基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能的學(xué)習(xí)層面上，本節(jié)課更重要的教學(xué)價(jià)值應(yīng)該是數(shù)學(xué)思想和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，應(yīng)該在操作與觀察的基礎(chǔ)上，將本課的教學(xué)聚焦到數(shù)學(xué)思想和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的層面上，這樣才能更好地為學(xué)生后續(xù)幾何圖形的學(xué)習(xí)與探索奠定重要的思想與經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。

（作者單位：福建省泉州市通政中心小學(xué) 責(zé)任編輯：王彬）